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2015年18课 定积分(理科)原版


湖南理科高考 750 分得分 723 分的《状元真功夫》 :姚老师电话:15274470417

高中数学第 18 课导数“一对一”

高中数学辅导
高考 750 分得分 723 分的湖南理科

《状元真夫》
2015 高考一轮复习(理科)
第 18 讲 定积分与微积分基本定理
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学员姓名:__________________ 辅导老师: 姚老师电话:15274470417 ★ ★★★★

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高中数学第 18 课导数“一对一”

第 18 讲

定积分与微积分基本定理

3.微积分基本定理 一般地,如果 F′(x)=f(x),且 f(x)在[a,b]上可积, 那么?bf(x)dx=F(b)-F(a)这个结论叫做微积分基本定理,又叫做
?a

【学习目标】 1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.

牛顿—莱布尼兹公式,其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. 【知识要点】 1.定积分的定义及相关概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1 <xi<?<xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi n n b-a , x ] 上任取一点 ξ ( i = 1 , 2 , ?, n ) , 作和式∑ f ( ξ ) Δ x =∑ -1 i i i i=1 i=1 为了方便,我们常把 F(b)-F(a)记作 F(x)ab
b b 即? ? f(x)dx=F(x)a =F(b)-F(a)

?a

【基础检测】
3 1.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若? ? f(x)dx=3f(x0),则 x0=( )

n

f(ξ i).当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函
b ?b 数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作? i=1 ? f(x) dx,即? f(x)dx= ∑ n

?0

A.±1

B. 2

C.± 3

D.2
?a 3 ?? 3 ? x +bx?? 0 = 9a + 3b = ?3 ??

?a

?a

b-a f(ξ i).这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b] n 叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx
叫做被积式. 2.定积分的性质
b b (1)? kf(x)dx=k? f(x)dx(k 为常数); ? ?

2 3 ?3 1【解析】? ? f(x)dx = ? (ax + b)dx =

?0

?0

3f(x0).∴f(x0)=3a+b=ax02+b,∴x02=3,∴x0=± 3. 2.曲线 y=x2-2x 与直线 x+y=0 所围成的封闭图形的面积为( ) 2 A. 3 5 B. 6 1 C. 3 1 D. 6
?0

?a

?a

2 1 2. 【解析】 如图, A(1, -1), 故所求面积为 S=? ? (-x-x +2x)dx 1 ?1 2 1 3?? 1 1 1 ? =? x - x ? ? = - = . 3 ?? 0 2 3 6 ?2

b (2)?b[f(x)±g(x)]dx=?bf(x)dx± ? g(x)dx;

?a ?a

?a

?a

(3)?bf(x)dx=?cf(x)dx+?bf(x)dx(其中 a<c<b).
?a ?c

第1面
2

第2面

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例1求下列定积分:
? 1? 2 x 2 ?1(e +2x)dx;(3)?4? x+ ?dx; (1)? (3 x + 2 x ) dx ; (2) ? ? ? ?1 ?0 ?1?

x?

3.设 f(x)=? 1 (e 为自然对数的底数), ,x∈( 1 , e] ? ?x 则∫0 f(x)Dx 的值为________.
e1 1 2 3.【解析】∫0ef(x)Dx=? x Dx +∫ 1 Dx ? e

2 ?x ,x∈[0,1]

?

(4)

?

π 2 0

(cos2 x-2sinx )dx .

【解析】(1)原式=(x3+x2)12=12-2=10. x 1 2 1 1 x ?12xdx=e 0 +x 0 =e-1+1=e. (2)原式=? e dx + ? ?
?0 ?0

?0

x

1 2 34 4 4 ?4 dx= x 1 +ln x1 (3)原式=? xdx + ? ?x 3 2 ? ?
1 1



x3?1 ? +ln 3? 0
? -2

x? ?e1= +ln e= .
?

?

1 3

4 3

2 3 14 = 4 -1+ln 4-ln 1= +ln 4. 3 2 3

2 2 2 4.计算? ? ( 4-x +x )dx 的值为___________.

(4) 原式=

?

π 2 0

π π 1 π cos2 xdx - ? 2 2sinxdx = 2 sin 2 x 2 + 2cos x 2 0 0 0

2 4.【解析】由于? ?

?-2

(

2 4-x2+x2)dx=? ?

? -2

4-x2dx+

?1 3?? 1 16 2 ? x dx= π ?2 +? x ?? = 2 π + . ? 2 3 ?3 ?? ? -2 ?
2 2 2 -2

=0-0+0-2=-2. 【点评】计算一些简单的定积分,解题的步骤是: ①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与 常数的积或差; ②分别用求导公式找到一个相应的原函数; ③计算原始定积分的值.

第3面 一、微积分基本定理及应用
3

第4面 二、定积分几何意义及应用

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例2 过点 A(6,4)作曲线 f(x)= 4x-8的切线 l. (1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l、x 轴及曲线 f(x)= 4x-8所围成的封闭图形的面积 S.

三、定积分在物理学中的应用 例3一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s) 运动.求: (1)在 t=4 s 时的位置; (2)在 t=4 s 时运动的路程.
2 4 【解析】(1)在时刻 t=4 s 时该点的位置为? ? (t -4t+3)dt=

?0

?1 3 ? 4 2 ? t -2t +3t?04= m. 3 ?3 ?

1 1 【解析】(1)∵f′(x)= ,∴f′(6)= , 2 x-2 1 ∴切线 l 的方程为:y-4= (x-6),即 x-2y+2=0. 2 1 (2)令 f(x)=0,则 x=2,令 y= x+1=0,则 x=-2. 2
?1 ? ? x+1?dx-?6 4x-8dx ∴S=? ? ?2 ? ? ?-2 ?2
6

4 即在 t=4 s 时,该点距出发点 m. 3 (2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3). ∴在[0,1]及[3,4]上,v(t)≥0, 在[1,3]上,v(t)≤0, ∴t=4 s 时的路程为
??3(t2-4t+3)dt? 2 2 1 ? + ?4 (t - 4t + 3)dt ? S = ? (t - 4t + 3)dt + ?? ? ? ? 1 ? ? ?0 3
2 2 2 1 ?3 ?4 =? ? (t -4t+3)dt-? (t -4t+3)dt+? (t -4t+3)dt=4(m).

?1 2 ? 1 3 16 =? x +x?-26- (4x-8) 26= . 6 2 3 ?4 ?

?0

?1

?3

【点评】应用定积分计算曲边几何形的面积时,注意积分区间和 被积函数的确定.

即在 t=4 s 时,运动的路程为 4 m. 【点评】因位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,因此需判断在[0,4]上哪些时间段 的位移为负.

第5面

第6面 例4如图,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-x2+2ax(a>1)交
4

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于点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1,C2 分别交于点 D、B,连结 OD、AD 、AB. (1)写出由线段 OD, DA,BA 及曲线 OB 所构成曲四边形 ABOD 的面 积 S 与 t 的函数关系 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

【解析】(1)曲线 C1,C2 的交点为 O(0,0),A(a,a2)且 B(t,- t2+2at),D(t,t2). 1 1 2 2 t 故 f(t)=? ( - x + 2 ax ) dx - t ? t + (-t2+2at-t2)?(a-t) ? 2 2 ?
0

1 所以[f(t)]max=f(1)=a2-a+ , 6 2+ 2 当(2- 2)a<1 即 1<a< 时, 2 ∵0<t<(2- 2)a?f′(t)<0, ∴S=f(t)在(0,(2- 2)a]上是增函数,在((2- 2)a,1]上是 减函数, 2 2-2 3 ∴[f(t)]max=f((2- 2)a)= a 3 1 2+ 2 a2-a+ , a≥ . 6 2 综上所述,[f(t)]max= . 2 2 -2 3 2+ 2 a , 1<a< 3 2 走进高考

? ? ? ? ?

1 x 2 2 2 ?2 1.(2013 江西)若 S1=? x dx , S 2=? ? ? dx,S3=? e dx,则 S1,S2,S3
?1 ?1x ?1



? 1 3 ??t 1 2 ?- x +ax ?? 0- t3+(-t2+at)(a-t). 2 ? 3 ??

的大小关系为( A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 1.【解析】S1 =

) B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 1 3? 2 7 1 2 x ? 1= , , S2 = ? dx ,S3 =ex ? 3 ? 3 ?x
1

1 ∴f(t)= t3-at2+a2t(0<t≤1). 6 1 1 (2)f′(t)= t2-2at+a2,令 f′(t)=0,即 t2-2at+a2=0, 2 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a(舍去). 2+ 2 当(2- 2)a≥1 即 a≥ 时, f′(t)≥0 在 t∈(0, 1]上恒成 2 立,所以 S=f(t)在(0,1]上为增函数, 第7面

2 = e2 -e ,易知 1

S2<S1<S3,故选 B.

第8面
5

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2.(2012 山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,

考点集训
1 1.? ? (sin x+1)dx 的值为(

y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.
a 2、 【解析】S=? ?

?0

2 a 2 4 xdx= x2 = a2=a2,解得 a= . 3 0 3 9
3

3

3

?-1

)

A.2
1

B.0

C.2+2cos 1 D.2-2cos 1

?1
1.【解析】? ? (sin x+1)dx=(x-cos x)
? -1

3.【2014?山东卷(理 6) 】直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成 的封闭图形的面积为 (A) 2 2 (B) 4 2 (C)2(D)4

1

=1-cos 1+1+cos(-1)=2. 2 2. 曲线 y= 与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为( )

x

A.2-ln 2 4.【2014?陕西卷(理 3) 】定积分 ?0 (2 x ? e x )dx 的值为(
A.e ? 2
1 1

B.4-2ln 2 D.2ln 2



C.4-ln 2

B.e ? 1
x 2 x

C .e

D.e ? 1

2 2.【解析】直线 y=x-1 与曲线 y= 的交点坐标为(2,1),

4.【解析】 ?0 (2 x ? e )dx ? ? x ? e
1 3 1 3

?

1 0

? ?1 ? e ? ? 1 ? e ,选 C。
1 1

x

5.【2014?江西卷(理 8) 】若 f ( x) ? x 2 ? 2?0 f ( x)dx, 则 ?0 f ( x)dx ?( A. ?1 5.【答案】B B. ? C. D.1



? ?1 2 ? 4 2? 4 ?(x-1)- ?dx=? x -x-2ln x? 则 S=? ?? x? ?2 ? 2 ?2

=4-2ln 2. 3.一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿 与 F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时 F(x)作 的功为( A. 3 J ) 2 3 B. J 3 4 3 C. J 3 D.2 3 J

【解析】由于 F(x)与位移方向成 30°角.如图,F 在位移方向上的
2 2 分力 F′=F?cos 30°,W=? ? (5-x )?cos 30°dx

?1

第9面
6

第 10 面

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高中数学第 18 课导数“一对一” ?1 ? 6.已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B? ,5?, ?2 ?



1 3? 3 2 3? 2 ? (5-x )dx= ?5x- x ? 3 ? 2? 2? ?
1

2 3 8 4 3 = 1 2 ?3= 3

J.

C(1,0),函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积
为________.

4. 设 f(x)=? x+?a3t2dt (x≤0) , 若 f(f(1))=1, 则 a=_____. ? ?

? ?

lg x
0

(x>0)

6.【解析】先求出 y=f(x),再用定积分求面积. 1 10x,0≤x≤ , ? ? 2 y=f(x)=? 1 -10x+10, <x≤1. ? ? 2 1 10x ,0≤x≤ , ? ? 2 ∴xf(x)=? 1 -10x +10x, <x≤1. ? ? 2
2 2

2 3 a a 4.【解析】f(1)=lg 1=0,f(0)=0+? ? 3t dt=t 0 =1,解得 a=1.

?0

5.? ?

2

?0

4-x2dx=____________.

5.【解析】∵y= 4-x2的图形表示半圆 x2+y2=4(y≥0), ∴

?
2

2

0

4 ? x 2 dx

表 示 曲 边 梯 形 OBCD 的 面 积 , 所 以

∴所求面积为 S=

?

1 2 0

10 x 2dx + ?1 ? ?10 x 2 ? 10 x ? dx
1 2

?

0

4 ? x 2 dx =S

扇形 OBC

+S△OCD

1 1 ? 1 10 2 ? 10 3 2 = x3 +?- x +5x ? 3 0 ? 3 ? 2
= 1? 5 10 1 ? 10 ? ? 10 1 ? +?- +5?-?- ? +5? ?= . 4? 4 3 8 ? 3 ? ? 3 8 第 12 面

1 1 1 π = ?(2π )+ 2? 2= π +1,故填 +1. 4 2 2 2

第 11 面
7

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x 7.若 y=? ? (sin t+cos tsin t)dt,求 y 的最大值.

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?0

B(-4,-12).P 点的横坐标的范围是:-4<a<1.
|3a-b| 点 P(a,b)到直线 y=3x 的距离 d= 2 . 1 +32 因为点 P 在抛物线上,所以 b=4-a2. ∴d = 3?2 1 1 ? 25 (4-3a-a2)=- .?a+ ? + 2? 10 10 ? 4 10

7.【解析】y=? ? (sin t+cos t?sin t)dt
x

?0

x 1 2 =(-cos t) - (cos t) 0 2 0
1 1 =-cos x+cos 0- cos2x+ cos20 2 2 1 3 1 =- cos2x-cos x+ =- (cos x+1)2+2. 2 2 2 当 cos x=-1 时,ymax=2. 8.如图,抛物线 y=4-x 与直线 y=3x 的两个交点为 A,B.点
2

x

3 9 7 当 a=- 时,d 最大,这时 b=4- = . 2 4 4
? 3 7? 所以点 P 坐标为?- , ?时,△PAB 的面积最大. ? 2 4?

3 另解:令 y′=-2x=3,得 xP=- , 2
? 3 7? 7 代入 y=4-x2,得 yP= ,∴P?- , ? 4 ? 2 4?

P 在抛物线的弧上从 A 向 B 运动.
(1)求使△PAB 的面积为最大时点 P 的坐标(a,b); (2)证明:由抛物线与直线 AB 围成的图形被直线 x=a 分为面积 相等的两部分.

(2)证明:设上述抛物线与直线 AB 所围成的图形的面积为 S,位 3 于直线 x=- 的右侧的面积为 S1. 2
2 1 S=? ? (4-x -3x)dx=

? -4

125 , 6 125 , 12

S1=∫1- (4-x2-3x)dx=
2 ? ? ?y=4-x , ? ?x=1, ?x=-4, ? ? 8.【解析】(1)解方程组 得 或? ? y=3x, ? y=3, ? ? y=-12, ? ?

3 2

3 ∴S=2S1,即直线 x=- 平分 S,原命题得证. 2

所以抛物线 y=4-x2 与直线 y=3x 的两交点坐标为 A(1,3), 第 14 面
8

第 13 面


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