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2012年重庆高考数学试题及答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个备选选项中,只有 一个是符合题目要求的 1.在等差数列 { a n } 中, a 2 ? 5 则 { a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 2.不等式
x ?1 2x ?1

B.15

/>? 0 的解集为

C.20

D.25

A. ? ?
?

?

1 2

,1

? ? ?

B. ? ?
?

?

1 2

,1

? ? ?

C. ? ? ? . ?
?

?

1? ? ? ?1, ?? 2?

?

D. ? ? ? , ?
?

?

1? ? ?1, ?? 2? ?

?

3.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 的位置关系一定是 A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
? 2. ? ? x ? 2 1 ? ? 的展开式中常数项为 x ?
3

A.

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D.105

(5)设 tan ? , tan ? 是议程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan (? ? ? ) 的值为
2

(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3

(6)设 x , y ? R,向量 a ? ( x ,1), b ? (1, y ), c ? ( 2, ? 4 ) 且 a ? c , b ? c ,则 a ? b ? (A) 5 (B) 1 0 (C) 2 5 (D)10

(7) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, “ f ( x ) 为[0, 则 1]上的增函数” “ f ( x ) 是 为[3,4]上的减函数”的 (A)既不充分也不必要的条件 (C)必要而不充分的条件

(B)充分而不必要的条件 (D)充要条件
,

( 8 ) 设 函 数 f ( x) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f (x) , 且 函 数
y ? ( 1? x ) f ( x 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 )
,

(A)函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f (1)

(B)函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f ( ? 2 ) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f ( 2 ) (9)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面, 则 a 的取值范围是 (A) (0, 2 ) (B) (0 , 3 )
? ? 1

(C) (1, 2 )

(D) (1, 3 )

(10)设平面点集 A ? ? ( x , y ) ( y ? x )( y ? 所表示的平面图形的面积为 (A) ?
4 3

? 2 2 ) ? 0 ? , B ? ( x , y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,则 A ? B x ?

?

?

(B) ?
5

3

(C) ?
7

4

(D)

?
2

二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填写在答题卡相应位置上
( (11)若 1+ i ) ( 2 + i ) = a + b i ,其中 a , b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b ?
1 n ? 5n ? n
2



(12) lim

0? ?

?



(1, f (1)) a
3 5 5 13

(13)设 f ( x )
1 2

? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 c o s A ?

, cos B ?

, b ? 3, 则

?
c?

(14)过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A , B 两点,若 A B ?
2

25 12

, AF ? BF , 则

AF =



(15)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答). 三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.)

设 f ( x ) ? a ln x ? 轴.

1 2x

?

3 2

x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值. (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已 投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望
1 3

,乙每次投篮投中的概率为

1 2

,且各次投篮互

11.(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 ? ( x ) ? 4 cos( ? x ? (Ⅰ)求函数 y ?
?
6 ) sin ? x ? cos( 2 ? x ? x ) ,其中 ? ? 0 .

? (x)
? ?

的值域
3x ? ? , 上为增函数,求 ? 的最大值。 2 2? ?

(Ⅱ)若 ? ( x ) 在区间 ? ?

12.(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点 (Ⅰ)求点 C 到平面 的距离; (Ⅱ)若 求二面角 的平面角的余弦值。

13.(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左 右焦点分别为 F1 , F 2 ,线段 的中点分别为 B 1 , B 2 ,且△ AB 1 B 2 是面积为 4 的直角三角形。 (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB 2 ? QB 2 ,求直线
l 的方程

(21) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? a 2 S n ? a 1 ,其中 a 2 ? 0 。 (I)求证: a n 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a 2 ? ? 1 ,求证: S n ?
n 2 ( a 1 ? a 2 ) ,并给出等号成立的充要条件。


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