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19竞赛辅导-立体几何


竞赛辅导─立体几何
竞赛获奖 情况

引言

思考一

思考二

思考三

课外思考

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2006—2007 学年下学期高二数学竞赛获奖名单 一等奖(5 人) 曾庆允 98 陈华濂 90 傅光涛 86 陈柏佑 80 柳中梦 80 二等奖(7 人) 赖志勇 79 关永祥 75 郭积擎 74 何春晓 73 梁书豪 72 吕 国兵 71 李枚格 70 三等奖(22 人) 陈贺成 69 司徒蝶丹 69 曹佩雅 69 陈立永 69 许嘉维 68 林婷婷 68 李孔潘 67 黄凯 67 冯能贵 67 梁学锋 67 冯为蕾 67 李汝苏 66 邓永奎 66 殷梓恒 65 欧昌瑞 65 谢欣 64 黄维建 64 梁章勇 64 陆叶 63 陈东国 61 曾高权 61 刘惠敏 60 阳江市第一中学 2007.6
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通知
2007 年全国高中数学联合竞赛于 2007 年 10 月 14 日(星期日)举行. 联赛: 2007 年 10 月 14 日 8:00─9:40 联赛加试: 2007 年 10 月 14 日 10:00─12:00 现在开始报名,自愿形式. 报名费:只参加联赛的考生报名费 22 元;参加联 赛和加试的考生报名费 34 元.(详情见贴的通知) 欢迎大家踊跃报名,挑战数学竞赛题对数学思维 的训练极有价值,对参加数学高考也很有帮助. 注: 特困生可向学校申请帮交费,优秀生学校会 给奖交费(免交). 阳江市第一中学 2007.6.15
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竞赛辅导─立体几何
立体几何是中学数学中的基本的内容,通过对立体几 何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力. 数学竞赛中的立体几何问题, 主要涉及求角 (线线角、 线面角、二面角) 、求距离(点点距、点线距、点面距、 异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、平行 的面面距) 、求面积(侧面、截面、表面)与体积,以及 位置关系的判定等,并多以选择题、填空题以及求解角、 距、积的形式出现. 另外,空间向量的工具运用, 为求立体几何的空间角 和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索 性试题提供了简便、快速的解法,它的实用性是其它方法 无法比拟的,因此可加强运用向量方法解决几何问题的意 识,提高使用向量的熟练程度和自觉性. 4

竞赛辅导─立体几何
关于求角、求距离、求面积与体积,以及位 置关系的判定等问题,需要用到的知识点见教程 介绍. 今天我们主要是通过一些例题来体会处理这 些问题的基本思想方法: 一、学会转化;二、掌握基本功法.(如坐标 法、作出图形求解法)

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思考一. 如图,设正三棱锥 S—ABC 的底面边长 为 a,侧棱长为 2a,过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 交的截面 AEF,求这个截面周长的最小值. 分析: 沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图,求 ?AEF 周长最小值 问题就转化成了求 A、A'两点间 的最短距离.

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1答案

分析:沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图,求 ?AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离. 7 设 ?ASB ? ? ,则由余弦定理得 cos? ? 8 7 3 所以 cos3? ? 4 cos ? ? cos? ? 128 11 可求得 AA' ? a 4 11 即所求截面周长的最小值为 a 4 说明:这类问题通常都是将几何体的侧面展开, 空间问题转化成平面问题来解决。
思考2

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例 2.(位置关系的转化) 已知三棱锥 S-ABC 中,∠ABC=90°,侧棱 SA⊥底面 ABC,点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 点 E、F,求证:EF⊥SC.
分析:∵A、E、F 三点不共线,AF⊥SC, ∴要证 EF⊥SC,只要证 SC⊥平面 AEF, 只要证 SC⊥AE(如图 1) 。 又∵BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面 SAB, ∴SB 是 SC 在平面 SAB 上的射影。 ∴只要证 AE⊥SB(已知) ,∴EF⊥SC。

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思考二(教程 P392 第 4 题):体积的转化 在四面体 ABCD 中,设 AB ? 1, CD ? 3 ,直线 ? AB 与 CD 的 距 离 为 2, 夹 角 为 , 则 四 面 体 3 ABCD 的体积等于_______.(2003 年全国高中数 学联赛题) 1

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思考三:(掌握基本方法) (1998 年全国高中数学联赛题) 设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱 AB、BC、CD 的中点,则二 面角 C ─FG─E 的大 小是( ) 6 ? 3 (A) arc sin (B) ? arc cos 3 2 3 ? 2 (C) ? arctan 2 (D) ? ? arc cot 2 2

D

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练习

练习 1.(200 1 年全国高中数学联赛题) A1 1 1 正方体 ABCD ─ B C D 1 的棱长为 1, 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 ____. 6

6
练习 2.(200 3 年全国高中数学联赛山东题) A1 1 1 正方体 ABCD ─ B C D 1 的棱长为 2,点 E 是棱 CD 的中点,求直线 A1C1 与 B1 E 的距 离.

4 17 17
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继续思考:(教程中的问题) 1.教程 P393 第 9 题 2.教程 P363 第 13 题 等

答案

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