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函数单调性


函数单调性教学与反思

教学内容: (一) 引入课题

我国的人口出生率变化曲线(如下图) ,请同学们观察说出人 口出生的大致变化情况。 我们可以很方便地从图象观察出人口出生的 变化情况,对今后的工作具有一定的指导意义。 下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的 单调性。 (二) 形成概念

1、观察引入

演示动画(1)函数 y=2x+1 随自变量 x 变化的情况 (2) 函数 y= -2x+1 随自变量 x 变化的情况 (设计意图:由初中知识过度到今天要学的知识,对初 中知识进行深化,激起学生新的认知冲突,从而调动学 生积极性) 2、步步深化 演示动画 (3)函数 y=x2 随自变量 x 变化的情况,设置启 发式问题: (1) 在 y 轴的右侧部分图象具有什么特点? (2) 指出在 y 轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律? (3) 如果在 y 轴右侧部分取两个点(x1,y1)(x2,y2) , ,当 x1<x2 时, 1, 2 的大小关系如何?是不是在定义域内任取两个点 y y

都有这个规律呢? (4) 如何用数学符号语言来描述这个规律? 教师补充: 这时我们就说函数 y= f (x) = x 2 在(0,+ ? )上是增 函数. (5) 反过来,如果 y= f (x) 在(0,+ ? )上是增函数,我们能不能得 到自变量与函数值的变化规律呢? 类似地分析图象在 y 轴的左侧部分。 (设计意图: 通过启发式提问, 实现学生从 “图形语言”? “文字语言” ? “符号语言”多方面认识函数的单调性,实 现“形”到“数”的转换,另外,我认为学生对“任意性”较 难理解,特设计了(3) (4)问题,步步深入,从而突破难 、 点,突出重点。 ) 3、形成概念 注意: (1)变量属于定义域 (2)注意自变量 x1、x2 取值的任意性 (3)都有 f(x1 )>f(x2 ) 或 f(x1 )<f(x2 )成立(无 一例外) (4) 函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局 部性质,也就是说,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调 性。 (设计意图:体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。 在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。 通过探索,培养学生的观察能力和运动变化的观点,同时充分利

用图形的直观性,渗透了数形结合的思想,学生在探索的过程中 品尝到了自己劳作后的甘甜,感受到耕耘后的丰收喜悦,更激起 了学生的探索创新意识。 ) (三) 深化概念 例 1 如图 6 是定义在闭区间[-5, 5]上的函数 y=f(x)的图象, 根据图象说出 y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数.

(通过讲解例 1, 让学生学会通过观察图象写出函数的单调 区间。) 例 2 证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数. 证明:设 x1 , x 2 是 R 上的任意两个实数,且 x1 < x2 , (取值) 则 f( x1 )-f( x2 )=(3 x1 +2)-(3 x2 +2)=3( x1 - x2 ), (作差变形) 由 x1 < x2 x,得 x1 - x2 <0 ,于是 f( x1 )-f( x2 )<0 (定号) 即 f( x1 )<f( x2 ). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数. (判断结论) (紧扣定义,讲解例 2,让学生了解证明的几个关键步骤) 例 3 证明函数 f(x)= 在(0,+ ? )上是减函数. 证明:设 x1 , x2 是(0,+ ? )上的任意两个实数,且 x1 < x2 ,
1 x

则 f( x1 )-f( x2 )=

1 1 x ?x - = 2 1 , (注意变形程度) x1 x 2 x1 x2

由 x1 , x2 ∈(0,+ ? ),得 x1 x2 >0, 又由 x1 < x2 ,得 x2 - x1 >0 ,于是 f( x1 )-f( x2 )>0,即 f( x1 )>f( x2 ) ∴f(x)=
1 在(0,+ ? )上是减函数. x

(此题是为了进一步加强证明的规范性,严谨性) (设计意图:通过例题的教学,有助于学生内化所学的概念,建 构新的知识体系,在例题教学中通过学生的交流,实现师生互动;通 过教师针对性点评,有利于深刻理解概念。 ) (四)即时训练 课堂练习: 1、书 P60 练习 1(请同学口答) 2、 判断函数 f(x)= 在(- ? ,0)上是增函数还是减函数并证明你
1 x

的结论. (设计意图:一个新知识的出现,要达到熟练运用的效果,仅仅 了解是不够的,一定量的“重复”是有效的,也是必要的,所谓“温 故而知新”“熟才能生巧” ) 、 。 反思: 函数单调性是函数的一个重要性质, 并且学生是头一次接触函数 的单调性,陌生感强。函数单调性,单调区间的概念掌握起来有一定 困难,这样会增加学生的负担,不利于学生学习兴趣的激发。学生已 有的认知基础是,初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻 画某些运动变化数量关系的数学概念。进入高中以后,又进一步学习 了函数的概念,认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生只学过 一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数,所以对函数的单调 性研究也只能限于这几种函数。 学生的现有认知结构中能根据函数的 图象观察出“随着自变量 x 的增大函数值 y 增大”等变化趋势,所以 在教学中要充分利用好函数图象的直观性、 发挥好多媒体教学的优势

通过一组常见的具体函数例子,引导学生借助初中学过的一次函数、 二次函数、反比例函数的图象,从函数图像分析入手,使学生对增、 减函数有一个直观的感知。从图象直观感知函数的单调性,完成对函 数单调性的第一次认识。 教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化 特征的研究,得到“图象是上升的” ,相应地,即“随着 x 的增大,y 也增大” ,初步提出单调增的说法。通过讨论、交流,让学生尝试, 就一般情况进行刻画,提出“在某区间上,如果对于任则函数在该区 间上具有“图象是上升的”“随着 x 的增大,y 也增大”的特征。进 、 一步给出函数单调性的定义。然后通过辨析、练习等帮助学生理解这 一概念。 用函数单调性的定义证明函数的单调性。 应该注意证明的四个基 本步骤:取值——作差变形——定号——判断。把证明过程步骤化, 可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时,思维定势对 理解知识本身是有益的,同时对学生养成一定的思维习惯,形成一定 的解题思路也是有帮助的。 使用函数单调性定义证明是本节课的一个 难点,学生刚刚接触这种证明方法,给出一定的步骤是必要的,有利 于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮 助。另外,这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思 路,现在提出要求,对今后的教学作一定的铺垫。


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