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微积分1 教学大纲


课程号:20113740 课程名称:大学数学(I) 微积分-1 课程号:20112630 课程名称:大学数学(I)微积分-2 总学时:82 或 102 开课学期:秋季 春季 (学年课) 学分:秋季 4 春季 5 先修课程:初等数学 基本目的:介绍微积分的基本知识,为非数学类各专业后继课程提供基本的数学工具, 初步培养学生应用数学知识分析、解决实际问题的意识与能力 第一章 函数与极限 一、基本内容 函数,函数与数列的极限的定义及性质,无穷小与无穷大,无穷小比较,极限四 则运算,极限存在准则,两个重要极限。 函数的连续性与间断点,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。 二、基本要求 1. 理解函数的概念, 掌握函数的表示法, 并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解极限的概念,理解函数左、右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极 限之间的关系。 6.掌握极限的性质及运算法则。 7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8. 理解无穷小、 无穷大的概念, 掌握无穷小的比较方法, 会用等价无穷小求极限。 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质 (最 大值和最小值定理,介值定理),并会应用这些性质。 三、建议课时安排 (22 学时) 1.函数 2.函数极限的概念 3.无穷小与无穷大,极限的运算性质 4.习题课 5.极限存在准则,两个重要极限 6.无穷小比较 7.函数连续性的定义及性质 8.闭区间上连续函数的性质 9.习题课 2 学时 3 学时 4 学时 2 学时 4 学时 1 学时 2 学时 2 学时 2 学时

第二章

一元函数微分学

一、基本内容 导数和微分和概念,导数的几何意义和物理意义,平面曲线的切线与法线,函数 的可导性与连续性之间的关系, 基本初等函数的导数, 导数和微分的四则运算, 反函数、 复合函数、隐函数及参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数的概念,某些简单函数 的 n 阶导数。一阶微分形式的不变性,微分在近似计算中的应用,微分中值定理,洛必 达法则,函数的极值与单调性,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘, 函数的最大值和最小值,弧微分曲率的概念,曲率半径,方程的近似根。 二、基本要求 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法 线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性 之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公 式,了解微分的四则运算法则和一微分形式的不变性,会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的 n 阶导数。 4.会求分段函数的一阶、二阶导数。 5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。 6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定 理。 7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌 握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平。铅直和斜渐 近线,会描绘函数的图形。 9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 10.了解曲率和由率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 三、建议课时安排 (26 学时) 1.导数的定义和性质 2.基本求导方法及导数公式 3.微分 4.高阶导数和高阶微分 5.习题课 6.微分中值定理及其应用 7.泰勒公式 8.导数的应用 9.习题课 第三章 一元函数积分学 一、基本内容

2 学时 4 学时 2 学时 2 学时 2 学时 4 学时 2 学时 6 学时 2 学时

原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质及基本积分公式,定积分的概念 和性质,积分上限函数及其导数,牛顿—莱布尼茨公式,换元积分法和分部积分法,有 理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。 二、基本要求 1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式, 掌握不定积分的性质及换元积分法与分部积分法。 3. 会求有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。 4. 理解变上限定积分是上限的函数及其求导定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。 三、建议课时安排 (22 学时) 1.定积分的概念 2.定积分的性质 3.积分上限函数与牛顿—莱布尼茨公式 4.不定积分 5.换元积分法 6.分部积分法 7.几种特殊函数的积分 8.习题课 第四章 定积分的应用及近似计算

2 学时 2 学时 2 学时 2 学时 6 学时 3 学时 3 学时 2 学时

一、基本内容 定积分的应用,定积分的近似计算 二、基本要求 掌握定积分应用的微元法,能正确使用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平 面图的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积,平行截面积已知的主体体积、 变力作功、引力、压力)及函数的平均值。 三、建议课时安排(7 学时) 1.平面图形的面积,立体的体积 2.平面曲线的弧长,旋转曲面的面积 3.功、压力、引力 4.平均值、均方根 5.定积分的近似计算 6.习题课 第五章 空间解析几何与矢量代数

1.5 学时 1.5 学时 1.5 学时 0.5 学时 1 学时 2 学时

一、基本内容 矢量的概念,矢量的线性运算,矢量的数量积和矢量积,矢量的混合积,两矢量 垂直和平行的条件,两矢量的夹角,矢量的坐标表达式及其运算,单位矢量,方向数与

方向余弦。曲面方程和空间曲线方程的概念,平面方程、直线方程及其求法,平面与平 面、直线与平面、直线与直线的夹角及其平行、垂直的条件,点到平面和点到直线的距 离,球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。常用的二次 曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线 的方程。 二、基本要求 1. 理解空间直角坐标、理解矢量的概念及其表示法。 2. 掌握矢量的运算(线性运算、数量积、矢量积),了解两个矢量垂直、平行的 条件。 3. 理解单位矢量,方向数与方向余弦、矢量的坐标表达式,掌握用坐标表达式 进行矢量运算 的方法。 4. 掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系 (平行、 垂直、相交等) 解决有关问题。 5. 理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为 旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 6. 了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影, 并会求其方程。 三、建议课时安排 (15 学时) 1.矢量及矢量的运算 2.坐标系,矢量的坐标 3.平面与直线 4.曲面与曲线 5.二次曲面的标准型 6.习题课 第六章 多元函数微分学

3 学时 3 学时 3 学时 2 学时 2 学时 2 学时

一、基本内容 多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极限和连续的概念,有界闭 区域上多元连续函数的性质,偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件,复 合函数、隐函数的微分法,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,多元函数 的极值和条件极值,多元函数的最大值和最小值及其简单应用,方向导数和梯度。 二、基本要求 1. 理解多元函数的概念。 2. 了解二元函数的极限与连续的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解 全微分形式的不变性。 4. 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法 5. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 6. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 7. 理解多元函数的极值和条件极值的概念, 掌握多元函数极值存在的必要条件,

了解二元函数极值的充分条件, 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。 8. 理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法。 三、建议课时安排 (19 学时) 1.多元函数的概念 2.偏导数与全微分 3.复合函数的微分法 4.隐函数的微分法 5.微分法在几何上的应用 6.多元函数的极值 7.矢量分析(方向导数与梯度) 8.习题课 第七章 重积分

3 学时 3 学时 2 学时 2 学时 2 学时 3 学时 2 学时 2 学时

一、基本内容 二重积分、三重积分的概念及性质,二重积分与三重积分的计算和应用。 二、基本要求 1. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质。 2.掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法,会计算三重积分(直角坐标,柱 面坐标,球面坐标)。 3.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、 重心、转动惯量等) 三、建议课时安排 (12 学时) 1.二重积分的概念与性质 2.二重积分的计算 3.二重积分的应用 4.三重积分 5.习题课 第八章 曲线积分与曲面积分 一、基本内容 两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系,格林公式,平面曲线 积分与路径无关的条件,两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分的关系,高 斯公式,斯托克斯公式,散度,旋度的概念及计算,曲线积分和曲面积分的应用。 二、基本要求 1. 理解两类曲线积分的概念, 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握两类曲线积分的计算方法。 3. 掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件。

2 学时 3 学时 2 学时 3 学时 2 学时

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面 积分的方法,会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 5. 了解散度与旋度的概念,并会计算。 6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(弧长、曲面、面积、质量、 重心、转动惯量、引力、功、流量等) 三、建议课时安排 (14 学时) 1.第一型曲线积分 2.第二型曲线积分 3.格林公式及曲线积分与路径无关的条件 4.第一型曲面积分 5.第二型曲面积分 6.高斯公式与散度 7.斯托克斯公式与旋度 8.习题课 第九章 无穷级数 一、基本内容 常数项级数的收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,级数的基本性质与收敛的 必要条件,几何级数与 p 级数及其收敛性,正项级数收敛性的判别法,交错级数的莱布 尼茨定理,任意项级数的绝对收敛与条件收敛,函数项级数的收敛域与和函数的概念。 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域,幂级数的和函数,幂级数在收敛 区间内的基本性质,初等函数的幂级数展开式,函数的傅里叶系数与傅里叶级数,狄利 克雷定理,函数在 的傅里叶级数,函数在 上的正弦级数和余弦级数。函数可展开为泰 勒级数的充分必要条件, 和 的麦克劳林(Maclaurin)展开式,幂级数的近似计算中的应 用。 二、基本要求 1. 理解常数项级数收敛、发散及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质 及收敛的必要条 件。 2. 掌握几何级数与 p 级数的收敛性。 3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法。 4. 会用交错级数的莱布尼茨判别法。 5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关 系。 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7. 了解幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本运算性质,会求一些幂级数在收敛区 间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。 9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10. 掌握 和 的麦克劳林展开式,并会用它们将一些简单函数用间接方法展成幂 级数。 11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

1 学时 2 学时 3 学时 1 学时 2 学时 1.5 学时 1.5 学时 2 学时

12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在 上的函数展开为傅 里叶级数,会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和 的表达式。 三、建议课时安排 (17 学时) 1.常数项级数 2.函数项级数(收敛域与和函数) 3.幂级数 4.傅里叶级数 5.习题课 第十章 广义积分与含参变量的积分

5 学时 1 学时 4 学时 5 学时 2 学时

一、基本内容 无穷积分和无界函数的广义积分, 函数和 B 函数 二、基本要求 了解广义积分的概念,并会计算广义积分。 三、建议课时安排 (3 学时) 广义积分 第十一章 常微分方程

3 学时

一、基本内容 常微分方程的基本概念,变量可分离微分的方程,齐次微分方程,一阶线性微分 方程,伯努利方程,全微分方程,可用简单的变量代换求解的某些微分方程。可降阶的 高阶微分方程, 线性微分方程解的性质及解的结构定量, 二阶常系数齐次线性微分方程, 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,欧 拉方程,包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。微分方程的幂级数解法,微 分方程的简单应用。 二、基本要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方 程。 4. 会用降阶法解下列方程: 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性 微分方程。 7.会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的 二阶常系数非齐次线性微分方程。 8.了解微分方程的幂级数解法,会用欧拉方程,了解求解一阶常系数线性微分方

程组的解法。 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。 三、建议课时安排 (14 学时) 1.微分方程的基本概念 2.一阶微分方程的初等解法 3.可降阶的高阶方程 4.高阶线性微分方程 5.微分方程的幂级数解法与常系数线性微分方程组 6.习题课

1 学时 4 学时 2 学时 4 学时 1 学时 2 学时


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