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第六章 第二讲 算术平均数与几何平均数


第6章

第2讲

时间:60 分钟 满分:100 分 一、选择题(8×5=40 分) 1.(2011·武汉模拟卷)下列不等式的证明过程正确的是( b a A.若 a、b∈R,则 + ≥2 a b


)

ba · =2 ab


B.若 a∈R,则 2a+2 a≥2 2a·2 a=2 C.若 a、b∈R ,则 lg a+lg b≥2 lg alg b 4 - D.若 a∈R ,则 a+ ≥-2 a 4 a· =-4 a


b 解析:对于 A, >0 即 ab>0 时才能成立,而 a,b∈R,故 A 不正确;对于 B,a∈R a 时,2a>0,2 a>0.∴B 正确;对于 C,当 a,b∈R 时,lg a、lg b 不能确定一定是正数;对 4 于 D,a+ ≤-4. a 答案:B 2.下列函数中,最小值为 2 的函数是( 1 A.y=x+ x π B.y=sinθ+cosθ(0<θ< ) 2 C.y=sinθ+cosθ(0<θ<π) D.y= x2+2 x2+1 )
- +

解析:(排除法)答案 A 中 x 的正负无法确定,答案 B、C 中 y=sinθ+cosθ= 2sin(θ+ π )≤ 2,∴只能选 D. 4 (直接法)y= 号,)∴选 D. 答案:D 1 1 3.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 + 的最小值为( x y A.6 C.3+2 2 B.5 D.4 2 ) x2+2 x +1
2

= x2+1+

1 1 ≥2(当且仅当 x2+1= 2 ,即 x=0 时取等 x +1 x +1
2

1 1 x+2y x+2y 2y x 解析:∵x+2y=1,∴ + = + =3+ + ≥3+2 2. x y x y x y 答案:C x2+2 4.(2011·重庆一中)函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 A.2 3+2 C.2 3 B.2 3-2 D.2 )

x2+2 (x-1)2+2(x-1)+3 = , 解析:∵y= x-1 x-1 ∵x-1>0, 3 ∴x-1+ +2≥2 3+2, x-1 3 时取“=”, 当且仅当 x-1= x-1 即 x=1± 3时取“=”. 又∵x>1,∴x=1+ 3时取等号. 答案:A 3x+3y + 5.(2010·北京崇文统练Ⅰ)设 M= ,N=( 3)x y,P=3 2 N,P 的大小关系为( A.M<N<P C.P<M<N ) B.N<P<M D.P<N<M
xy

(其中 0<x<y),则 M,

3+9 解析:方法一:令 x=1,y=2,M= =6, 2 N=( 3)3=3 3,P=3 2, 由 N2=27,P2=32
2

,∴M>N>P.

3x+3y x+y + 方法二:M= > 3x y=3 =N>3 xy=P. 2 2 答案:D 1 1 1 + 6.(2009·黑龙江大庆一模)设 M=( -1)( -1)( -1),且 a+b+c=1(a、b、c∈R ),则 a b c M 的取值范围是( 1 A.[0, ] 8 1 C.[ ,1] 8 ) 1 B.( ,1) 8 D.[8,+∞)

1-a 1-b 1-c b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab 1 1 1 · · = · · ≥ · · = 解析: M=( -1)( -1)( -1)= 由 a b c b c a b c a b c a

8,故选 D. 答案:D 1 1 7.(2010·四川,11)设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ab a(a-b) A.1 C.3 B.2 D.4 )

1 1 解析:∵a>b>0,a2+ + ab a(a-b) a-b+b 1 1 =a2+ =a2+ ≥a2+ ab(a-b) b(a-b) b+a-b 2 ( ) 2 4 =a2+ 2≥4(当且仅当 a=2b= 2时取“=”),故选 D. a 答案:D m n + 8.已知 m,n,s,t∈R ,m+n=2, + =9,其中 m,n 是常数,且 s+t 的最小值 s t 4 x2 y2 是 ,满足条件的点(m,n)是椭圆 + =1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为( 9 4 2 A.x-2y+1=0 C.2x+y-3=0 B.2x-y-1=0 D.x+2y-3=0 )

1 m n 1 mt ns 1 1 解析:由已知得 s+t= (s+t)( + )= (m+n+ + )≥ (m+n+2 mn)= ( m+ s t 9 s t 9 9 9 4 1 4 n)2,又 s+t 的最小值是 ,因此 ( m+ n)2= , m+ n=2,又 m+n=2,所以 m=n 9 9 9 x2 y2 1 1 =1.设以点(m,n)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则有 + =1, 4 2
2 x2 y2 2 + =1, 4 2

两式相减得

(x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) + =0 4 2

①,又点(1,1)是该弦的中点,因此有 y1-y2 1 =- ,即所求直线的斜率 2 x1-x2

x1+x2 y1+y2 = =1,x1+x2=y1+y2=2 2 2

②,把②代入①得

1 1 是- ,所求直线的方程是 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2 2 答案:D 总结评述: 在求解有关二次曲线的以某个已知点为中点的弦所在的直线方程时, 注意利 用“点差法”来确定相应直线的斜率. 二、填空题(4×5=20 分) 1 4 9.(2011·吉林长春一模)若正数 a、b 满足 + =2,则 ab 的最小值为________. a b

解析:∵a、b 都为正数. 1 4 ∴2= + ≥2 a b 答案:4 1 1 + + )的最小值是________. 10.已知 a,b,c∈R ,则(a+b+c)( a+b c 解析:∵(a+b+c)( c ), a+b a+b c + 又∵a,b,c∈R ,∴ + ≥2. c a+b 1 1 ∴(a+b+c)( + )≥4.∴最小值为 4. a+b c 答案:4 11.(2010·浙江宁波名校一模)已知圆 C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b 为正实数)上任意 1 3 一点关于直线 l:x+y+2=0 的对称点都在圆 C 上,则 + 的最小值为________. a b b a 解析:由题意知直线 l 过圆心(- ,- ), 2 2 b a ∴- - +2=0, 2 2 b a 即 a+b=4,∴ + =1, 4 4 1 3 1 3 b a 1 3 b 3a 3 1 b 3a ∴ + =( + )( + )= + + + =1+ ( + )≥1+ . a b a b 4 4 4 4 4a 4b 4a b 2 答案:1+ 3 2 a+b a+b 1 1 1 c 1 + )=[(a+b)+c]( + )=1+ + +1=2+( + c c a+b c a+b c a+b 4 4 = ,∴ab≥4. ab ab

12.(2010·江苏南通二模,6)在下面等号右侧两个分数的分母括号处,各填上一个自然 1 9 数,使等式成立且这两个自然数的和最小:1= + ,所填自然数分别为________. ( ) ( ) 1 9 1 9 b 9a 解析:设这两个自然数为 a,b,则 1= + ,a+b=(a+b)( + )=10+ + ≥16,当 a b a b a b 且仅当 b=3a 时取等号,此时求得 a=4,b=12,故填 4,12. 答案:4,12 三、解答题(4×10=40 分) 13.解下列问题: (1)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; 4 的最小值; (2)已知 x>2 ,求 x+ x-2

4 9 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y 解析:(1)法一:∵a>0,b>0,4a+b=1, ∴1=4a+b≥2 4ab=4 ab, 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立. 8 2 2 1 ∴ ab≤ , 4 1 ∴ab≤ . 16 1 所以 ab 的最大值为 . 16 法二:∵a>0,b>0,4a+b=1, 1 1 4a+b 2 1 ∴ab= ·4a·b≤ ( )= , 4 4 2 16 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立. 2 8 2 1 所以 ab 的最大值为 . 16 (2)∵x>2, ∴x-2>0, 4 4 ∴x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 ≥2 (x-2)· 4 +2=6, x-2

4 当且仅当 x-2= ,即 x=4 时,等号成立. x-2 4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2 (3)∵x>0,y>0,x+y=1, 4 9 4 9 4y 9x ∴ + =(x+y)( + )=13+ + x y x y x y ≥13+2 4y 9x · =25, x y

4y 9x 当且仅当 = 时等号成立,由 x y

?x+y=1, ?x=5, ? ?4y 9x 得? 3 ? ?x=y, ?y=5,

2

2 3 4 9 ∴当 x= ,y= 时取等号.所以 + 的最小值为 25. 5 5 x y 14.某小区欲建一面积为 640 平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽 5 米, 短边外小路宽 8 米(如右图所示). 求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小?

640 解析:设绿地的长边为 x 米,则宽边为 米,总占地为 S 平方米. x 640 S=(x+16)( +10) x 16×640 =10x+ +800 x ≥2 16×6400+800=1440 16×640 640 当且仅当 10x= ,即 x=32 米, =20 米时,上式中等号成立. x x 因此,当绿地的长宽分别为 32 米,20 米时,绿地和小路总占地面积最小为 1440 平方 米. 15.已知正数 a、b 满足 a+b=1. (1)求 ab 的取值范围; 1 (2)求 ab+ 的最小值. ab 分析:若等号不能成立,则考查相关函数的单调性. a+b 1 解析:(1)由 ≥ ab,得 0<ab≤ . 2 4 1 1 (2)设函数 f(x)=x+ (0<x≤ ),x=ab x 4 1 设 0<x1<x2≤ , 4 1 1 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ ) x1 x2 1 1 =(x1-x2)+( - ) x1 x2 =(x1-x2)(1- 1 ) x1x2

1 ∵0<x1<x2≤ ,x1-x2<0, 4 x1x2< 1 1 ,1- <0, 16 x1x2

∴(x1-x2)(1-

1 )>0. x1x2

∴f(x1)>f(x2). 1 即 f(x)在(0, ]上是减函数, 4 1 1 17 因此当 x= 时,f(x)取得最小值 4+ = . 4 4 4 a a 总结评述:函数 f(x)=x+ (a>0)是一个重要的函数,应了解它的变化.f(x)=x+ (a> x x 0)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数.在研究此函数的过程中,应先确定它 a a 的定义域,若 x= 成立,则可由极值定理求极值;若 x= 不成立,则应在定义域内研究 f(x) x x 的单调性. 16.某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花 钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试计算: (1)仓库底面积 S 的最大允许值是多少 m2? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 命题意图: 本题考查均值不等式在解决实际问题中的应用, 培养学生的创新意识和应用 能力. 分析: 本题的关键是恰当地选取变量来表示铁栅长和一堵砖墙长, 再把题意翻译成数量 关系等式,用均值不等式即可求解. 解析:设铁栅长为 xm,一堵砖墙长为 ym, 则有 S=xy. 由题意得: 40x+2·45y+20xy≤3200.(*) ∵x、y>0, ∴3200≥2 40x·90y+20xy =120 xy+20xy=120 S+20S. ∴S+6 S≤160,即( S+16)( S-10)≤0. ∵ S+16>0,∴ S-10≤0, 从而 S≤100. 因此 S 最大允许值为 100 m2,取得此最大值的条件是 40x=90y,而 xy=100.由此求得 x =15,即铁栅的长应为 15m. 总结评述:求应用题的最值问题,主要方法是选取适当的变量,再依据题设条件,建立 数学模型(即函数关系式), 再根据常量和变量之间的关系, 用基本不等式或其它手段求解. 均

值不等式在实际问题中的应用相当广泛,其解题过程为:(1)先构造定值;(2)出现关系式; S 利用判别式法求解. (3)验证“=”成立. 本题也可将 y= 代入(*)导出关于 x 的二次不等式, x


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