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重庆市第八中学2015-2016学年高二下学期第四次月考数学(文)试题 Word版含答案


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数学(文)试题
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B )

2.已知集合 A ? x lg ? x ? 1? ? 0 , B ? x ?1 ? x ? 3 ,则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? B. ? ?1, 2? C. ?1,3? ) C. ?1 ? i D. ?1, 2?

?

?

?

?



3.复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? A. 1 ? i

3 ? i ,则 z ? (

B. 1 ? i

D. ?1 ? i )

4.幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 ? , A.

?1 2? ?2 2 ? ? ,则 log 4 f ? 2 ? 在值为( ? ?
C.

1 4

B.

1 2

3 4

D.1 )

5.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

A.7

B.9

C.10

D.11 )

6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( A.

3 ?8 ? ? ? 6

B.

3 3 3 ? 9 ? 2? ? C. ?8 ? 2? ? D. ? 6 ? ? ? 6 6 6


7.函数 f ? x ? ?

1 x ? sin x 的大致图象可能是( 2

A.

B.
x

C.

D. )

8.已知 0 ? a ? 1,则方程 a ? log a x ? 0 的零点个数是(
1

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A.1

B.2

C.3
?1.1

D.4 ,则( )

9.已知 x ? log 2 3 ? log 2 3, y ? log 0.5 3, z ? 0.9 A. x ? y ? z B. z ? y ? x

C. y ? z ? x

D. y ? x ? z

10 . 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ? x ? , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有 f ? t? ? f ?1 ? t ? ,且

? 1? x ? ?0, ? 时, f ? x ? ? ? x 2 ,则 ? 2?
A.

?3? f ? ? ? 的值等于( ?2?



1 9 1 C. D. ? 4 4 4 1 2 11.已知点 A 是抛物线 y ? x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在 4
9 4
B. ? 抛物线上且满足 PF ? m PA ,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A, F 为焦点的双曲线上, 则该双曲线的离心率为( A. )

5 ?1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

12 . 已 知 函 数 f ? x ? ?

1 2 b x 1 x ? ? c ( b, c 是 常 数 ) 和 g ? x ? ? ? 为 定 义 在 2 4 x x

M ? ? x 1 ? x ? 4? 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? M , 存 在 x0 ? M 使 得

f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ? , 且 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 f ? x ? 在 集 合 M 上 的 最 大 值 为
( A. )

7 2

B.5

C.6

D.8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.计算: lg 25 ? 2 lg

1 ? ______. 2

14.已知曲线 f ? x ? ? ? x ? a ? ln x 在点 1, f ?1? 处的切线与曲线 2 x ? y ? 2 ? 0 平行,则实 数 a ? ______. 15.已知函数 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? 2x ? x ? 0? 为奇数,则 f ? g ? ?1? ? ? ______. g x x ? 0 ? ?? ? ? ?

?

?

16 . 现 定 义 一 种 运 算 “ ? ”: 对 任 意 实 数 a, b, a ? b ? ?

?b, a ? b ? 1 . 设 ? a, a ? b ? 1

2

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若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? k 的图象与 x 轴恰有三个公共点, 则k f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ? ? x ? 3? , 的取值范围是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.
17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 垂直于直线 y ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线 4 x 2

1 x. 2

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

18. (本小题满分 12 分) 某中学地理研究学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究, 记录了实 验室 4 月 10 日至 4 月 14 日的每天昼夜温差与每天稻籽的发芽数,得到如下资料:

日期 温差 x / ?C 发芽数 y /

4 月 10 日 10 11

4 月 11 日 12 13

4 月 12 日 13 14

4 月 13 日 14 16

4 月 14 日 11 12


(Ⅰ)从 4 月 10 日至 4 月 14 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m 、 n ,求事件“ m 、

n 均小于 14”的概率.
(Ⅱ)根据表中的数据可知发芽数 y (颗)与温差 x ? ?C ? 呈线性相关,请求出发芽数 y 关 于温差 x 的线性回归方程 y ? bx ? a .

(参数公式:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,其中 x, y 为样

本平均值.本题中:

? xi yi ? 804, ? xi2 ? 730 )
i ?1 i ?1

5

5

3

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19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, 面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形, AB

AC ? 3 , CD ,

AB ? 2BC ? 2 , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求该几何体的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 椭圆于 A, A? 两点, AA? ? (1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2 )若直线 l 与圆 O : x ? y ? 1 相交于不同的两点 E , F ,与椭圆 C 相交于不同的两点
2 2

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交 2

2.

G, H ,求 ?OEF 的面积最大时弦长 GH 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分,第Ⅰ问 4 分,第Ⅱ问 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?

a ?1 ? a ? R ? , g ? x ? ? ln x . x

(1)当 a ? 2 时,求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的最小值; (2)当 a ? 0 ,对任意 x ? 1,不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围. 23. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的参数方程 为?

?x ? t ( t 为参数) ,曲线 C1 方程为 ? ? ? ? 4sin ? ? ? 12 ,定点 A ? 6, 0 ? ,点 P 是曲线 C1 ? y ? at

上的动点, Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与直线 C2 交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,求实数 a 的取值范围.

4

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重庆市第八中学 2015-2016 学年高二下学期第四次月考数学 (文)试题参考答案及分析
一、选择题:1.CDAAB 二、填空题:13.2 三、解答题
1 a 1 1 ? 2 ? ,由 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于直线 y ? x 4 x 2 x 3 5 知 f ? ?1? ? ? ? a ? ?2 ? a ? 4 4
17.解: (1) f ? ? x ? ? (2) 由(Ⅰ) 知 f ?? x? ? 14.1 AABDC CB 15. ?15 16. ? ?2,1?

1 5 1 ? x ? 1?? x ? 5 ? ? 2? ? ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 5 4 4x x 4x2

因为 f ? x ? 的定义域 ? 0, ?? ? ,所以当 x ? ? 0,5? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,5? 上为减函 数;当 x ? ? 5, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 上为增函数 18.解: (1) P ?

3 (过程略) 10
2

(2)计算得 x ? 12, y ? 13.2 ,从而 5 x y ? 792,5x ? 720

b?

804 ? 792 ? 1.2, a ? 13.2 ? 1.2 ?12 ? ?1.2 ,故线性回归方程为 y ? 1.2 x ? 1.2 730 ? 720
2 2 2

19. (1) 因为 AC ? 3, AB ? 2BC ? 2 , 所以 AB ? AC ? BC , 由勾股定理 AC ? BC , 又 AC ? FB ,所以 AC ? 平面 FBC (2)过 D 作 DM ? AB 于 M ,过 C 作 CN ? AB 于 N 于是: V ? VE ? AMD ? VEDM ? FCN ? VF ?CNB ? 2VE ? AMD ? VEDM ? FCN 而 VE ? AMD ?

1 1 3 3 3 3 , VEDM ? FCN ? S EDM ? CD ? ? S AMD ? ED ? ? ?1 ? ?1 ? 3 3 8 24 4 4

所以 V ? 2 ?

3 3 3 (还有其他分割方式) ? ? 24 4 3

5

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? c 2 e? ? ? ? a 2 20. (1)依题意有: ? ,解得: a ? 2, b ? 1, c ? 1 2 ? AA? ? 2b ? 2 ? a ?
于是:椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ? m , 其 中 d ?

m 1? k
2

?

2 ,于是 2

? y ? kx ? m 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 2m2 ? 1 ? k 2 ,联立方程组 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
设 G ? x1 , y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2

于是,由弦长公式可得: GH ? 1 ? k ?
2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

2m 2 ? 2 1? k 2 ? ?4km ? ? 1? k ? ? 2 ? ? 4 2 ? 16k 2 ? 8 ? 8m 2 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ?
2 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 1 代入 2m ? 1 ? k 得 GH ? 2k 2 ? 1
2 2
2 令 t ? 2k ? 1 ? 1 ,则 k ?
2

3t 2 ? 2t ? 1 1 2 t ?1 ? ? 2 ? ?3 代入上式得: GH ? 2 2 t t t

由于 t ? 1 ,所以 0 ?

1 ? 1 ,于是 3 ? GH ? 2 t

综上所述: 3 ? GH ? 2

6

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21.解: (1)当 a ? 2 时, h ? x ? ? 2 x ?

1 1 1 2 x2 ? x ?1 ? ln x, h? ? x ? ? 2 ? 2 ? ? ? x ? 0? x x x x2

令 h? ? x ? ? 0 得: 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得: x ? 1 令 h? ? x ? ? 0 得: 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得: 0 ? x ? 1 综上:函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? 故 h ? x ? 的最小值为 h ?1? ? 3

a ?1 ? ln x ? 1 , x a ?1 ? ln x ? 1 恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 方法一:一方面,在 x ? ?1, ?? ? 时, ax ? x
(2) f ? x ? ? g ? x ? ? 1即 ax ?

a ? a ?1 ? 0 ? 1 ,故 a ? 1 是不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1恒成立的必要条件
另一方面,当 a ? 1 时,记 h ? x ? ? ax ?

a ?1 ? ln x ,则在 x ? ?1, ?? ? 上, h ? x ? ? 1 x

h? ? x ? ? a ?

1 ? a 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? ax ? a ? 1?? x ? 1? ? ? ? x2 x x2 x2

∵ a ? 1, x ? 0 ,∴ ax ? a ?1 ? 0 ,∴ x ? ?1, ?? ? 时 h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增 ∴ h ? x ?min ? h ?1? ? 2a ? 1 ∵ a ? 1 ,∴ 2a ?1 ? 1 ,即 h ? x ? ? 1 恒成立 故 a ? 1 是不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1恒成立的充分条件 综上,实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? 方法二:记 h ? x ? ? ax ?

a ?1 ? ln x ,则在 ?1, ?? ? 上 h ? x ? ? 1 恒成立等价于 h ? x ?min ? 1 x
2

1? ? a ? x ? 1 ? ? ? x ? 1? 1 ? a 1 ax ? x ? 1 ? a a? h? ? x ? ? a ? 2 ? ? ? ? 2 x x x x2
①当 ?1 ?

1 1 1? 1 ? ? ? ? 1 即 0 ? a ? ,此时 h ? x ? 在 ?1, ?1 ? ? 上单调递减,在 ? ?1 ? , ?? ? 上单 a 2 a? a ? ? ?

7

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调递增,于是 h ? x ?min ? h ? ?1 ? ②当 ?1 ?

? ?

1? ? ? h ?1? ? 2a ? 1 ? 0 ,这与 ?1, ?? ? 上 h ? x ? ? 1 矛盾; a?

1 1 ? 1 即 a ? 时,此时 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增 a 2

∴ h ? x ?min ? h ?1? ? 2a ? 1 ? 1 ,解得: a ? 1 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? 23.解: (1)由题意知,曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 16
2 2

设 P ? x?, y? ? , Q ? x, y ? ,由中点坐标公式得 ?
2 2

? x? ? 2 x ? 6 , ? y? ? 2 y

将 P ? x?, y? ? 代 入 x? ? ? y? ? 2 ? ? 1 6中 , 得 点 Q 的 轨 迹 C2 的 直 角 坐 标 方 程

? 2x ? 6? ? ? 2 y ? 2?
2 2

2

? 16 ,
2

即是 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 4 . (2)直线 l 的普通方程 y ? ax ,由题意得: 解得 0 ? a ?

3a ? 1 a2 ? 1

? 22 ?

? 3?

2

3 . (圆中黄金三角形) 4

8


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