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2012届高考第二轮复习数学解法指导:第3讲 解答题题型分析及增分策略


金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 第 3 讲 解答题题型分析及增分策略

高考解答题一般有六大方向:三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不 等式、解析几何、不等式与函数及导数.一般来说,前三题属于中低档题,第四题属中档偏 难题,后两题属难题.三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概率 较

高, 掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键. 目前的高考解答题已经由单纯的知 识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.能否做好解答题,是高考成败的关键.

1. 三角函数与平面向量 三角部分解答题是每年高考的必考题目,主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、 三角函数的性质及解三角形.试题呈现以下特点: (1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函 数等)求值; (2)通过升、降幂等恒等变形,将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一 般化为 y=Asin(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0),然后再研究三角函数的性质,如单调性、奇 ) 偶性、周期性、对称性、最值等. (3)利用正、余弦定理及恒等变换解三角形(也包括利用三角形求解与测量、航海有 关的实际问题) ; (4)利用向量的工具作用,与向量结合在一起命制综合题,体现了在知识交汇点处命 题的指导思想.这类问题求解时,首先利用向量的运算,将向量式转化为代数式,再进行有 关的三角恒等变换. B 【例 1】 已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 = 3sin B,b=1. 2 5π (1)若 A= ,求边 c 的大小; 12 (2)求 AC 边上高的最大值. 点评: 点评:本题考查利用正、余弦定理及恒等变换解三角形,解三角形时,要灵活运用已知 条件,根据正、余弦定理,列出方程、进而求解.最后还要检验是否符合题意. π π 针对训练 . 针对训练已知向量 m=?1,sin?ωx+3??,n=?2,2sin?ωx-6??(其中 ω 为正常数) ? ? ?? ? ? ?? π 2π (1)当 ω=1,x∈?6, 3 ?,求 m∥n 时 tan x 的值; ? ? π (2)设 f(x)=m·n-2,若函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 ,求 f(x) 2 π 在区间?0,2?上的最小值. ? ? 2. 概率与统计 概率解答题为每年高考的必考内容, 主要考查互斥事件和对立事件的关系、 古典概型和 几何概型.要求学生能准确理解题意,迅速确定是古典概型还是几何概型,然后用概率公式 求解.对于古典概型,要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数.对
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于几何概型,一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系.对于较复杂的问题,可以借助 图形和表格帮助分析. 【例 2】 为了对某课题进行研究,用分层抽样的方法从三所高校 A,B,C 的相关人员 中,抽取若干人组成研究小组,有关数据如下(单位:人)

高校 A B C

相关人数 18 36 54

抽取人数 x 2 y

(1)求 x,y; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率. 点评: 点评:本题主要考查了古典概型,解决古典概型要紧扣古典概型的定义.古典概型具有 m 两个特点:①有限性;②等可能性.古典概率的计算公式是 P(A)= ,其中 n 是基本事 n 件的总个数,m 是事件 A 包含的基本事件的个数.另外,在用列举法把所有基本事件一一 列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举. 针对训练从 3 名男生和 2 名女生中选取 2 人参加比赛.求: 针对训练 (1)2 人都是男生的概率; (2)所选 2 人至少有 1 名女生的概率. 3. 立体几何 立体几何解答题主要分两类: 一类是空间线面关系的判定和推理证明, 主要是证明平行 和垂直, 求解这类问题要依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证; 另一类是空间 几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算.求解这类问题,常用方法是依据 公理、定理以及性质等经过推理论证,作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、证、 求”. 【例 3】 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC =1,M,N 分别是 A1B1,BC 的中点.

(1)证明:MN∥平面 ACC1A1; (2)若点 P 在线段 BN 上,且三棱锥 PAMN 的体积 VPAMN= 5 NP ,求 的值. 21 PB

点评:本题第(1)问是证明线面平行问题,证明直线与平面平行,往往要通过直线与 点评: 直线平行来实现;第(2)问是求两线段长之比,解答此问,要合理转化,使之转化为求面 积之比. 针对训练如图所示,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD,线段 CD 为圆 针对训练 O 的弦,AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C,D 的点,AE=3,圆 O 的直径 为 9.

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(1)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE; (2)求二面角 DBCE 的平面角的正切值. 4. 数列与不等式 高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点: (1)与等差、等比数列基本量有关的计算,可根据题意列方程(方程组)或利用等差、 等比数列的性质求解; (2) 与求和有关的题目, 首先要求通项公式, 并根据通项公式选择恰当的求和方法 (如 错位相减法、裂项相消法、分组求和法等) .
? ?S1,n=1, (3)含 Sn 的式子,要根据题目特征利用 an=? 进行转化; ? ?Sn-Sn-1,n≥2

(4)与递推数列有关的问题,要能合理转化,使之构造出新的等差、等比数列; (5)与数列有关的不等式问题,可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法、数 学归纳法等) ; (6)与函数有关的问题,应根据函数的性质求解. 【例 4】 已知函数 f(x)= 1 (x∈R) . 4x+2

1 1 (1)试证明函数 f(x)的图象关于点?2,4?对称; ? ? n (2)若数列{an}的通项公式为 an=f?m?(m∈N*,n=1,2,…,m) ,求数列{an}的前 m ? ? 项和 Sm; 1 1 1 1 2 + +…+ .若(2) (3)设数列{bn}满足:b1= ,bn+1=bn+bn,设 Tn= 3 b1+1 b2+1 bn+1 中的 Sm 满足对任意不小于 2 的正整数 n,Sm<Tn 恒成立,试求 m 的最大值. 点评: 点评:1.数列是特殊的函数,因此数列往往与函数结合,利用函数的性质描述数列的特 征. 有时也可借助解析几何中的点与曲线的关系来说明数列的性质, 其实质就是得到数列的 通项、前 n 项和公式或者得到递推式. 2.数列与不等式的结合主要是借助数列的增减性和不等式的性质将数列问题转化为不 等式问题,要注意数列中的自变量 n∈N*. 针对训练假设某市 2009 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 针对训练 预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房 中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2009 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?(参考数 据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 5. 解析几何 解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、 标准方程及几何性质等基础知识和处理
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有关问题的基本技能、基本方法,往往以中档偏难题或以压轴题形式出现,主要考查学生逻 辑推理能力.运算能力,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.突破解答题,应重点 研究直线与曲线的位置关系,要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理,注意运用 “设而不求”的思想方法,灵活运用“点差法”解题,要善于运用数形结合思想分析问题, 使数与形相互转化,根据具体特征选择相应方法. x2 y2 【例 5】 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4. a b (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y=x+2 相切,求椭圆焦点坐标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点,记直 1 线 PM,PN 的斜率分别为 kPM,kPN,当 kPM·kPN=- 时,求椭圆的方程. 4 点评: 点评:本题第(1)问考查了椭圆的定义,直线与圆的位置关系的判定.常常利用比较 圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系;第(2)问考查了直线与椭圆 的位置关系, 处理这类问题常常运用“设而不求”的思想方法, 然后运用一元二次方程根的 判别式和韦达定理或者运用“点差法”解题.本题灵活运用了“点差法”,简单、快捷. x2 y2 针对训练在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 + =1 的左、右顶点为 A,B, 针对训练 9 5 右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与此椭圆分别交于点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 其中 m>0,y1>0,y2<0.

(1)设动点 P 满足|PF|2-|PB|2=4,求点 P 的轨迹; 1 (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; 3 (3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) . 6. 不等式与函数及导数 导数是研究函数性质的强有力工具, 利用导数解决函数问题不但避开了初等函数变形技 巧性强的难点, 而且使解法程序化, 变“技巧”为“通法”. 因此在求与函数有关的问题 (比 如函数图象的切线、 函数的极值、 函数的最值、 函数的单调性等) 及与不等式有关的问题时, 要充分发挥导数的工具性作用,优化解题策略,简化运算过程. 【例 6】 已知函数 f(x)= ax 在 x=1 处取得极值 2. x2+b

(1)求函数 f(x)的表达式. (2)当 m 满足什么条件时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增? ax ax (3)若 P(x0,y0)为 f(x)= 2 图象上任意一点,直线 l 与 f(x)= 2 的图象 x +b x +b 切于点 P,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 点评: 点评:本题考查函数的极值点、函数的单调区间、函数图象的切线与导数的关系,考查 分析问题和解决问题的能力.值得注意的是:f′(x)=0 是函数有极值的必要不充分条件, 如果 f′(x)左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果 f′(x)左正右负,那么
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f(x)在这个根处取得极大值;如果 f′(x)左右两边符号相同,那么这个根不是 f(x)的 极值点. 针对训练设函数 y=f(x)在(a,b)上导函数为 f′(x) ,f′(x)在(a,b)上的导 针对训练 函数为 f″(x) ,若在(a,b)上,f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在(a,b)上为“凸 1 3 1 函数”,已知 f(x)= x4- mx3- x2. 6 2 12 (1)若 f(x)在区间(-1,3)上为“凸函数”,试确定实数 m 的值; (2)若当实数 m 满足|m|≤2 时,函数 f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求 b-a 的最大值.

参考答案
方法例析 【例 1】 (1)∵1+cos B= 3sin B, 解: π π 1 ∴2sin?B-6?=1,sin?B-6?= , ? ? ? ? 2 π π 5π , ∴B- = 或 (舍) 6 6 6 π 5π π 得 B= .又∵A= ,∴C= . 3 12 4 ∵ c b 6 = ,得 c= . sin C sin B 3

(2)设 AC 边上的高为 h, 1 1 ∵S△ABC= b·h= h, 2 2 1 3 S△ABC= acsin B= ac, 2 4 ∴h= 3 ac. 2 3 3 ac≤ ,当 a=c 时取到等号. 2 2 3 . 2

又 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥ac,∴ac≤1, ∴h=

∴AC 边上的高 h 的最大值为

(1)∵m∥n, 针对训练 解: π π ∴sin?x-6?=sin?x+3?, ? ? ? ? π π sin xcos -cos xsin 6 6 π π =sin xcos +cos xsin , 3 3 则 3 1 sin x- cos x 2 2

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1 3 = sin x+ cos x, 2 2 3-1 3+1 sin x= cos x, 2 2 ∴tan x= 3+1 =2+ 3. 3-1

π π (2)f(x)=2sin?ωx-6?sin?ωx+3? ? ? ? ? π π π =2sin?ωx-6?cos??ωx+3?-2? ? ? ? ?

?

?

π π =2sin?ωx-6?cos?ωx-6? ? ? ? ? π =sin?2ωx-3?. ? ?

?或f(x)=2sin?ωx-π?sin?ωx+π? 6? ? 3? ? ?
=2? =2? 3 1 3 ?1 ? sin ωx- cos ωx ?2sin ωx + cos ωx ? 2 2 2 ? ? ? 1 3 2 3 2 + 2sin ωxcos ωx? ? ? 4 sin ωx- 4 cos ωx 3 1 cos 2ωx+ sin 2ωx 2 2

=-

π = sin?2ωx-3?? ? ?? π ∵函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 , 2 ∴f(x)的最小正周期为 π.又 ω 为正常数, ∴ 2π =π,解得 ω=1, 2ω

π 故 f(x)=sin?2x-3?. ? ? π 因为 x∈?0,2?, ? ? π π 2π 所以- ≤2x- ≤ . 3 3 3 故当 x=0 时,f(x)取最小值- 【例 2】 3 . 2

x 2 y (1)由题意知 = = ,所以 x=1,y=3; 解: 18 36 54

(2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B, C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3) , , , , (b2,c1)(b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共 10 种. , , , , , 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 M,则 M 包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3) , ,

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3 3 (c2,c3)共 3 种,因此 P(M)= ,故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 . 10 10 针对训练 解:“从 3 名男生和 2 名女生中选取 2 人参加比赛”的基本事件有(男 1, 男 2)(男 1,男 3)(男 2,男 3)(男 1,女 1)(男 1,女 2)(男 2,女 1)(男 2,女 2) , , , , , , , (男 3,女 1)(男 3,女 2)(女 1,女 2)共 10 种. , , (1)记“2 人都是男生”为事件 A,故 A 包含的基本事件数为 3,∴由古典概型的概率 3 公式得 P(A)= ; 10 (2)记“所选 2 人至少有 1 名女生”为事件 B,事件 B 包含的基本事件个数为 7, 7 7 3 ∴P(B)= ( 或事件 B 与事件 A 对立,故 P(B)=1-P(A)=1- = 10?. ? 10 10 【例 3】 (1)证明:设 AC 的中点为 D,连接 DN,A1D. 证明: 解: 证明

∵D,N 分别是 AC,BC 的中点, ∴DN 1 AB. 2

1 又∵A1M= A1B1,A1B1 AB, 2 ∴A1M DN, ∴四边形 A1DNM 是平行四边形, ∴A1D∥MN. ∵A1D?平面 ACC1A1,MN?平面 ACC1A1, ∴MN∥平面 ACC1A1. (2)∵VPAMN=VMAPN= 5 , 21

又 M 到底面 ABC 的距离=AA1=2, 1 5 ∴ ×S△APN×AA1= . 3 21 ∴S△APN= 5 . 14

∵N 为 BC 中点, 1 1 1 1 ∴S△ABN= S△ABC= × ×AB×AC= . 2 2 2 2 PN S△APN 5 ∵P 点在线段 BN 上时, = = , BN S△ABN 7 NP 5 此时 = . PB 2 证明: 针对训练 (1)证明:∵AE 垂直于圆 O 所在平面,CD 在圆 O 所在平面上, 证明
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∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD. 又∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵CD?平面 ABCD, ∴平面 ABCD⊥平面 ADE. (2)解法一:∵CD⊥平面 ADE,DE?平面 ADE, 解法一: 解法一 ∴CD⊥DE. ∴CE 为圆 O 的直径,即 CE=9. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 在 Rt△CDE 中,DE2=CE2-CD2=81-a2, 在 Rt△ADE 中,DE2=AD2-AE2=a2-9, 由 81-a2=a2-9,解得 a=3 5. ∴DE= AD2-AE2=6. 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,作 FG∥CD 交 BC 于点 G,连接 GE.

由于 CD⊥平面 ADE,EF?平面 ADE, ∴EF⊥CD. ∵AD∩CD=D, ∴EF⊥平面 ABCD. ∵BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EF. ∵BC⊥FG,EF∩FG=F, ∴BC⊥平面 EFG. ∵EG?平面 EFG, ∴BC⊥EG. ∴∠FGE 是二面角 DBCE 的平面角. 在 Rt△ADE 中,AD=3 5,AE=3,DE=6, ∵AD·EF=AE·DE, AE·DE 3×6 6 5 ∴EF= = = . AD 5 3 5 在 Rt△EFG 中,FG=AB=3 5, EF 2 ∴tan∠EGF= = . FG 5 2 故二面角 DBCE 的平面角的正切值为 . 5 解法二:∵CD⊥平面 ADE,DE?平面 ADE, ∴CD⊥DE. ∴CE 为圆 O 的直径,即 CE=9. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 在 Rt△CDE 中,DE2=CE2-CD2=81-a2,
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在 Rt△ADE 中,DE2=AD2-AE2=a2-9, 由 81-a2=a2-9,解得 a=3 5. ∴DE= AD2-AE2=6.以 D 为坐标原点,分别以 ED,CD 所在的直线为 x 轴,y 轴建 立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,E(-6,0,0) ,C(0,-3 5,0) ,A(-6,0,3) , B(-6,-3 5,3) .

设平面 ABCD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1) ,

?n1·D→=0, A ? ?-6x1+3z1=0, 即? 则? ?-3 5y1=0, ?n1·D→=0, C ?
取 x1=1,则 n1=(1,0,2)是平面 ABCD 的一个法向量.

?n2·E→=0, B ? ,则 设平面 BCE 的法向量为 n2=(x2,y2,z2) ? → ? ?n2·E C =0, ?-3 5y2+3z2=0, 即? 取 y2=2, ?6x2-3 5y2=0.
则 n2=( 5,2,2 5)是平面 BCE 的一个法向量. ∵cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1||n2|



(1,0,2)·( 5,2,2 5) 5 = , 29 1+0+4· 5+4+20 2 . 29

∴sin〈n1,n2〉=

2 ∴tan〈n1,n2〉= . 5 2 故二面角 DBCE 的平面角的正切值为 . 5 【例 4】 (1)证明:设点 P0(x0,y0)是函数 f(x)的图象上任意一点,其关于点 证明: 证明

?1,1?的对称点为 P(x,y) . ?2 4?
1 ?x+x =2, 2 由? y+y 1 ? 2 =4,
0 0

?x=1-x0, ? 得? 1 ?y=2-y0, ?

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1 ∴点 P 的坐标为?1-x0,2-y0?. ? ? 1 由点 P0(x0,y0)在函数 f(x)的图象上,得 y0= x0 . 4 +2 1 ∵f(1-x0)= 4
1-x0

4x0 4x0 = , x0= +2 4+2·4 2(4x0+2)

1 1 4x0 1 -y0= - x0 = x0 , 2 4 +2 2(4 +2) 2 1 ∴点 P?1-x0,2-y0?在函数 f(x)的图象上. ? ? 1 1 ∴函数 f(x)的图象关于点?2,4?对称. ? ? 1 (2)解:由(1)可知,f(x)+f(1-x)= , 解 2 k k k m-k? 1 1 ∴f?m?+f?1-m?= (1≤k≤m-1) ,即 f?m?+f? ? ? ? ? 2 ? ? ? m ?=2. 1 ∴ak+am-k= . 2 由 Sm=a1+a2+…+am-1+am,① 得 Sm=am-1+am-2+…+a1+am,② 1 由①+②,得 2Sm=(m-1)× +2am 2 = m-1 1 m 1 +2× = - , 2 6 2 6

1 . ∴Sm= (3m-1) 12 1 (3)解:∵b1= ,bn+1=b2n+bn=bn(bn+1) 解 ,③ 3 ∴对任意的 n∈N*,bn>0.④ 1 1 1 1 由③④得 = = - , bn+1 bn(bn+1) bn bn+1 即 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ,∴Tn=?b -b ?+?b -b ?+…+?b -b ? ? 1 2? ? 2 3? ? n n+1? bn+1 bn bn+1

1 1 1 = - =3- . b n b n+ 1 b n+ 1 ∵bn+1-bn=bn2>0,∴bn+1>bn. ∴数列{bn}是单调递增数列. ∴Tn 关于 n 递增. ∴当 n≥2,且 n∈N*时,Tn≥T2. 1 1 1 4 ∵b1= ,b2= ?3+1?= , ? 9 3 3? 4 4 52 b3= ?9+1?= , ? 81 9?
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1 75 ∴Tn≥T2=3- = . b3 52 75 1 75 ∴Sm< ,即 (3m-1)< . 52 12 52 238 4 ∴m< =6 . 39 39 ∴m 的最大值为 6. (1)设中低价房的面积形成的数列为{an}, 针对训练 解: 由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50. n(n-1) ×50=25n2+225n,令 25n2+225n≥4 750, 则 Sn=250n+ 2 即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10.∴到 2018 年底, 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方 米. (2)设新建住房面积形成数列{bn}, 由题意可知{bn}是等比数列, - 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400·(1.08)n 1. 由题意可知 an>0.85bn, - 有 250+(n-1)·50>400·(1.08)n 1·0.85. 当 n=5 时,a5<0.85b5,当 n=6 时,a6>0.85b6, ∴满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. ∴到 2014 年底, 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 2 【例 5】 解: (1)由 b= ,得 b= 2, 1+1 ∴又 2a=4,∴a=2, ∴a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2, ∴两个焦点坐标为( 2,0)(- 2,0) , . (2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称,不妨设 M(x0, y0) ,N(-x0,-y0) ,P(x,y) . x02 y02 x2 y2 M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有 2 + 2 =1, 2+ 2=1, a b a b y2-y02 b2 两式相减得: 2 =- 2. a x -x02 由题意知它们的斜率存在,则 kPM= kPM·kPN= y-y0 y+y0 ,kPN= . x-x0 x+x0

y-y0 y+y0 y2-y02 b2 b2 1 · = 2 2=- 2,则- 2=- ,由 a=2 得 b=1. a a 4 x-x0 x+x0 x -x0

x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 4 ,B(3,0) ,F(2,0) . 针对训练 解:由题设得 A(-3,0) 2 2 2 2 (1)设点 P(x,y) ,则|PF| =(x-2) +y ,|PB| =(x-3)2+y2.

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9 由|PF|2-|PB|2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得 x= . 2 9 故所求点 P 的轨迹为直线 x= . 2 x12 y12 5 (2)由 x1=2, + =1 及 y1>0,得 y1= , 9 5 3 5 1 则点 M?2,3?,从而直线 AM 的方程为 y= x+1; ? ? 3

1 x22 y22 20 由 x2= , + =1 及 y2<0,得 y2=- , 3 9 5 9 20 1 则点 N?3,- 9 ?, ? ? 5 5 从而直线 BN 的方程为 y= x- . 6 2

?y=3x+1, 由? 5 5 ?y=6x-2,

1

?x=7, ? 解得? 10 ?y= 3 . ?

10 所以点 T 的坐标为?7, 3 ?. ? ? m m ,直线 BT 的方程为 y= (x-3) . (3)由题设知,直线 AT 的方程为 y= (x+3) 6 12

?y =12(x +3), 点 M(x ,y )满足? x y ? 9 + 5 =1,
1 1 1 1 1 2 2 1

m



2 (x1-3)(x1+3) m2 (x1+3) =- 2· . 9 12 5

x1-3 240-3m2 m2 x1+3 40m 因为 x1≠-3,则 =- 2· ,解得 x1= ,从而得 y1= . 9 12 5 80+m2 80+m2

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?y = 6 (x -3), ? y 点 N(x ,y )满足?x + =1, 9 ? 5 ?x ≠3,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

m

3m2-60 -20m 解得 x2= ,y2= . 20+m2 20+m2 240-3m2 3m2-60 若 x1=x2, 则由 = 及 m>0, m=2 10, 得 此时直线 MN 的方程为 x=1, 80+m2 20+m2 过点 D(1,0) . 40m 80+m2 10m 若 x1≠x2,则 m≠2 10,直线 MD 的斜率 kMD= = , 2 240-3m 40-m2 -1 80+m2 -20m 20+m2 10m 直线 ND 的斜率 kND= 2 = ,得 kMD=kND,所以直线 MN 过 D 点. 40-m2 3m -60 -1 20+m2 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) . 【例 6】 a(x2+b)-ax·2x ax 解: (1)因为 f′(x)= ,而函数 f(x)= 2 在 x=1 处 (x2+b)2 x +b a(1+b)-2a=0,
? ?a=4, 4x 解得? 所以 f(x)= 2 即 x +1 ? ?b=1.

? ? ? ?f′(1)=0, 即? a 取得极值 2,所以? ? =2, ?f(1)=2, ? ?1+b
为所求. (2)由(1)知 f′(x)=

4(x2+1)-8x2 -4(x-1)(x+1) = . (x2+1)2 (1+x2)2

令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1, 则 f(x)的增减性如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) - ? (-1,1) + ? (1,+∞) - ?

可知,f(x)的单调增区间是[-1,1],

?m≥-1 ? 所以?2m+1≤1 ?m<2m+1 ?

?-1<m≤0.

所以当 m∈(-1,0]时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增. (3)由条件知,过 f(x)的图象上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:

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4(1-x02) -1-x02+2 k=f′(x0)= =4× (1+x02)2 (1+x02)2 1 2 =4?(1+x 2)2-1+x 2?. ? 0 0 ? 1 令 t= ,则 t∈(0,1], 1+x02 1 1 1 1 此时,k=8?t-4?2- ,由图象性质知:当 t= 时,kmin=- ; ? ? 2 4 2 当 t=1 时,kmax=4. 1 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是?-2,4?. ? ? 1 4 1 3 3 2 2 针对训练 解:由函数 f(x)=12x -6mx -2x ,得 f″(x)=x -mx-3. (1)若函数 f(x)在区间(-1,3)上为“凸函数”,则有 f″(x)=x2-mx-3<0 在
? ? ?f″(-1)=1+m-3≤0, ?m≤2, 区间 (-1,3) 上恒成立, 由二次函数的图象, 当且仅当? 即? ? ? ?f″(3)=9-3m-3≤0, ?m≥2,

解得 m=2. (2)当|m|≤2 时,f″(x)=x2-mx-3<0 恒成立?|m|≤2 时,mx>x2-3 恒成立. 当 x=0 时,f″(x)=-3<0 显然成立; 3 3 当 x>0,x- <m,因为 m 的最小值为-2,所以 x- <-2,解得 0<x<1; x x 3 当 x<0,x- >m, x 3 因为 m 的最大值为 2,所以 x- >2, x 解得-1<x<0, 综上可得-1<x<1, (b-a)max=1-(-1)=2.

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