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内蒙古包头一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年内蒙古包头一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符 合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上. ) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∪(CuB)为() A.{2} B.{1,3} C.{3} D.

{1,3,4,5} 2. (5 分)下列四个函数中,在(0,+∞)上是增函数的是() A.f(x)=3﹣x B.f(x)=x ﹣3x
2

C.f(x)=﹣

D.f(x)=﹣|x|

3. (5 分)已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A.
x

B.[﹣1,4]

C.[﹣5,5]

D.[﹣3,7]

4. (5 分)y=2 与 y=log2x 的图象关于() A.x 轴对称 B.y 轴对称

C.原点对称

D.y=x 对称

5. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(3,27) ,则 f(﹣2)的值等于() A.4 B . ﹣4 C. 8 D.﹣8 6. (5 分)设 A.y3>y1>y2 , , ,则() C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

B.y2>y1>y3

7. (5 分)满足“对定义域内任意实数 x,y,f(x?y)=f(x)+f(y)”的函数可以是() 2 x lnx A.f(x)=x B.f(x)=2 C.f(x)=log2x D.f(x)=e 8. (5 分)某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如表: X123… y 125… 下面的函数关系中,能表达这种关系的是() x A.y=log2(x+1) B.y=2 ﹣1 C.y=2x﹣1
x

D.y=(x﹣1) +1

2

9. (5 分)已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?

10. (5 分)已知 lg2=a,lg3=b,则 log1512=() A. B. C. D.

11. (5 分)已知 A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤3},下列从集合 A 到集合 B 的对应关系不是映射的 是() A. B. C. D.

12. (5 分)若不等式 lg 的取值范围是() A.(﹣∞,0]

≥(x﹣1)lg3 对任意 x∈(﹣∞,1)恒成立,则 a

B.[1,+∞)

C.[0,+∞)

D.(﹣∞,1]

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上) 13. (5 分)函数 y= 的定义域为.

14. (5 分)函数 f(x)=log0.5(x ﹣2x+3)的单调递减区间是.

2

15. (5 分)若(m+1)

<(3﹣2m)

,则实数 m 的取值范围.

16. (5 分)设函数 f(x)=

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是.

三、解答题(本大题共 9 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (1)化简: 式形式) ; (2)计算: . (结果保留根

18. (12 分)已知 f(x)是一次函数,满足 3f(x+1)=6x+4,求 f(x)的解析式. 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (a>0 且 a≠1) . (1)求 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并证明.

20. (12 分)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数.

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求实数 a 的值.

是奇函数.

(2)已知不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

22. (12 分)已知函数 f(x)=x +2ax+4 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣2,1]上是单调函数,求实数 a 的取值范围. 23.已知函数 f(x)=x +2ax+4 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,3]上有零点,求实数 a 的取值范围. 24. (12 分)已知 f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t﹣2) (a>0,a≠1,t∈R) . (1)当 t=5 时,求函数 g(x)图象过的定点; (2)当 t=4,x∈[1,2],且 F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值 2 时,求 a 的值. 25.已知 f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t﹣2) (a>0,a≠1,t∈R) . (1)当 t=5 时,求函数 g(x)图象过的定点; (2)当 0<a<1,x∈[1,2]时,有 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

2014-2015 学年内蒙古包头一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符 合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上. ) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∪(CuB)为() A.{2} B.{1,3} C.{3} D.{1,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用集合的补集的定义求出集合 B 的补集; 再利用集合的并集的定义求出 A∪ (CuB) . 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 B={2,5}, ∴CUB={1,3,4} A∪(CuB)={1,3,5}∪{1,3,4}={1,3,4,5} 故选 D.

点评: 本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算. 2. (5 分)下列四个函数中,在(0,+∞)上是增函数的是() A.f(x)=3﹣x B.f(x)=x ﹣3x
2

C.f(x)=﹣

D.f(x)=﹣|x|

考点: 专题: 分析: 解答:

函数单调性的性质. 计算题;函数的性质及应用. 利用基本函数的单调性逐项判断即可得到答案. 解:f(x)=3﹣x 在(0,+∞)上是减函数,排除 A;
2

f(x)=x ﹣3x 在(0, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增,但在(0,+∞)上不单调, 排除 B; ∵ 在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)=﹣ 在(0,+∞)上单调递增;

f(x)=﹣|x|在(0,+∞)上单调递减,排除 D; 故选 C. 点评: 该题考查函数单调性的判断,属基础题,熟记常见函数的单调性是解题基础. 3. (5 分)已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A. B.[﹣1,4] C.[﹣5,5] D.[﹣3,7]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题目给出的函数 y=f(x+1)定义域,求出函数 y=f(x)的定义域,然后由 2x﹣ 1 在 f(x)的定义域内求解 x 即可得到函数 y=f(2x﹣1)定义域 解答: 解:解:∵函数 y=f(x+1)定义域为[﹣2,3], ∴x∈[﹣2,3],则 x+1∈[﹣1,4], 即函数 f(x)的定义域为[﹣1,4], 再由﹣1≤2x﹣1≤4,得:0≤x≤ , ∴函数 y=f(2x﹣1)的定义域为[0, ]. 故选 A. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,给出了函数 y=f(x)的定义域为[a,b],求解 y=f[g(x)]的定义域,只要让 g(x)∈[a,b],求解 x 即可. 4. (5 分)y=2 与 y=log2x 的图象关于() A.x 轴对称 B.y 轴对称
x

C.原点对称

D.y=x 对称

考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用反函数关于直线 y=x 对称,推出结果即可.

解答: 解:因为函数 y=2 与 y=log2x 互为反函数,所以两个函数的图象关于 y=x 对称, 故选 D 点评: 本题考查函数与反函数的关系,属于基本知识的考查. 5. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(3,27) ,则 f(﹣2)的值等于() A.4 B . ﹣4 C. 8 D.﹣8 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 设幂函数 f(x)=x ,把点(3,27)代入求出函数的解析式,再求出 f(﹣2)的值. α 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , 因为幂函数 f(x)的图象经过点(3,27) , 所以 27=3 ,解得 α=3,则 f(x)=x , 3 则 f(﹣2)=(﹣2) =﹣8, 故选:D. 点评: 本题考查了待定系数法求幂函数的解析式,属于基础题.
α 3

x

6. (5 分)设 A.y3>y1>y2





,则() C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

B.y2>y1>y3

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别将三个幂值进行化简,转化为以 2 为底的指数幂的形式,然后利用指数函数的 单调性进行判断. 解答: 解: . 因为函数 y=2 在定义域上为单调递增函数,所以 y1>y3>y2. 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数幂的大小比较,将不同底的指数幂转化为同底的指数幂.然后 利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键. 7. (5 分)满足“对定义域内任意实数 x,y,f(x?y)=f(x)+f(y)”的函数可以是() A.f(x)=x
2 x





B.f(x)=2

x

C.f(x)=log2x

D.f(x)=e

lnx

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 观察几个选项,分别为二次函数,指数函数,对数函数,和指对数的复合函数,所 以只需看那种函数中自变量相乘,能变成两个自变量分别求函数值再相加即可. 解答: 解;∵对数运算律中有 logaM+logaN=logaMN ∴f(x)=log2x,满足“对定义域内任意实数 x,y,f(x?y)=f(x)+f(y)”. 故选 C

点评: 本题考查了对数函数的运算律,计算时,不要与其它函数的运算律混淆了. 8. (5 分)某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如表: X123… y 125… 下面的函数关系中,能表达这种关系的是() A.y=log2(x+1) 考点: 专题: 分析: 解答: B.y=2 ﹣1
x

C.y=2x﹣1

D.y=(x﹣1) +1

2

函数解析式的求解及常用方法;函数的概念及其构成要素. 计算题;函数的性质及应用. 由题意,将表格中的数据代入选项,满足即可. 解:由表格知,
2

选项 A:当 x=2 时,y=log23≠2,选项 B:当 x=2 时,y=2 ﹣1=3≠2, 选项 C:当 x=2 时,y=2×2﹣1=3≠2, 选项 D:都满足; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的选择,属于基础题.
x

9. (5 分)已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B,然后再求两个集合的交集即 可. 解答: 解:∵集合 A={y|y=log2x,x>1}, ∴A=(0,+∞) ∵B={y|y=( ) ,x>1}, ∴B=(0, ) ∴A∩B=(0, ) 故选 A. 点评: 本题考查了交集运算以及函数的至于问题,要注意集合中的自变量的取值范围,确 定各自的值域. 10. (5 分)已知 lg2=a,lg3=b,则 log1512=() A. B. C. D.
x

考点: 对数的运算性质.

专题: 计算题. 分析: 首先利用换底公式,然后利用对数的运算性质化简. 解答: 解:由 lg2=a,lg3=b, 则 log1512= .

故选:C. 点评: 本题考查了对数的运算性质,考查了对数的换底公式,是基础的计算题. 11. (5 分)已知 A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤3},下列从集合 A 到集合 B 的对应关系不是映射的 是() A. B. C. D.

考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据映射的定义对四个选项依次判断即可. 解答: 解:选项 A:∵当 x=3 时,y= ×9= ?B,故根据映射的定义可知不是映射; 选项 B:根据映射的定义可知是映射;选项 C:根据映射的定义可知是映射; 选项 D:根据映射的定义可知是映射; 故选 A. 点评: 本题考查了映射的定义,属于基础题.

12. (5 分)若不等式 lg 的取值范围是() A.(﹣∞,0]

≥(x﹣1)lg3 对任意 x∈(﹣∞,1)恒成立,则 a

B.[1,+∞)

C.[0,+∞)

D.(﹣∞,1]

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;转化思想;不等式的解法及应用. 分析: 不等式 lg ≥ (x﹣1) lg3 可整理为 ,

然后转化为求函数 y= 值. 解答: 解:不等式 lg

在(﹣∞,1)上的最小值即可,利用单调性可求最

≥(x﹣1)lg3,

即不等式 lg

≥lg3

x﹣1





,整理可得



∵y= ∴x∈(﹣∞,1)y=

在(﹣∞,1)上单调递减, > =1,

∴要使圆不等式恒成立,只需 a≤1,即 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 故选 D. 点评: 本题考查不等式恒成立问题、函数单调性,考查转为思想,考查学生灵活运用知识 解决问题的能力. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上) 13. (5 分)函数 y= 的定义域为(﹣∞,0].

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. x 分析: 偶次开方时的被开方数大于等于 0,得到 1﹣2 ≥0,进而根据指数函数单调性求出 x 的取值范围. 解答: 解:∵1﹣2 ≥0,解得 x≤0, 故答案为: (﹣∞,0]. 点评: 本题主要考查指数函数单调性的应用,求定义域时注意偶次开方时的被开方数大于 等于 0. 14. (5 分)函数 f(x)=log0.5(x ﹣2x+3)的单调递减区间是[1,+∞) . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性确定函数 f(x)的单调递减区间. 解答: 解:要使函数有意义,则 x ﹣2x+3>0,解得 x∈R, 2 设 t=x ﹣2x+3,则函数在(﹣∞,]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 因为函数 log0.5t 在定义域上为减函数, 所以由复合函数的单调性性质可知,则此函数的单调递减区间是[1,+∞) . 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性, 一要注意先确定函数的定义域, 二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进 行判断,判断的依据是“同增异减”.
2 2 x

15. (5 分)若(m+1)

<(3﹣2m)

,则实数 m 的取值范围﹣1



考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题中不等式的结构,考察幂函数 y=x 关于 m 的不等关系,即可求出实数 m 的取值范围. 解答: 解:考察幂函数 y=x ∵(m+1) <(3﹣2m) ,它在[0,+∞)上是增函数, , ,它在[0,+∞)上是增函数,从而建立

∴0≤m+1<3﹣2m, 解得:﹣1≤m< , 则实数 m 的取值范围﹣1 故答案为:﹣1 . .

点评: 本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用,构造出幂幂函数 y=x

是关键.

16. (5 分)设函数 f(x)=

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(﹣

∞,﹣1)∪(3,+∞) . 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 f(x0)>1,得到两个不等式组分别解之. 解答: 解:由题意,f(x0)>1 等价于 和 ,分别解

得 x>3 和 x<﹣1; 所以 x0 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ; 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) . 点评: 本题考查了对数不等式和指数不等式的解法,属于基础题. 三、解答题(本大题共 9 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (1)化简: 式形式) ; (2)计算: . (结果保留根

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用指数的性质和运算性质的合理运用. (2)利用对数的性质和运算法则的合理运用. 解答: 解: (1) = .

=﹣ . 点评: 本题考查指数、对数化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合 理运用. 18. (12 分)已知 f(x)是一次函数,满足 3f(x+1)=6x+4,求 f(x)的解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以直接设一次函数的解析式,然后通过代入法,利用系数对应相等,建立方 程组求解. 解答: 解:设 f(x)=ax+b(a≠0) ,则 f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b, ∵3f(x+1)=6x+4 ∴3ax+3a+3b=6x+4, ∴3a=6,3a+3b=4, 解得 a=2.b= 则 f(x)=2x﹣ . 点评: 本题重点考查一次函数解析式的求法,可以直接利用系数的对应相等求解,属于基 础题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (a>0 且 a≠1) . (1)求 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并证明. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数的定义 ,从而可解得 f(x)+g(x)的定义域;

(2)令 F(x)=f(x)+g(x)=loga[(x+1) (1﹣x)],定义域为(﹣1,1) ,根据已知求得 F (x)=F(﹣x)即可证明 F(x)=f(x)+g(x)在(﹣1,1)上是偶函数.

解答: (1)由函数的定义

,解得

∴函数的定义域为(﹣1,1)…(4

分) (2)令 F(x)=f(x)+g(x) =loga(x+1)+loga(1﹣x) =loga[(x+1) (1﹣x)],定义域为(﹣1,1) F(﹣x)=loga[(﹣x+1) (1﹣(﹣x) )] =loga[(x+1) (1﹣x)]=F(x) ∵F(x)=F(﹣x) ∴F(x)=f(x)+g(x)在(﹣1,1)上是偶函数 …(12 分) 点评: 本题主要考察了对数函数的图象与性质,考察了函数的奇偶性的证明,属于基础题.

20. (12 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数.

是奇函数.

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)利用奇函数的性质 f(0)=0 即可得出; (II)利用减函数的定义即可证明. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)是奇函数,且定义域为 R, ∴f(0)=0,∴ ,解得 a=1.

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知



令 x1<x2,则



>0, 即 f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在 R 上为减函数. 点评: 本题考查了函数的单调性和奇偶性,属于基础题.

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求实数 a 的值.

是奇函数.

(2)已知不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)是 R 上的奇函数,得 f(0)=0,求出 a 的值; (2)由 f(x)是 R 上的奇函数且是减函数,把不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 转化为 logm <logmm,再讨论 m 的取值,求出不等式成立的 m 的取值范围. 解答: 解; (1)∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 令 x=0,则 f(0)=0, 即 ∴a=1, ∴ ; = =0,

(2)∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 等价于 f(logm )>﹣f(﹣1)=f(1) ,

又∵

=

=﹣1+

是 R 上的减函数,

∴logm <1=logmm, ∴当 0<m<1 时, >m,即 0<m< ; 当 m>1 时, <m,即 m>1; 综上,m 的取值范围是 m∈(0, )∪(1,+∞) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,也考查了对数函数的图象与性质的 应用问题,是中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x +2ax+4 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣2,1]上是单调函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)配方得出 f(x)=x 2x+4=(x﹣1) +3,根据二次函数的性质得出,ymax=f(﹣ 2)=12
2﹣ 2 2

(2)函数 f(x)的对称轴 x=﹣a,根据单调性得出﹣a≤﹣2,或﹣a≥1,即可求解. 解答: 解: (1)当时 a=﹣1,f(x)=x 2x+4=(x﹣1) +3 ∴函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值,ymax=f(﹣2)=12 (2)函数 f(x)的对称轴 x=﹣a, ①函数 f(x)在区间[﹣2,1]上是单调递增函数,则满足﹣a≤﹣2,∴a≥2, ②函数 f(x)在区间[﹣2,1]上是单调递减函数,则满足﹣a≥1,∴a≤﹣1, 故实数 a 的取值范围为:a≥2 或 a≤﹣1. 点评: 本题考查了二次函数的性质,走在求解最值,参变量范围中的应用,属于中档题. 23.已知函数 f(x)=x +2ax+4 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,3]上有零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)配方得 f(x)=x ﹣2x+4=(x﹣1) +3,根据性质得出最大值:f(﹣2)=12, (2)分类讨论函数 f(x)在区间[﹣1,3]上有且只有 1 个零点,函数 f(x)在区间[﹣1,3] 上有 2 个零点,根据函数性质的才不等式组求解即可. 2 2 解答: 解: (1)∵当 a=﹣1 时,f(x)=x ﹣2x+4=(x﹣1) +3, ∴函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值:f(﹣2)=12, (2)①函数 f(x)在区间[﹣1,3]上有且只有 1 个零点, 2 (i)△ =4a ﹣16=0,∴a=±2, 2 当 a=2 时,函数 f(x)=x ﹣2x+4 的零点为 x=﹣2?[﹣1,3], 2 当 a=﹣2 时,函数 f(x)=x ﹣2x+4 的零点为 x=2∈[﹣1,3], ∴a=﹣2 (ii)当零点分别为﹣1,或 3 时,a 的值分别为 或 (ⅲ)f(﹣1)?f(3)<0,得(﹣2a+5) (6a+13)<0 解得 a 或a
2 2﹣ 2

②函数 f(x)在区间[﹣1,3]上有 2 个零点,



解得:



≤a<﹣2,

由①②得实数 a 的取值范围:a≤﹣2 或 a

点评: 本题综合考查了函数的性质,在解决函数零点问题中的应用,注意分类讨论,属于 中档题. 24. (12 分)已知 f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t﹣2) (a>0,a≠1,t∈R) . (1)当 t=5 时,求函数 g(x)图象过的定点; (2)当 t=4,x∈[1,2],且 F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值 2 时,求 a 的值. 考点: 函数的最值及其几何意义;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过当 t=5 时,利用对数函数的特征,求函数 g(x)图象过的定点; (2)化简 F(x)=g(x)﹣f(x)的表达式,利用分类讨论 a,函数的最小值 2,求 a 的值. 解答: (普通班做) 解: (1)当 t=5 时,g(x)=2loga(2x+3) (a>0,a≠1,t∈R) , ∴g(x)图象必过定点(﹣1,0) . (2)当 t=4 时,

当 x∈[1,2]时,

∈[16,18],

若 a>1,则 F(x)min=loga16=2,解得 a=4 或 a=﹣4(舍去) ; 若 0<a<1,则 F(x)min=loga18=2,解得 (舍去) ,故 a=4. 点评: 本题考查对数函数的应用,函数的最值的求法,分类讨论思想的应用,考查计算能 力. 25.已知 f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t﹣2) (a>0,a≠1,t∈R) . (1)当 t=5 时,求函数 g(x)图象过的定点; (2)当 0<a<1,x∈[1,2]时,有 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过 t=5,化简函数的表达式,利用对数函数经过的特殊点求解即可. (2)当 0<a<1,x∈[1,2]时,有 f(x)≥g(x)恒成立,转化为 2]时恒成立,通过二次函数的最值求解实数 t 的取值范围. 解答: (实验班做) ,在 x∈[1,

解: (1)当 t=5 时,g(x)=2loga(2x+3) (a>0,a≠1) ,x=﹣1 时,g(﹣1)=0, ∴g(x)图象必过定点(﹣1,0) . (2)转化为二次函数在某区间上最值问题.由题意知, 在 x∈[1,2]时恒成立, ∵0<a<1,∴ ,在 x∈[1,2]时恒成立, 在 x∈[1,2]时恒成立, ∴t≥1. ,

故实数 t 的取值范围[1,+∞) . 点评: 本题考查函数的恒成立问题,对数函数经过的特殊点的求法,考查转化思想的应用.


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