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高三数学二次函数2


高考数学一轮复习教案第 1 讲:二次函数
一. 【复习目标】
1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.

二、 【课前热身】
1、

f(x)是定义在全体实数上的偶函数, 它的图象关于 x=2 为轴对称, 已知当 x∈(-2,2)时 f(x) 2 的表达式为-x +1,则当 x∈(-6,-2)时,f(x)的表达式是: ( )
2

(A)-x +1
2、

(B)-(x-2) +1
2

2

(C)-(x+2) +1

2

(D)-(x+4) +1

2

已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 且 f(-1)=-2,又 f(x)≥2x 对一切 x∈R 都成立,求 a+b .
4 2

=

3、函数 f(x)=x -2x +2 的单调增区间是( (A)[1,+∞),
2

)

(B)(-∞,-1)∪[1,+∞), (C)[-1,0]∪[1,+∞), (D)以上都不对 。

4、已知方程 x +2px+1=0 有一个根大于 1,有一个根小于 1,则 P 的取值为

三. 【例题探究】
例 1.已知函数 y ? ? sin x ? a sin x ?
2

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

例 2. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点, 求 a 的取值范围. 例 3.对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个不动点,已知 函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) , (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点,且 A, B 1 两点关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1

四、 【方法点拨】
1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的单 调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值 的符号;③对称轴与区间的相对位置.

冲刺强化训练(1)
1、函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是 A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 2、 函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为 ?0,1,2,3? ,那么其值域为 A. ?? 1,0,3? B. ?0,1,2,3? C. y ? 1 ? y ? 3 ( D. b ? 0 ( ) )

?

?

D. y 0 ? y ? 3

?

?

3 、若函数 f (x)= (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的图象位于 x 轴的下方,则实数 a 的取值范围是 ( )

A、 (??, 2)

B、 [?2, 2]

C、 (?2, 2]

D、 (??, ? 2)

4、使函数 y ? x 2 ? 4x ? 5 具有反函数的一个条件是_____________________________。 (只填上一个条件即可,不必考虑所有情形) 。 5、若函数 y ? x
2

2

? (a ? 2) x ? 3( x ?[a, b] 的图象关于 x ? 1 对称则 b ?




6、若 sin x+cosx+a=0 有实根,试确定实数 a 的取值范围( 7、已知函数 f ( x) ? ax2 ? a 2 x ? 2b ? a 3 。

6) f ( x) ? 0;当x ? (??, ? 2) ? (6, ? ?)时f ( x) ? 0, (Ⅰ)当 x ? (?2,时,
求a、b 的值及 f ( x) 的表达式;
(Ⅱ)设 F ( x) ? ?

k f ( x) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1),k取何值时,函数F ( x) 的值恒为负值? 4

2 8、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a、b为常数且a ? 0) 满足条件: f (? x ? 5) = f ( x ? 3) ,且方

程 f ( x) = x 有等根。 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)是否存在实数 m, n (m ? n) , 使 f ( x) 的定义域和值域分别是 [m, n] 和 [3m,3n] ?如果

存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由.

9、 已知二次函数 y ? f1( x) 的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图象 与直线 y ? x 的两个交点间距离为 8, f ( x) ? f1( x) ? f 2 ( x) . (Ⅰ) 求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解.

参考答案
一、课前热身 1、D 2 110 3、D 4、 (-∞,-1)

二、例题探究 例 1. 解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,

1 2 a ( a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 4 2 a 1 2 (1)当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3(舍去) . 2 4 a a 2 1 2 (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 4 2 1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 4 2 3 a a 2 1 2 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3 例 2. 解法一:由题知关于 x 的方程 x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根为 x1 , x2
∴ y ? ?(t ? ) ?
2

a 2

?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ? ?? ? 0
例 3. 解: (1)f ( x) ? x2 ? x ? 3 , 则 f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 , 得 x0 ? ?1 x0 是 f ( x) 的不动点, 或 x0 ? 3 ,函数 f ( x ) 的不动点为 ?1 和 3 .
2 (2)∵函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax ? bx ? (b ?1) ? 0 恒有两个不等

2

的实根, ? ? b ? 4a(b ?1) ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立,
2 2

∴ (4a) ?16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .
2

x1 ? x2 b 1 ?? ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? , 2 2a 2a 2 ? 1 b b 1 b b 1 , ? 2 ) ,∴ ? ? ? 2 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1 1 a 1 2 2 ?? ?? ∴b ? ? 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等号成立, 1 a 2a ? 1 4 2 2a ? a
(3)由 ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 得
2

∴ b 的最小值为 ?

2 . 4

冲刺强化训练(1)
1、 A 5、6 2、A 3、C 6、[-5/4,1]

? ?),或(??, 2],或它们的某个子集。 4、 [2,

7、 (Ⅰ) a ? ?4,b ? ?8,f ( x) ? ?4x 2 ? 16x ? 48 (Ⅱ) k ? ?2时F ( x)恒为负值。 8、 (Ⅰ) f ( x) ? ?

1 2 x ?x。 (Ⅱ)存在 m=?4,n=0 满足要求。 2
2 2

9、 (Ⅰ)由已知,设 f1(x)=ax ,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x .设 f2(x)= 直线 y=x 的交点分别为 A( k , k ),B(- k ,- k )

k (k>0),它的图象与 x

8 2 8 .故 f(x)=x + . x x 2 8 2 8 (Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得 x + =a + , x a 8 8 8 2 2 即 =-x +a + .在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x a x 8 2 2 f3(x)= -x +a + 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐 a
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)= 标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a +
2

8 )为顶点,开口向 a

下的抛物线.因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a +
2

8 2 8 ,当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a + -8>0,当 a>3 时,在第一象 a a 8 2 8 8 =a + ,即(x-a)(x+a- )=0,得方程的一个解 x1=a.方程 x a ax

限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方.f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两 个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. (证法二)由 f(x)=f(a),得 x + x+a - x3=
2

8 ? a 2 ? a 4 ? 32a 2 2 4 =0 化 为 ax +a x - 8=0, 由 a>3, △ =a +32a>0, 得 x2= , ax 2a

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a ,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且 x2≠ x3.若 x1= x3,即 a= , 2a 2a
2 4

则 3a = a 4 ? 32a , a =4a,得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾,∴x1≠ x3.故原方程 f(x)=f(a)有 三个实数解.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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