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2017圆与圆的方程教案3.doc


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圆与圆的方程
3

教学时间

1、知识与技能: 掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体 条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求 出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题 三 维 目 标 2、 过程与方法: 通过圆的标准方程的推导, 培养学生利用求曲线的方程的一 般步骤解决一些实际问题的能力. 3、情感.态度与价值观: 通过圆的标准方程, 解决一些如圆拱桥的实际问题, 说明理 论既来源于实践, 又服务于实践, 可以适时进行辩证唯物主义思 想教育.

(1)圆的标准方程的推导步骤; 教学重点 (2)根据具体条件正确写出圆的标准方程. 教学难点 教学方法 课时序数 运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 观察、思考、探究.
第一课时

教 学 流 程

个案设计

[新课导入] 前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回 答?
1.具有什么性质的点的轨迹称为圆?
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在 黑板上画一个圆). 2.图 2-9 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性 质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?

圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定 长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.

[互动过程 1]
探究一:如何建立圆的标准方程呢? 1.建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标 系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在 圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定点, 可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上任一点 M 坐标为(x,y). 2.写点集 根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}.

3.列方程

由两点间的距离公式得: 4.化简方程 将上式两边平方得: (x-a) +(y-b) (1) 方程(1)就是圆心是 C(a,b)、半径是 r 的圆的方程.我们 把它叫做圆的标准方程.
2 2

=r 2

[互动过程 2]
圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是 什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1. 点(a, b)、 r 分别表示圆心的坐标和圆的半径. 当 圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x +y =r .
2 2 2

教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而 确定了圆,所以,只要 a,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方 程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的 条件.注意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来 解决.

[典例讲解]
例 1:写出下列各圆的方程:(请三位同学演板) (1)圆心在原点,半径是 3;

(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3);

解析:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
2 2 2 2

解:(1)x +y =9;(2)(x-3) +(y-4) =5;

变式训练1: 说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)
2 2

(1)(x-3) +(y-2) =5;

(2)(x+4) +(y+3) =7;

2

2

(3)(x+2) + y =4

2

2

答案: (1) 圆心是(3,2),半径是 5 ;(2)圆心是(-4, -3),半径是 7 ;(3) 圆心是(-2,0),半径是2. 例2: (1)已知两点 P 1 (4,9)和 P2(6,3),求以 P 1 P 2 为直径的圆的方 程; (2)试判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内, 还是在圆外? 解析:分析一:从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可 用待定系数解决;分析二:从图形上动点 P 性质考虑,用求曲 线方程的一般方法解决. 解:(1) 解法一:(学生口答) 设圆心 C(a,b)、半径 r,则由 C 为 P 1 P 2 的中点得:

又由两点间的距离公式得:

∴所求圆的方程为:(x-5) +(y-6) =10

2

2

解法二:(给出板书) ∵直径上的四周角是直角,∴对于圆上任一点 P(x,y), 有 PP 1 ⊥PP 2 .

化简得:x +y -10x-12y+51=0.

2

2

即(x-5) +(y-6) =10 为所求圆的方程.

2

2

解(2):分别计算点到圆心的距离:

因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 总结:1.求圆的方程的方法 (1)待定系数法,确定 a,b,r; (2)轨迹法,求曲线方程的一般方法. 2.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r;

(2)点在圆外 (3)点在圆内

d> r; d< r.

拓展延伸:求证:以 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )为直径端点的圆 的方程为(x-x 1 )(x-x 2 )+(y-y 1 )(y-y 2 )=0.

(五)总结反思、共同提高
1.圆的方程的推导步骤; 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆 的半径; 3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)轨迹法.

【作业布置】 课本 P79 1,2

【板书设计】

【教后反思】

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