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人教A版高中数学选修2-1课件:3.2立体几何中的向量方法(4)(共22张)


3.2立体几何中的向量综合(4)
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O
B

C

y

A

x

用坐标法解决立体几何中问题的 一般步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系; 2.写出相关点的坐标及向量的坐标; 3.进行相关的计算;

4.写出几何意义下的结论.

例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证:PA∥平面EDB; 证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG. 如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ) 2 2
? 底面ABCD是正方形, 故G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2

z

P F E C
G y

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 2 2

所以PA ? 2EG ,即PA// EG
而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB

D B

所以,PA // 平面EDB

A

x

例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。 (2)求证:PB ⊥平面EFD;

证明:依题意得 B(1,1,0), PB ? (1,1,?1)
1 1 又 DE ? (0, , ), 2 2 1 1 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2
Z

P F
D

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E,

E
C G B

所以PB ? 平面EFD
x

A

y

例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。 (3)求二面角C-PB-D的大小。 法一:已知 PB ? EF, 由( 2 )可知PB ? DF ,

故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 ( x, y, z), 则PF ? ( x, y, z ?1)
? ( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ? k )
因为PF ? k PB

z P E F C

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0

所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以k ? 3
A

D
G

y

B

x

1 1 1 1 2 ? F ( , , ) 又E (0, , ) 2 2 3 3 3 1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6 FE ? FD 因为 cos?EFD ? FE FD
1 1 1 1 1 2 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 1 3 6 6 3 3 3 A ? ? 2 x 6 6 ? 6 3

z

P
E F C D
G y

B

所以?EFD ? 60? ,

即二面角C ? PB ? D的大小为60?.

例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。 (3)求二面角C-PB-D的大小。 z
法二:(法向量) 建系如图,P(0,0,1),C(0,1,0) B(1,1,0),A(1,0,0) CB=(1,0,0) CP=(0,-1,1) 易证:AC⊥平面PBD

P E F C D
G y

取平面PBD的法向量n1 ? AC ? (?1,1,0)
设平面PBC的法向量n 2 ? ( x, y, z)

则n2·CB=0且n2·CP=0
∴x=0且-y+z=0
故 : cos ? n1 , n2 ??

取n2=(0,1, 1)
n1 ? n2 n1 ? n2 ? 1 1 ? 2 2 2

A

B

x

故所求二面角的大小为600

例2、在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的 a(0 ? a ? 2). 长度保持相等,记CM=BN=
(1)求MN的长; (2)a为何值时?MN的长最小? (3)当MN的长最小时, 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 D M

C

B
N

E

A

F

解:

2 2

Z

C D M B N E

y

A
x

F

Z

C
面MNA与面MNB所成二面角的

D

M

1 余弦值为 ? 3

A

B G N

E

y

x

F

习题
例1、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四 0 ? 边形,侧面SBC 底面ABCD。已知 ?ABC ? 45AB=2, 2 BC=2 ,SA=SB= . 3 (1)求证: SA ? BC.

(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。

S
C

O A

B

D

例2.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥ 底面ABCD,PA=AB=1,AD= ,在线段 3 BC上是否存在一点E, 使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在,确定点E的位置; Z 若不存在说明理由。 解:建立空间直角坐标系,如图: 设BE=m,则

? AP ? (0,0,1), DP ? (? 3,0,1), DE ? (m ? 3,1,0)
? 设平面PDE的法向量为n ? ( x, y, z ), ? ??? ? ? ???? ? 则n ? DP, n ? DE ,
A B E C

A (0,0,0), P (0,0,1), D ( 3,0,0), E ( m ,1,0), ??? ? ??? ? ????

P

y

? ? ?? 3 x ? z ? 0, ? z ? 3 x, D ?? 解得 ? x x ? y ? 0, ? ? ?(m ? 3) ? y ? ( 3 ? m) x, ? 令x ? 1, 得n ? (1, 3 ? m, 3),

? PA与平面PDE所成角的大小为45 ?sin 45 ?
? ?

3 4 ? ( 3 ? m)2

,

解得m ? 3 ? 2或m ? 3 ? 2 (舍),

因此,当BE ? 3 ? 2时,PA与平面PDE所成角的大小为45? 。

例3(2006年福建卷)如图,四面体ABCD中,O、E分别是 BD、BC的中点,CA ? CB ? CD ? BD ? 2 AB ? AD ? 2 (I)求证:AO⊥平面BCD; (II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (III)求点E到平面ACD的距离。 Z 解:(I)略
(II)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
A

则B(1,0,0), D(?1,0,0),

1 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , 2 ??? ? ??? ? BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA ? CD ? cos ? BA, CD ?? ??? ? ??? ? BA CD

3 , 0), 2 3, 0).
? 2 , 4
O

D

B

E

C

y

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2 . 4

? (III)解:设平面ACD的法向量为 n ? ( x, y, z), 则 ? ???? ? ? x ? z ? 0, ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ? ? ? ???? ? ? 3 y ? z ? 0. ? ?n ? AC ? ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) ? 0, ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面ACD的一个法向量, ??? ? 1 3 EC ? (? , , 0), Z 2 2 A 所以点E到平面ACD的距离 ??? ? ? EC ? n 3 21 h? ? ? . ? 7 7 n
D O B E C

y

小 结
利用法向量来解决上述立体几何题目, 最大的优点就是不用象在进行几何推理时那 样去确定垂足的位置,完全依靠计算就可以 解决问题。但是也有局限性,用代数推理解 立体几何题目,关键就是得建立空间直角坐 标系,把向量通过坐标形式表示出来,所以 能用这种方法解题的立体几何模型一般都是 如:正(长)方体、直棱柱、正棱锥等。


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