当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省东台中学2013届高三一轮复习教案:专题二 第三讲 平面向量与复数


www.ewt360.com

升学助考一网通

第三讲 平面向量与复数
一、向量有关的概念及运算 例 1、已知向量 u ? ( x, y) 与 v ? ( y, 2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u ) 表示。 (1)证明:对于任意向量 a , b 及常数 m,n 恒有 f (ma ? nb ) ? mf (a )

? nf (b ) 成立; (2)设 a ? (1,1), b ? (1, 0) ,求向量 f (a ) 及 f (b ) 的坐标; (3)求使 f (c ) ? ( p, q) , (p,q 为常数)的向量 c 的坐标

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解析: (1)设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ) ,则 ma ? nb ? (ma1 ? nb1 , ma2 ? nb2 ) ,故

?

?

?

?

? ? f (ma ? nb ) ? (ma2 ? nb2 , 2ma2 ? 2nb2 ? ma1 ? nb1 )

? m(a2 ,2a2 ? a1 ) ? n(b2 ,2b2 ? b1 ) ,
∴ f (ma ? nb ) ? mf (a ) ? nf (b ) (2)由已知得 f (a ) =(1,1) f (b ) =(0,-1) , (3)设 c =(x,y) ,则 f (c ) ? ( y, 2 y ? x) ? ( p, q) , ∴y=p,x=2p-q,即 c =(2P-q,p) 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ???? ? 例 2、已知非零向量 AB 与 AC 满足 (

??? ? ???? ??? ? ???? ? AB AC 1 AB AC ??? ? ??? ? ???? ) ? BC = 0 且 ??? ? ???? ? , ? | AB | | AC | 2 | AB | | AC |

则△ABC 为_____________三角形。 ??? ? ???? ? AB AC ??? ? 解:由 ( ??? ? ???? ) ? BC = 0,知角 A 的平分线垂直于 BC,故△ABC 为等腰 | AB | | AC |
??? ? ???? AB AC 1 ? 三角形,即|AB| = |AC|;由 ??? ? ???? ? | AB | | AC | 2

??? ???? ? AB ? AC ? cos A ? ???? ???? ? 1 , | AB | ? | AC | 2

∴ ?A = 600 . 所以△ABC 为等边三角形。 ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3、(1)已知 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 1200,求使 a ? kb 与 ka ? b 的夹 角为锐角的实数 k 的取值范围. ? ? ? ? (2) 已知 a ? (m ? 2, m ? 3) , b ? (2m ? 1, m ? 2) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,求实 数 m 的取值范围. ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? 解:(1) (a ? kb) ? (ka ? b) = k a ? (k 2 ? 1)a ? b ? kb = k + (k2 + 1)?1?2?cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 ,
第 1 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

依题意,得 – k2 + 5k –1>0,∴

5 ? 21 5 ? 21 . ?k? 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? 又 当 a ? k b与 ka ? b 同 向 时 , 仍 有 (a ? kb) ? (ka ? b) > 0 , 此 时 设

? ? ? ? ? ? a ? kb ? ? (ka ? b) ,显然 a 、 b 不共线,所以 ?k ? 1 ,k = ? , k = ? = ?1 , 取 k = ? =1.



5 ? 21 5 ? 21 且 k≠1 . ?k? 2 2

A

例 4、如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的 中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同 ??? ? ???? ???? ? ???? 的两点 M、N,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则

N B O C

E m + n =______. 解 1:取特殊位置. 设 M 与 B 重合,N 与 C M 重合,则 m=n=1, 所以 m+n=2. ???? 1 ??? 1 ???? m ???? n ???? ? ? m n 解 2:AO ? AB ? AC = AM ? AN , ∵M、 N 三点共线, O、 ∴ ? ?1, 2 2 2 2 2 2 ∴m + n = 2. ??? ???? ? ???? ???? ? ???? ? 解 3:过点 B 作 BE∥AC, 则 BE ? NC ? (n ? 1) AN , BM ? (1 ? m) AM .

??? ? ???? ? | BE | | BM | ? 又 ???? ? ???? ,∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . | AN | | AM |
二、向量与三角结合 例 5、已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ) 与 b 之间有关系|ka+b|= 3 |a-kb|, ,a 其中 k>0, (1)用 k 表示 a?b; (2)求 a?b 的最小值,并求此时 a?b 的夹角的大小。 解 (1)要求用 k 表示 a?b,而已知|ka+b|= 3 |a-kb|,故采用两边平方,得

|ka+b|2=( 3 |a-kb|)2 k a +b +2ka?b=3(a +k b -2ka?b) ∴8k?a?b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2 a?b =
(3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 8k
2 2 2 2 2 2

∵a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), ∴a2=1, b2=1, ∴a?b =
3 ? k 2 ? 3k 2 ? 1 k 2 ? 1 = 4k 8k
第 2 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(2)∵k2+1≥2k,即 ∴a?b 的最小值为

k 2 ? 1 2k 1 ≥ = 4k 4k 2

1 , 2

又∵a?b =| a|?|b |?cos ? ,|a|=|b|=1 ∴
1 =1?1?cos ? 。 2

∴ ? =60°,此时 a 与 b 的夹角为 60°。 例
? ? o 6 、 已 知 向 量 a ? ( c ? s ? , bs? i n ? ) , ?
? ? a , k ? R? ? k b

c a s , s ,( 且 o , b 满 足 i n

? ?

)

? ? k a ? b 3 ?

(1) 求证 (a ? b) ? (a ? b) ;

? ?

? ?

(2)将 a 与 b 的数量积表示为关于 k 的函数 f (k ) ;

?

?

(3)求函数 f (k ) 的最小值及取得最小值时向量 a 与向量 b 的夹角 ? . 解:(1) ? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )

?

?

?

?

? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? (a ? b)?(a ? b) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? 1 ? 1 ? 0 , 故 (a ? b) ? (a ? b)
(2) ? k a ? b ? 3 a ? kb ,

?

?

?

?

? ?2 ? ?2 ? 2 ?2 ?? ?? ? ka ? b ? 3 a ? kb , 又? a ? b ? 1? k 2 ? 2ka? ? 1 ? 3 ? 6ka? ? 3k 2 , b b
? ? k 2 ?1 ? a? ? b , (k ? 0) 4k
(3) f (k ) ? 故 f (k ) ?

k 2 ?1 , (k ? 0) . 4k

k 2 ?1 k 1 k 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ,此时当 k ? 1, f (k ) 最小值为 . 4k 4 4k 4 4k 2 2 ? ? ? ? ? a? b 1 ? cos ? ? ? ? ? ,量 a 与向量 b 的夹角 ? ? 3 a b 2
5 ? | w ? 2 | ,求一个以 w

三、复数

例 7、已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2w) i ( i 为虚数单位) z ? ,
z 为根的实系数一元二次方程.
[解法一] ? w(1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,∴ w ?

4 ? 3i 5 ? 2 ? i, z ? ? | ?i |? 3 ? i . 1 ? 2i 2?i

若实系数一元二次方程有虚根 z ? 3 ? i ,则必有共轭虚根 z ? 3 ? i .
第 3 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

? z ? z ? 6, z ? z ? 10 ,

? 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 .
[解法二] 设 w ? a ? b i (a、b ? R) a ? b i ? 4 ? 3i ? 2a i ? 2b ,

?a ? 4 ? 2b, 得 ? ?b ? 3 ? 2 a ,

? a ? 2, ? ? ?b ? ?1,

? w?2?i,
以下解法同[解法一].

1 ∈R 且|z-2|=2 的复数 z. z 分析:设 z=a+bi(a、b∈R),代入条件,把复数问题转化为实数问题,易得 a、b 的两个 方程 解法一:设 z=a+bi, a ? bi 1 1 则 z+ =a+bi+ =a+bi+ 2 z a ? bi a ? b2 b b =a+ 2 +(b- 2 )i∈R 2 a ?b a ? b2 b ∴b= 2 ∴b=0 或 a2+b2=1 2 a ?b 当 b=0 时,z=a, ∴|a-2|=2 ∴a=0 或 4 a=0 不合题意舍去,∴z=4 当 b≠0 时,a2+b2=1 又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4
例 8、设 z∈C,求满足 z+

1 1 15 15 ,b= ? ,∴z= ± i 4 4 4 4 1 15 综上,z=4 或 z= ± i 4 4 1 解法二:∵z+ ∈R, z 1 1 ∴z+ =z + z z
解得 a= ∴(z- z )-

z?z zz

=0,(z- z )?

| z | 2 ?1 =0 | z |2

∴z= z 或|z|=1,下同解法一

第 4 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

第 5 页

版权所有 升学 e 网通


相关文章:
高三数学第一轮复习专题二 第三讲
高三数学第一轮复习专题二 第三讲_数学_高中教育_...5. (2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的...
专题二第三讲 平面向量与复数
专题二 三角函数、平面向量... 9页 免费 江苏省东台中学2013届高三... 暂无...第三讲 平面向量与复数一、向量有关的概念及运算 例 1、已知向量 u ? ( x...
2014届高三专题复习篇专题二 第三讲
2014届高三专题复习专题二 第三讲 暂无评价|0人阅读...5. (2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的...先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数...
高考第一轮复习--平面向量和复数
高三复习平面向量复数... 4页 免费 2013届高考数学第一轮精讲... 暂无...专题二 三角函数、平面向量... 9页 免费 三角函数【概念、方法、题... 12页...
理科一轮复习之平面向量与复数
理科一轮复习平面向量与复数_数学_高中教育_教育...18. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考,6) 若 ...20. (湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月...
2013版平面向量高考数学一轮复习精品习题
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 2013 版高考数学一轮复习精品学案 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 【知识特点】 平面向量作为工具性知识,和三角函数...
高三理数一轮复习 平面向量与复数德精选习题含答案
高三理数一轮复习 平面向量与复数德精选习题含答案_数学_高中教育_教育专区。高三理科数学周测十二一、选择题 (2007 高考广东卷第 2 小题) 1、若复数 (1 ...
2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题二第三讲导数的应用
2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题二第三讲导数的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题二第三讲导数的应用第...
东海高级中学高三数学第一轮复习(平面向量专题①)
东海高级中学高三数学第一轮复习(平面向量专题①) 一王新敞奎屯 新疆 选择题( (本大题共 10 小题,每题 5 分,满分 50 分,在每小题后所给的四个选项中,...
更多相关标签: