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2014-2015学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分.共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( A. P1=P2<P3 B. P2=P3<P1 C. P1=P3<P2 D. P1=P2=P3 2.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为 5 的概率是( A. B. C. D. )



3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A. 2 B.

C.

D.

4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计, 全年级同学的成绩全部介于 60 分与 100 分之 间,将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图.现从全体学生中,采用分层抽样 的方法抽取 60 名同学的试卷进行分析, 则从成绩在[90, 100]内的学生中抽取的人数为 ( )

A. 24 B. 18 C. 15 D. 12

5.投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 Ω={1,2,3,4,5,6}.设事件 A={1, 3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是( ) A. A,C 为对立事件 B. A,B 为对立事件 C. A,C 为互斥事件,但不是对立事件 D. A,B 为互斥事件,但不是对立事件 6.下图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图.设 1,2 两组数据的平 均数依次为 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么( ) ,其中 为 x1 ,

(注:标准差 s= x2,…,xn 的平均数)

A. C.

< >

,s1<s2 B. ,s1>s2 D.

< >

,s1>s2 ,s1<s2

7.如图给出的是计算 等式为( )

的一个程序框图,则判断框内应填入关于 i 的不

A. i<50 B. i>50 C. i<51 D. i>51

8.袋中装有 5 个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色,现从袋中随机抽取 3 个小球.设每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为( ) A. B. C. D.

二、解答题:本大题共 2 小题,共 18 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9.从某校高一年级随机抽取 n 名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据, 整理得到数据分组及频数分布表: 组号 分组 频数 频率 1 [5,6) 2 0.04 2 [6,7) 0.20 3 [7,8) a 4 [8,9) b 5[来源:Zxxk.Com] [9,10) 0.16 (I)求 n 的值; (Ⅱ)若 a=10,补全表中数据,并绘制频率分布直方图; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替.若上述数据的平均值为 7.84, 求 a,b 的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时的概率.

10.已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2ax+b =0,其中 a,b∈R. (I)若 a 随机选自集合{0,1,2,3,4},b 随机选自集合{0,1,2,3},求方程有实根的 概率; (Ⅱ)若 a 随机选自区间[0,4],b 随机选自区间[0,3],求方程有实根的概率.

2

2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. * 11.数列{an}满足 a1=1,an+1=an﹣3(n∈N ) ,则 a4=( ) A. 10 B. 8 C. ﹣8 D. ﹣10 12.设 a,b∈R,且 a>b,则下列结论中正确的是( A. >l B. < C. |a|>|b| D. a >b
3 3



13.在等比数列{an}中,a1=2,a4= .若 am=2 A. 17 B. 16 C. 14 D. 13

﹣15

,则 m=(



14.若实数 x,y 满足

则 z=x+3y 的最大值是(



A. 6 B. 4 C.

D. 0

15.在△ ABC 中,若 asinA=bsinB,则△ ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 16.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2k+1>0,则一定有( A. ak>0 B. Sk>0 C. ak+l>0 D. Sk+l>0
n *



17. 已知数列{an}的前 n 项的乘积为 Tn=2 ﹣c, 其中 c 为常数, n∈N . 若 a4=3, 则 c= ( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1



18.设不等式组

表示的平面区域是 W,则 W 中的整点(横、纵坐标均为

整数的点)个数是( ) A. 231 B. 230 C. 219 D. 218

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 19.不等式 x <2x 的解集为
2

. .

20.在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=

21.已知等差数列{an}的各项均为正整数,且 a8=2015,则 a1 的最小值是 22.函数 f(x)=x+ (x>1)的最小值是 ;此时 x= .



23.设 a∈R,n∈N ,求和:l+a+a +a +…+a =
*

*

2

3

n


*

24.设数列{an}的通项公式为 an=3n(n∈N ) .数列{bn}定义如下:对任意 m∈N ,bm 是数列 2m {an}中不大于 3 的项的个数, 则 b3= ; 数列{bm}的前 m 项和 Sm= .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 25. (10 分) (2015 春?西城区期末)已知数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅰ)证明:当 0<q<1 时,{an}是递减数列; * (Ⅱ)若对任意 k∈N ,都有 ak,ak+2,ak+1 成等差数列,求 q 的值. 26. (10 分) (2015 春?西城区期末)已知△ ABC 为锐角三角形,a,b,c 分别为角 A,B, C 所对的边,且 a=2csinA. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)当 c=2 时,求:△ ABC 面积的最大值. 27. (12 分) (2015 春?西城区期末)设 m∈R,不等式 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)>0 的解 集记为集合 P. (I)若 P=(x|﹣1<x<2) ,求 m 的值; (Ⅱ)当 m>0 时,求集合 P; (Ⅲ)若{x|﹣3<x<2}?P,求 m 的取值范围. 28. (12 分) (2015 春?西城区期末)已知数列{an}的通项公式为 an=2n+(﹣1) * 其中是常数,n∈N . (I)当 an=﹣1 时,求 λ 的值; (Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?证明你的结论; * (Ⅲ)若对于任意 n∈N ,都有 an>0,求 λ 的取值范围.
n+1 2

?(1+λn) ,

2014-2015 学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分.共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( ) A. P1=P2<P3 B. P2=P3<P1 C. P1=P3<P2 D. P1=P2=P3 考点: 简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 解答: 解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个 体被抽中的概率都是相等的, 即 P1=P2=P3. 故选:D. 点评: 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.

2.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为 5 的概率是( A. B. C. D.



考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,其基本事件共有以下 6 个,其中两 个数的和为 5 的共有两个(1,4) , (2,3) .据此可得出答案. 解答: 解:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,其基本事件共有以下 6 个: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) . 其中两个数的和为 5 的共有两个(1,4) , (2,3) . 故所求事件的概率 P= = , 故选:C. 点评: 把所有的基本事件一一列举出来,再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可. 3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A. 2 B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 k=0 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=1,S=2, 当 k=1 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=2,S= , 当 k=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=3,S= , 当 k=3 时,不满足进行循环的条件,

故输出结果为: , 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计, 全年级同学的成绩全部介于 60 分与 100 分之 间,将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图.现从全体学生中,采用分层抽样 的方法抽取 60 名同学的试卷进行分析, 则从成绩在[90, 100]内的学生中抽取的人数为 ( )

A. 24 B. 18 C. 15 D. 12 考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,求出成绩在[90,100]内的频率,再利用分层抽样原理计算应 抽取的学生数. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 成绩在[90,100]内的学生的频率为 0.03×10=0.3, 所以,从成绩在[90,100]内的学生中抽取的人数为 60×0.3=18. 故选:B. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了分层抽样原理的应用问题,是基 础题目. 5.投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 Ω={1,2,3,4,5,6}.设事件 A={1, 3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是( ) A. A,C 为对立事件 B. A,B 为对立事件 C. A,C 为互斥事件,但不是对立事件 D. A,B 为互斥事件,但不是对立事件 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计.

分析: 结合已知中基本事件空间是 Ω={1,2,3,4,5,6}.事件 A={1,3},B={3,5, 6},C={2,4,6},分析 A,B,C 是否满足互斥事件和对立事件的定义,可得结论. 解答: 解:∵投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 Ω={1,2,3,4,5,6}. 事件 A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6}, 当掷出的点数 3 时,A,B 同时发生, 故 A,B 不是互斥事件, 故 A,B 也不是对立事件; 即 B,D 错误; A,C 不可能同时发生,故 A,C 为互斥事件, 但 A∪B={1,2,3,4,6}≠Ω, 故 A,C 不是对立事件, 故 A 错误,C 正确, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是互斥事件与对立事件,熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事 件的概念是解答的关键. 6.下图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图.设 1,2 两组数据的平 均数依次为 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么( ) ,其中 为 x1 ,

(注:标准差 s= x2,…,xn 的平均数)

A. C.

< >

,s1<s2 B. ,s1>s2 D.

< >

,s1>s2 ,s1<s2

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 将题中的茎叶图还原,结合平均数、方差计算公式,分别算出第 1 组 7 位同学和第 2 组 7 位同学的平均数和方差,再将所得结果加以比较,即得本题的答案 解答: 解:由茎叶图,得第 1 组的 7 名同学的体重分别为 53 56 57 58 61 70 72, ∴第 1 组的 7 名同学体重的平均数为:
2

= (53+56+57+58+61+70+72)=61kg
2 2 2 2

因此, 第 1 组的 7 名同学体重的方差为: s= ( [ 53﹣61)+ (56﹣61)+…+ (72﹣61)]=43.00kg , 同理,第 2 组的 7 名同学体重的平均数为: = (54+56+58+60+61+72+73)=62kg

因此, 第 2 组的 7 名同学体重的方差为: s= ( [ 54﹣62)+ (56﹣62)+…+ (73﹣62)]=63.14kg , ∴ < 且 s1<s2

2

2

2

2

2

故选:A 点评: 本题给出茎叶图,要我们求出数据的平均数和方差,着重考查了茎叶图的认识、样 本特征数的计算等知识,属于基础题.

7.如图给出的是计算 等式为( )

的一个程序框图,则判断框内应填入关于 i 的不

A. i<50 B. i>50 C. i<51 D. i>51 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 框图给出的是计算 的值的一个程序框图,首先赋值 i=1,执行 后的 i

s=0+ 时同时执行了 i=i+1,和式共有 50 项作和,所以执行完 s= 值为 51,再判断时 i=51 应满足条件,由此可以得到正确答案. 解答: 解:框图首先给变量 s,n,i 赋值 s=0,n=2,i=1. 判断,条件不满足,执行 s=0+ ,n=2+2=4,i=1+1=2; 判断,条件不满足,执行 s= + ,n=4+2=6,i=2+1=3; 判断,条件不满足,执行 s= + + ,n=6+2=8,i=3+1=4; … 由此看出,当执行 s= 时,执行 n=100+2=102,i=50+1=51.

在判断时判断框中的条件应满足,所以判断框中的条件应是 i>50?. 故选:B. 点评: 本题考查了程序框图中的直到型循环,虽然是先进行了一次判断,但在不满足条件 时执行循环,直到满足条件算法结束,此题是基础题. 8.袋中装有 5 个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色,现从袋中随机抽取 3 个小球.设每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球,共有 10 种选法,则既没有黑球也没有白球 只有 1 种,根据互斥事件的概率公式计算即可. 3 解答: 解:从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球,共有 C5 =10 种选法,则既没有黑球也 没有白球只有 1 种, ∴每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为 1﹣ = ,

故选:D. 点评: 本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式,属于基础题 二、解答题:本大题共 2 小题,共 18 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9.从某校高一年级随机抽取 n 名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据, 整理得到数据分组及频数分布表: 组号 分组 频数 频率 1 [5,6) 2 0.04 2 [6,7) 0.20 3 [7,8) a 4 [8,9) b 5[来源:Zxxk.Com] [9,10) 0.16 (I)求 n 的值; (Ⅱ)若 a=10,补全表中数据,并绘制频率分布直方图; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替.若上述数据的平均值为 7.84, 求 a,b 的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时的概率.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (I)根据频率= ,求出 n 的值;

(II)根据频率、频数与样本容量的关系,求出表中空余的数值,补全数表,并绘制频率分 布直方图; (III)根据平均数的定义,列出方程组,求出 a、b 的值,计算日平均睡眠时间不少于 8 小 时的概率. 解答: 解: (I)∵小组[5,6)内的频数是 2,对应的频率是 0.04, ∴样本容量为 n= ; (1 分)

(II)小组[6,7)内的频数为 50×0.20=10, 小组[7,8)内的频率为 =0.20,

小组[8,9)内的频数为 50﹣2﹣10﹣10﹣8=20, 频率为 =0.40,

小组[9,10)内的频数为 50×0.16=8, 由此补全数据见下表(3 分) ; 组号 分组 频数 频率 1 [5,6) 2 0.04 2 [6,7) 10 0.20 3 [7,8) 10 0.20 4 [8,9) 20 0.40 5 [9,10) 8 0.16 绘制频率分布直方图见下图: (5 分)

(III)根据题意,得 , (7 分)

解得

; (8 分)

设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时”为事件 A, 则 P(A)= . (9 分)

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了平均数与概率的计算问题,是基 础题目. 10.已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2ax+b =0,其中 a,b∈R. (I)若 a 随机选自集合{0,1,2,3,4},b 随机选自集合{0,1,2,3},求方程有实根的 概率; (Ⅱ)若 a 随机选自区间[0,4],b 随机选自区间[0,3],求方程有实根的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (I)根据判别式△ ≥0 得出一元二次方程有实根的条件为事件 A, 由 a∈{0,1,2,3,4},b∈{0,1,2,3},列出基本事件数,计算对应的概率即可; (II)利用几何概型求出对应的概率即可. 解答: 解: (I)设“关于 x 的一元二次方程 x ﹣2ax+b =0 有实根”为事件 A, 2 2 2 2 由△ =(﹣2a) ﹣4b ≥0,得 a ≥b ; 因为 a≥0,b≥0, 所以 a≥b 时事件 A 发生; 又 a∈{0,1,2,3,4},b∈{0,1,2,3}, 所以它的基本事件共 20 个: (0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,0) , (4,1) , (4,2) , (4,3) ; (3 分) 且事件 A 包含的基本事件有 14 个: (0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,0) , (4,1) , (4,2) , (4,3) ; (4 分) 所以 P(A)= ; (5 分)
2 2 2 2

(II)因为 a∈[0,4],b∈[0,3], 则试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|0≤a≤4,0≤b≤3}, Ω 的面积为 μΩ=3×4=12; (6 分) 事件 A 所构成的区域 A={(a,b)|0≤a≤4,0≤b≤3,a≥b}, A 的面积为 ,如图所示; (8 分)

所以 P(A)=

. (9 分)

点评: 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题,也考查了几何概型的应用问题,是基 础题目. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 11.数列{an}满足 a1=1,an+1=an﹣3(n∈N ) ,则 a4=( A. 10 B. 8 C. ﹣8 D. ﹣10
*



考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 an+1=an﹣3 得到数列{an}是等差数列,进行求解即可. 解答: 解:∵an+1=an﹣3, ∴an+1﹣an=﹣3 得 数列{an}是公差 d=﹣3 的等差数列, 则 a4=a1+3d=1﹣9=﹣8, 故选:C. 点评: 本题主要考查等差数列的应用,根据条件判断数列是等差数列是解决本题的关键. 12.设 a,b∈R,且 a>b,则下列结论中正确的是( A. >l B. < C. |a|>|b| D. a >b
3 3



考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: 对于 A,B,C,举反例即可判断,对于 D,根据幂函数的性质即可判断. 解答: 解:对于 A,若 a=1,b=﹣1,则 <1,故 A 不成立, 对于 B,若 a=1,b=﹣1,则 > ,故 B 不成立, 对于 C,若 a=1,b=﹣1,则|a|=|b|,故 C 不成立, 3 3 3 对于 D,对于幂函数 y=x 为增函数,故 a >b ,故 D 成立, 故选:D. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质的应用,属于基础题

13.在等比数列{an}中,a1=2,a4= .若 am=2 A. 17 B. 16 C. 14 D. 13

﹣15

,则 m=(



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的通项公式进行求解即可. 解答: 解:∵a1=2,a4= .

∴q =

3

= = ,

则 q= , ∵am=2
﹣15

=a1q

m﹣1

=2×( )

m﹣1

=2

2﹣m



∴2﹣m=﹣15, 即 m=17, 故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列通项公式的应用,根据条件求出公比是解决本题的关键.

14.若实数 x,y 满足

则 z=x+3y 的最大值是(



A. 6 B. 4 C.

D. 0

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x+3y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 当直线 z=x+3y 表示直线 y= z 最大是 4; 故选:B x+ ,当过点 B(1,1)时,

点评: 本小题主要考查线性规划问题,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 15.在△ ABC 中,若 asinA=bsinB,则△ ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinA=sinB,故有 a=b,可得△ ABC 为等腰三角形. 解答: 解:∵△ABC 中,已知 asinA=bsinB, ∴由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB, ∴sinA=sinB,∴a=b, 故△ ABC 为等腰三角形, 故选:A. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,考查运算能力,属于基本知识的考查. 16.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2k+1>0,则一定有( A. ak>0 B. Sk>0 C. ak+l>0 D. Sk+l>0 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质以及前 n 项和公式进行推导即可. 解答: 解:∵S2k+1= ×(2k+1)=ak+l×(2k+1)>0, )

∴ak+l>0, 故选:C. 点评: 本题主要考查等差数列的性质,利用等差数列的前 n 项和公式进行转化是解决本题 的关键.

17. 已知数列{an}的前 n 项的乘积为 Tn=2 ﹣c, 其中 c 为常数, n∈N . 若 a4=3, 则 c= ( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用 a4= =3 计算即得结论.
n

n

*



解答: 解:∵Tn=2 ﹣c,a4=3, ∴a4= = =3,

解得:c=4, 故选:A. 点评: 本题考查数列递推式,注意解题方法的积累,属于基础题.

18.设不等式组

表示的平面区域是 W,则 W 中的整点(横、纵坐标均为

整数的点)个数是( ) A. 231 B. 230 C. 219 D. 218 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,求出可行域内点的横坐标的范围,然后分别取范围内的整 数 x,求出对应的整数 y,得到整点个数.

解答: 解:由约束条件

作出平面区域是 W,

联立

,解得 A(﹣80,﹣60) ;

联立

,解得 B(60,40) .

分别取 x=﹣80,﹣79,﹣78,﹣77,…,60,求出满足不等式组

的整数 y

值, 可得总的整点个数为 231. 故选:A. 点评: 求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地 画出平面区域,然后分析平面区域内的点,易求出平面区域内的整点个数,是中档题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 2 19.不等式 x <2x 的解集为 (0,2) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 通过提公因式可因式分解,求对应方程的根,比较两根大小,写出不等式的解集. 2 2 解答: 解:不等式 x <2x 化为:x ﹣2x<0, 可因式分解为 x(x﹣2)<0, 对应方程的实数根为:x1=0,x2=2, 2 不等式 x <2x 的解集为: (0,2) . 故答案为: (0,2) . 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法,用到了通过提公因式因式分解、比较两根大 小. 20.在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=



考点: 专题: 分析: 解答: =

余弦定理. 计算题;解三角形. 2 2 2 由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC,代入数据,即可得到答案. 2 2 2 解:由余弦定理知,c =a +b ﹣2abcosC =3,

所以 c= . 故答案为: 点评: 本题考查余弦定理及运用,考查运算能力,属于基础题. 21.已知等差数列{an}的各项均为正整数,且 a8=2015,则 a1 的最小值是 6 . 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 根据等差数列的通项公式表示出 a1=2015﹣7d,则当 d 取最大值时,即可得到结论. 解答: 解:设公差为 d,则 d 为整数(d>0) , 由 a8=a1+7d=2015, 得 a1=2015﹣7d, ∵2015=7×287+6, ∴当 d=287 时,a1=6 最小, 故答案为:6. 点评: 本题主要考查等差数列通项公式的应用,比较基础. 22.函数 f(x)=x+ (x>1)的最小值是 3 ;此时 x= 2 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 x>1 可得 x﹣1>0,函数 y= 解答: 解:∵x>1,∴x﹣1>0. ∴函数 y= +x=x﹣1+ +1≥2 +1=3, +x=x﹣1+ +1,利用基本不等式即可得出.

当且仅当 x=2 时取等号. ∴函数 y= +x 的最小值是 3.此时 x=2.

故答案为:3,2. 点评: 本题考查基本不等式的运用:求最值,注意变形:x=x﹣1+1,属于基础题.

23.设 a∈R,n∈N ,求和:l+a+a +a +…+a =

*

2

3

n



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 分 a=0、a=1、a≠0 且 a≠1 分别求解得答案. 2 3 n 解答: 解:当 a=0 时,l+a+a +a +…+a =0; 2 3 n 当 a=1 时,l+a+a +a +…+a =1+1+…+1=n+1; 当 a≠0 且 a≠1 时,l+a+a +a +…+a = 验证当 a=0 时,上式成立.
2 3 n 2 3 n



∴l+a+a +a +…+a =



故答案为:



点评: 本题考查等比数列的前 n 项和,体现了分类讨论的数学思想方法,是基础题. 24.设数列{an}的通项公式为 an=3n(n∈N ) .数列{bn}定义如下:对任意 m∈N ,bm 是数列 {an}中不大于 3
2m * *

的项的个数, 则 b3=

243 ; 数列{bm}的前 m 项和 Sm=



考点: 等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 利用数列{bn}定义如下:对任意 m∈N ,bm 是数列{an}中不大于 3 2m﹣1 可得 bm=3 ,即可得出结论. 6 解答: 解:由题意,3n≤3 ,∴n≤243,∴b3=243; 由 3n≤3 ,∴n≤3 故答案为:243,
2m 2m﹣1 * 2m

的项的个数,

,∴bm=3

2m﹣1

,∴Sm=

=





点评: 本题考查等比数列的性质与求和,考查学生的计算能力,比较基础. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 25. (10 分) (2015 春?西城区期末)已知数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅰ)证明:当 0<q<1 时,{an}是递减数列; * (Ⅱ)若对任意 k∈N ,都有 ak,ak+2,ak+1 成等差数列,求 q 的值. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)运用等比数列的通项公式,求得 an,再由 an+1﹣an,分解因式,结合条件即可 得证; (II)运用等差数列的性质和等比数列的通项公式,化简整理,计算即可得到 q. 解答: (I)证明:因为数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列, n﹣1 * 所以 an=q ,n∈N . n n﹣1 n﹣1 所以 an+1﹣an=q ﹣q =q (q﹣1) , n﹣1 当 0<q<1 时,有 q >0,q﹣1<0, * 所以 an+1﹣an<0,n∈N . 所以{an}是递减数列. (II)解:因为 ak,ak+2,ak+1 成等差数列, * 所以 2ak+2﹣(ak+ak+1)=0,其中 k∈N . k+1 k﹣1 k 即 2q ﹣(q +q )=0, k﹣1 2 整理得 q ?(2q ﹣q﹣1)=0. 因为 q≠0, 2 所以 2q ﹣q﹣1=0,

解得 q=1,或 q=



点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查数列的单调性的证明,考查运算 能力,属于中档题. 26. (10 分) (2015 春?西城区期末)已知△ ABC 为锐角三角形,a,b,c 分别为角 A,B, C 所对的边,且 a=2csinA. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)当 c=2 时,求:△ ABC 面积的最大值. 考点: 正弦定理的应用;三角形的面积公式. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由 a=2csinA,利用正弦定理,结合△ ABC 为锐角三角形,a 求角 C; (Ⅱ)当 c=2 时,利用余弦定理,结合基本不等式,可得 ab≤12,即可求:△ ABC 面积 的最大值. 解答: (I)解:由正弦定理得 将已知代入得 sinC= . (2 分) , (3 分) , (1 分)

因为△ ABC 为锐角三角形,所以 0<C< 所以 C= . (4 分)
2 2 2

(II)证明:由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC, (5 分) 2 2 即 12=a +b ﹣ab, (6 分) 2 2 又 a +b ﹣ab≥2ab﹣ab=ab 所以 ab≤12. (8 分) 所以△ ABC 的面积 S= absinC= ab≤3 , (9 分)

当且仅当 a=b,即△ ABC 为等边三角形时,△ ABC 的面积取到 3 . 所以△ ABC 面积的最大值为 3 . (10 分) 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题. 27. (12 分) (2015 春?西城区期末)设 m∈R,不等式 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)>0 的解 集记为集合 P. (I)若 P=(x|﹣1<x<2) ,求 m 的值; (Ⅱ)当 m>0 时,求集合 P; (Ⅲ)若{x|﹣3<x<2}?P,求 m 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: (Ⅰ)因为 P={x|﹣1<x<2},所以方程 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)=0 的两根为﹣ 1 和 2,根据根与系数的关系即可求出 m 的值;
2

(Ⅱ)不等式 mx ﹣(3x+1)x+2(2m+1)>0 可化为(x﹣2)[mx﹣(m+1)]>0,需要分 类讨论,即得到不等式的解集; (Ⅲ)依题意,当 x∈(﹣3,2)时,不等式 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)>0 恒成立,分类 讨论即可求出 m 的范围. 解答: 解: (I)因为 P={x|﹣1<x<2}, 2 所以方程 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)=0 的两根为﹣1 和 2. 2 将 x=﹣1 代入上述方程,得 m(﹣1) ﹣(3m+1) (﹣1)+2(m+1)=0, 解得 m= .
2 2

2

(II)不等式 mx ﹣(3x+1)x+2(2m+1)>0 可化为(x﹣2)[mx﹣(m+1)]>0. 当 m>0 时,方程 m(﹣1) ﹣(3m+1) (﹣1)+2(m+1)=0 的两根为 ①当 ②当 ③当 =2,即 m=1 时,解得 x≠2. >2,即 0<m<1 时,解得 x<2 或 x> <2,即 m>1 时,解得 x< 或 x>2. };当 m=1 时,P={x|x∈R,且 x≠2};当 m>1 .
2

和 2.

综上,当 0<m<1 时,P={x|x<2 或 x> 时,P={x|x< 或 x>2}.

(III)依题意,当 x∈(﹣3,2)时,不等式 mx ﹣(3m+1)x+2(m+1)>0 恒成立. 当 m=0 时,原不等式化为﹣x+2>0,即 P={x|x<2},适合题意. 当 m>0 时,由(II)可得 0<m≤1 时,适合题意. 当 m<0 时,因为 此时必有 =1+ ,所以 P={x| . ]. <x<2}.

2

≤﹣3 成立,解得

综上,若{x|﹣3<x<2}?P,则 m 的取值范围是[

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,分类讨论是关键,属于中档题. 28. (12 分) (2015 春?西城区期末)已知数列{an}的通项公式为 an=2n+(﹣1) * 其中是常数,n∈N . (I)当 an=﹣1 时,求 λ 的值; (Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?证明你的结论; * (Ⅲ)若对于任意 n∈N ,都有 an>0,求 λ 的取值范围. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. n+1 分析: (I)通过在 an=2n+(﹣1) ?(1+λn)中令 n=2,计算即得结论;
n+1

?(1+λn) ,

(II)通过 an=2n+(﹣1)

n+1

?(1+λn) (n∈N )求出前 4 项的值,假设存在 λ 使{an}为等差 ,验证即可得出结论;

*

数列,利用 2a2=a1+a3 可知 λ=
n

(III)通过 an>0 可知(﹣1) 论即可.

,分 n 为正奇数、正偶数两种情况讨

解答: 解: (I)因为 an=2n+(﹣1) 所以 n=2 时,a2=3﹣2λ. (1 分) 由 3﹣2λ=﹣1, 解得 λ=2. (2 分)

n+1

?(1+λn) (n∈N ) ,

*

(II)结论:数列{an}不可能为等差数列. 证明如下: n+1 * 由 an=2n+(﹣1) ?(1+λn) (n∈N ) ,得 a1=3+λ,a2=3﹣2λ,a3=7+3λ,a4=7﹣4λ. (4 分) 若存在 λ,使{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3, (5 分) 即 2(3﹣2λ)=(3+λ)+(7+3λ) , 解得 λ= . (6 分)

于是,a2﹣a1=﹣3λ= ,a4﹣a3=﹣7λ= ,这与{an}为等差数列矛盾! 所以,对任意实数 λ,{an}都不可能是等差数列. (7 分) n+1 (III)由 an>0,得 2n+(﹣1) ?(1+λn)>0, 将上式变形为(﹣1)
n

,其中 n∈N .① .

*

(i)当 n 为正偶数时,①式化简为 因为 2﹣ 随着正偶数 n 的增大而增大, 欲使上式对于任意正偶数恒成立,则 λ<2 (ii)当 n 为正奇数时,①式化简为 因为 随着正奇数 n 的增大而增大,

= . (9 分) .

欲使上式对于任意正奇数恒成立,则 λ≥﹣2. (11 分) 综上,若对于任意 n∈N ,都有 an>0,则 λ 的取值范围是[﹣2, ) . (12 分) 点评: 本题考查数列的递推式,注意解题方法的积累,属于中档题.
*


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