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2016高三数学一轮阶段性测试题:4 三角函数、三角恒等变形、解三角形


阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、 解三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(2015· 娄底市名校联考)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( 4 A.- 5 3 C. 5 [答案] B [解析] 解法 1:在角 θ 终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2, a2 1 2 3 ∴cos2θ= 2= ,∴cos2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5a 5 5 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 2a 解法 2:tanθ= =2,cos2θ= 2 = a cos θ+sin2θ 1+tan2θ 3 =- . 5 2.(2015· 山东滕州一中月考)化简 π 11π cos?π+α?cos? +α?cos? -α? 2 2 的结果是( 9π cos?π-α?sin?-π-α?sin? +α? 2 A.-1 C.tanα [答案] C ?-cosα?· ?-sinα?· ?-sinα? [解析] 原式= =tanα. ?-cosα?· sinα· cosα π 3.(文)(2014· 河南省实验中学期中)函数 y=sin(2x+ )图象的对称轴方程可能是( 3 π A.x=- 6 π B.x=- 12 ) ) 3 B.- 5 4 D. 5

)

B.1 D.-tanα

π C.x= 6 [答案] D

π D.x= 12

π π kπ π [解析] 由 2x+ =kπ+ (k∈Z)得,x= + (k∈Z),∴选 D. 3 2 2 12 π (理)(2015· 沈阳市东北育才学校一模)下列函数中,最小正周期为 π,且图象关于直线 x= 3 对称的是( ) π B.y=sin(2x+ ) 3 π D.y=sin(2x- ) 6

π A.y=sin(2x+ ) 6 π C.y=sin(2x- ) 3 [答案] D

π [解析] 把 x= 代入解析式,函数应取到最值,经检验 D 符合. 3 4.(文)(2015· 河南八校联考)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个长 度单位后,所得到的图象关于原点对称,则 m 的最小值是( π A. 12 π C. 3 [答案] D π π [解析] y= 3cosx+sinx=2sin(x+ ), 向左平移 m 个单位得到 y=2sin(x+m+ ), 此函数 3 3 π 2π 为奇函数,∴m+ =kπ,k∈Z,∵m>0,∴m 的最小值为 . 3 3 π (理)(2014· 杭州七校联考)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 4 所得图象的函数解析式是( A.y=cos2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 [答案] B [解析] y=sin2x
向上平移1个单位 左移

)

π B. 6 2π D. 3

) B.y=2cos2x D.y=2sin2x

― ― →

个单位

π y=sin2(x+ ) 4

― ― →

π y=sin(2x+ )+1, 2

π ∵y=sin(2x+ )+1=cos2x+1=2cos2x,∴选 B. 2 5. (2014· 河北冀州中学期中)设扇形的周长为 6, 面积为 2, 则扇形的圆心角是(弧度)( )

A.1 C .π [答案] D [解析] 设扇形半径为 R,圆心角为 α,则 2R+Rα=6 ?1? ? ? ?1 2 ?2? ? ?2R α=2

B.4 D.1 或 4

4 4 由(2)得 Rα= ,代入(1)得 2R+ =6,解之得 R=1 或 2,当 R=1 时,α=4,当 R=2 时, R R α=1.∴选 D. 3 1 6. (2014· 湖北省八校联考)已知 α、 β 为锐角, cosα= , tan(α-β)=- , 则 tanβ 的值为( 5 3 1 A. 3 9 C. 13 [答案] B 3 4 4 [解析] ∵cosα= ,α 为锐角,∴sinα= ,tanα= , 5 5 3 ∴tanβ=tan[α-(α-β)]= 4 1 -?- ? 3 3 = =3. 4 1 1+ ×?- ? 3 3 7.(文)(2015· 江西省三县联考)在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5,则 cosA 的值 为( ) 3 A. 5 C .0 [答案] B [解析] 由正弦定理得 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5, ∴设 a=3k,b=4k,c=5k(k>0), b2+c2-a2 16k2+25k2-9k2 4 ∴cosA= = = . 2bc 5 2×4k×5k (理)(2015· 山西忻州四校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 BC 边上的高为 A.8 3 c b a,则 + 的最大值是( 6 b c ) B.6 4 B. 5 D.1 tanα-tan?α-β? 1+tanα· tan?α-β? B.3 13 D. 9 )

C .3 2 [答案] D [解析]

D.4

2 2 c2+b2-a2 b c c +b + = ,这个形式很容易联想到余弦定理:cosA= ,① c b bc 2bc

1 3 1 而条件中的“高”容易联想到面积, a· a= bcsinA,即 a2=2 3bcsinA,② 2 6 2 将②代入①得:b2+c2=2bc(cosA+ 3sinA), b c π π ∴ + =2(cosA+ 3sinA)=4sin(A+ ),当 A= 时取得最大值 4,故选 D. c b 6 3 8.(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一 定是( ) B.等腰三角形 D.正三角形

A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B [解析] ∵2sinAcosB=sinC=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB,

∴sin(A-B)=0,∵0<A、B<π,∴A-B=0,故选 B. (理)(2014· 三亚市一中月考)在△ABC 中,若三个角 A、B、C 成等差数列,对应三条边成 等比数列,则△ABC 一定是( A.钝角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] D π 2π [解析] ∵A、B、C 成等差数列,∴B= ,A+C= , 3 3 3 又 b2=ac,∴sin2B=sinAsinC,即 sinAsinC= , 4 2π 3 π ∴sinAsin( -A)= ,∴sin(2A- )=1, 3 4 6 π π π ∵0<A<π,∴2A- = ,∴A= , 6 2 3 ∴△ABC 为等边三角形. 9.(2014· 山东省德州市期中)已知△ABC 中三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B =30° ,b=1,c= 3,则△ABC 的面积为( A. C. 3 2 3 3 或 2 4 ) B. D. 3 4 3 或 3 2 ) B.直角三角形 D.等边三角形

[答案] C [解析] ∵ 3sin30° = 由 3 <1<3,∴△ABC 有两解. 2

1 3 3 = 得,sinC= ,∴C=60° 或 120° , sin30° sinC 2 3 ; 2

当 C=60° 时,A=90° ,S△ABC=

1 3 当 C=120° 时,A=30° ,S△ABC= × 3×1×sin30° = ,故选 C. 2 4 10.(文)(2015· 湖北百所重点中学联考)已知 α 为第三象限角,且 sinα+cosα=2m,sin2α =m2,则 m 的值为( A. 3 3 ) B.- D.- 3 3 2 3

1 C.- 3 [答案] B

[解析] 把 sinα+cosα=2m 两边平方可得 1+sin2α=4m2,又 sin2α=m2,∴3m2=1,解得 3 3 m=± ,又 α 为第三象限角,∴m=- . 3 3 A-B (理)(2014· 文登市期中)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2cos2 cosB 2 4 -sin(A-B)sinB+cos(A+C)=- ,则 cosA=( 5 4 A.- 5 3 C. 5 [答案] A A-B [解析] 2cos2 cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C) 2 =[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB+cos(π-B) =cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB+cosB-cosB 4 =cos(A-B+B)=cosA=- ,故选 A. 5 sinx+cosx 11.(文)(2014· 北京海淀期中)已知函数 f(x)= ,在下列给出结论中: sinxcosx ①π 是 f(x)的一个周期; π ②f(x)的图象关于直线 x= 对称; 4 ) 4 B. 5 3 D.- 5

π ③f(x)在(- ,0)上单调递减. 2 其中,正确结论的个数为( A.0 个 C .2 个 [答案] C sinx+cosx [解析] 因为,f(x)= , sinxcosx f(x+π)= sin?x+π?+cos?x+π? -sinx-cosx sinx+cosx = =- ,所以,①不正确; sinxcosx sin?x+π?cos?x+π? ?-sinx??-cosx? ) B.1 个 D.3 个

π π sin? -x?+cos? -x? 2 2 π 又 f(2× -x)= 4 π π sin? -x?cos? -x? 2 2 = sinx+cosx ,由满足 f(2a-x)=f(x),其图象的对称轴为 x=a 知,②正确; sinxcosx

sinx+cosx 1 1 π 因为,f(x)= = + ,y=sinx,y=cosx 在(- ,0)上均为增函数, sinxcosx cosx sinx 2 1 1 π 所以,y= + 在(- ,0)上为减函数,③正确. cosx sinx 2 综上知,正确结论的个数为 2,选 C. π π (理)(2015· 洛阳市期中)若 f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f(t+ )=f(-t),且 f( ) 4 8 =-1 则实数 m 的值等于( A.± 1 C .± 3 [答案] B π π π π π [解析] 由 f(t+ )=f(-t)得,f( +t)=f( -t),∴f(x)的图象关于直线 x= 对称,又 f( )= 4 8 8 8 8 -1, ∴m± 2=-1,∴m=1 或-3. 12.(2014· 福州市八县联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图,则 f(x)的解析式和 S =f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2013)的值分别为( ) ) B.-3 或 1 D.-1 或 3

1 A.f(x)= sin2πx+1,S=2013 2 1 1 B.f(x)= sin2πx+1,S=2013 2 2 1 π C.f(x)= sin x+1,S=2014 2 2 1 π 1 D.f(x)= sin x+1,S=2014 2 2 2 [答案] D 2π π π [解析] 由图象知 A=0.5,T=4= ,∴ω= ,b=1,∴f(x)=0.5sin( x+φ)+1,由 f(x) ω 2 2 π 的图象过点(1,1.5)得,0.5sin( +φ)+1=1.5,∴cosφ=1,∴φ=2kπ,k∈Z,取 k=0 得 φ=0, 2 π ∴f(x)=0.5sin( x)+1, 2 π 3π ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=(0.5sin0+1)+(0.5sin +1)+(0.5sinπ+1)+(0.5sin +1)=4,2013 2 2 =4×503+1,∴S=4×503+f(2012)+f(2013)=2012+f(0)+f(1)=2014.5.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 5 4 13.(2015· 韶关市十校联考)在△ABC 中,sinC= ,cosB=- ,则角 cosA=________. 13 5 [答案] 63 65

4 3 5 [解析] ∵cosB=- , 0<B<π, ∴sinB= , 且 B 为钝角, ∴C 为锐角, ∵sinC= , ∴cosC 5 5 13 12 = , 13 ∴cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C) 3 5 4 12 63 =sinBsinC-cosBcosC= × -(- )× = . 5 13 5 13 65 π 14.(2015· 江西师大附中、临川一中联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分 2 图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向左至少平移________个单位后,得到的图象解析式为 y =Acosωx.

[答案]

π 6

3 3 2π 11 π 3π [解析] 由函数的图象可得 A=1, T= · = π- = ,∴ω=2. 4 4 ω 12 6 4 π π π 再根据五点法作图可得 2× +φ= ,∴φ= , 6 2 6 π ∴函数 f(x)=sin(2x+ ). 6 π π π π 把函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,可得 y=sin[2(x+ )+ ]=cos2x 的图象. 6 6 6 6 π 15.(2015· 湖南师大附中月考)已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(其中 φ 为实数),若 f(x)≤|f( )|对 x 6 ∈R 恒成立,且 sinφ<0,则 f(x)的单调递增区间是________. π 2π [答案] [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π [解析] 由条件知|f( )|=|sin( +φ)|=1, 6 3 π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. 3 2 π 7π ∴φ=kπ+ ,∵sinφ<0,∴取 k=1,φ= , 6 6 7π ∴f(x)=sin(2x+ ). 6 π 7π π 5π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得,kπ- ≤x≤kπ- . 2 6 2 6 3 π 16.(文)(2014· 河南淇县一中模拟)若 f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0, ]上的最大值是 2, 3 则 ω=________. [答案] 3 4

2π π π [解析] ∵0<ω<1,∴T= >2π,∴f(x)在[0, ]上为增函数,由条件知 2sin( ω)= 2,∴ ω 3 3 π π π 3π 3 9 ω=2kπ+ ,或 ω=2kπ+ ,k∈Z,∴ω=6k+ 或 6k+ , 3 4 3 4 4 4 3 ∵k∈Z,0<ω<1,∴k=0,ω= . 4 1 2 ( 理 )(2014· 长安一中质检 ) 若 cosxcosy + sinxsiny = , sin2x + sin2y = ,则 sin(x + y) = 2 3 ________. [答案] 2 3

2 [解析] ∵2x=(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y),sin2x+sin2y= ,∴sin(x+y)cos(x- 3

1 1 1 y)= ,又由 cosxcosy+sinxsiny= 得 cos(x-y)= , 3 2 2 2 ∴sin(x+y)= . 3 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(2015· 韶关市十校联考)已知函数 f(x)= 3sin2x-2sin2x. (1)若点 P(1,- 3)在角 α 的终边上,求 f(α)的值; π π (2)若 x∈[- , ],求 f(x)的值域. 6 3 [解析] (1)因为点 P(1,- 3)在角 α 的终边上, 所以 sinα=- 3 1 ,cosα= , 2 2

所以 f(α)= 3sin2α-2sin2α=2 3sinαcosα-2sin2α =2 3×(- 3 1 3 )× -2×(- )2=-3. 2 2 2

(2)f(x)= 3sin2x-2sin2x= 3sin2x+cos2x-1 π =2sin(2x+ )-1, 6 π π π π 5π 因为 x∈[- , ],所以- ≤2x+ ≤ , 6 3 6 6 6 1 π 所以- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 所以 f(x)的值域是[-2,1]. 18. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 山东省菏泽市期中)已知函数 f(x)=-sin2x- 3(1-2sin2x) +1. (1)求 f(x)的最小正周期及其单调减区间; π π (2)当 x∈[- , ]时,求 f(x)的值域. 6 6 [解析] f(x)=-sin2x- 3(1-2sin2x)+1 =-sin2x- 3cos2x+1 π =-2sin(2x+ )+1. 3 2π (1)函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π f(x)=-2sin(2x+ )+1 的单调减区间即是函数 y=sin(2x+ )的单调增区间, 3 3 π π π 由正弦函数的性质知,当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,(k∈Z) 2 3 2

5π π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函数 y=sin(2x+ )为单调增函数, 12 12 3 ∴函数 f(x)的单调减区间为[kπ- 5π π ,kπ+ ],(k∈Z). 12 12

π π π 2π (2)∵x∈[- , ],∴2x+ ∈[0, ], 6 6 3 3 π ∴sin(2x+ )∈[0,1], 3 π ∴-2sin(2x+ )+1∈[-1,1], 3 ∴f(x)的值域为[-1,1]. (理)(2014· 山东省德州市期中)将函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,再纵坐标不变,横 π 坐标伸长到原来的 倍,然后再向上平移 1 个单位,得到函数 y= 3sinx 的图象. 3 (1)求 y=f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 求当 x∈[0,1]时, 函数 y=g(x)的最 小值和最大值. [解析] (1)函数 y= 3sinx 的图象向下平移 1 个单位得 y= 3sinx-1,再将各点的横坐标 3 π π π 缩短到原来的 倍得到 y= 3sin x-1,然后向右移 1 个单位得 y= 3sin( x- )-1. π 3 3 3 2π 所以函数 y=f(x)的最小正周期为 T= =6. π 3 π π π π 1 5 由 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ ?6k- ≤x≤6k+ ,k∈Z, 2 3 3 2 2 2 1 5 ∴y=f(x)的递增区间是[6k- ,6k+ ],k∈Z. 2 2 (2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, ∴当 x∈[0,1]时,y=g(x)的最值即为当 x∈[3,4]时,y=f(x)的最值. π π 2π ∵x∈[3,4]时, x- ∈[ ,π], 3 3 3 π π 3 ∴sin( x- )∈[0, ], 3 3 2 1 ∴f(x)∈[-1, ], 2 1 ∴y=g(x)的最小值是-1,最大值为 . 2 19.(本小题满分 12 分)(文)(2015· 安徽示范高中联考)已知三角形 ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,2acosA=bcosC+ccosB. (1)求 A;

(2)若 a= 3,b=1,求 c. [解析] (1)∵2acosA=bcosC+ccosB, ∴由正弦定理得 sin2A=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C), ∴B+C=2A,∴A=60° . (2)∵a2=b2+c2-2bccosA,a= 3,b=1,A=60° , ∴3=1+c2-c,∴c=2. ( 理 )(2015· 成 都 市 树 德 中 学 期 中 ) 在 △ ABC 中 , 已 知 角 A 为 锐 角 , 且 f(A) = A π A [cos?π-2A?-1]sin?π+ ?sin? - ? 2 2 2 +cos2A. A 2 π A 2 sin ? - ?-sin ?π- ? 2 2 2 (1)求 f(A)的最大值; 7π (2)若 A+B= ,f(A)=1,BC=2,求△ABC 的三个内角与 AC 边的长. 12 A A ?cos2A+1?sin cos 2 2 [解析] (1)f(A)= +cos2A A 2 2A cos -sin 2 2 A A 2cos2Asin cos 2 2 1 = +cos2A= sin2A+cos2A cosA 2 1 2 π 1 = (sin2A+cos2A+1)= sin(2A+ )+ . 2 2 4 2 π π π 5π ∵角 A 为锐角,∴0<A< , <2A+ < , 2 4 4 4 2+1 π π ∴当 2A+ = 时,f(A)取值最大值,其最大值为 . 4 2 2 (2)由 f(A)=1 得 2 π 1 sin(2A+ )+ =1, 2 4 2

π 2 ∴sin(2A+ )= , 4 2 π 3π π ∴2A+ = ,A= . 4 4 4 7π π 5π 又∵A+B= ,∴B= ,∴C= . 12 3 12 在△ABC 中,由正弦定理得: BCsinB ∴AC= = 6. sinA 20.(本小题满分 12 分)(2015· 江西三县联考)已知 A、B 分别在射线 CM、CN(不含端点 C) BC AC = , sinA sinB

2π 上运动,∠MCN= ,在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. 3

(1)若 a、b、c 依次成等差数列,且公差为 2,求 c 的值; (2)若 c= 3,∠ABC=θ,试用 θ 表示△ABC 的周长,并求周长的最大值. [解析] (1)∵a、b、c 成等差数列,且公差为 2,∴a=c-4,b=c-2, 2π 1 又∠MCN= ,∴cosC=- . 3 2 ?c-2?2+?c-4?2-c2 1 由余弦定理得: =- , 2 2?c-2??c-4? ∴c2-9c+14=0,∴c=7 或 2, ∵c>4,∴c=7. AC BC AB (2)在△ABC 中, = = , sin∠ABC sin∠BAC sin∠ACB ∴ AC BC 3 = = =2, sinθ π 2π sin? -θ? sin 3 3

π ∴AC=2sinθ,BC=2sin( -θ). 3 ∴△ABC 的周长 L=|AC|+|BC|+|AB| π =2sinθ+2sin( -θ)+ 3 3 1 3 π =2[ sinθ+ cosθ]+ 3=2sin(θ+ )+ 3, 2 2 3 π π π 2π 又∵θ∈(0, ),∴ <θ+ < . 3 3 3 3 π π π ∴当 θ+ = ,即 θ= 时,L 取得最大值 2+ 3. 3 2 6 1 21. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 长春市一调)已知向量 m=(cosx, -1), n=( 3sinx, - ), 2 设函数 f(x)=(m+n)· m. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 a、b、c 分别为三角形 ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,c= 3,且 π f(A)恰是函数 f(x)在[0, ]上的最大值,求 A,b 和三角形 ABC 的面积. 2

3 1+cos2x 3 3 [解析] (1)f(x)=(m+n)· m=cos2x+ 3sinxcosx+ = + sin2x+ 2 2 2 2 1 3 π = cos2x+ sin2x+2=sin(2x+ )+2, 2 2 6 2π 因为 ω=2,所以最小正周期 T= =π. 2 π π π π 7π (2)由(1)知 f(x)=sin(2x+ )+2,当 x∈[0, ]时, ≤2x+ ≤ . 6 2 6 6 6 π π π π 由正弦函数图象可知,当 2x+ = 时,f(x)取得最大值 3,又 A 为锐角,所以 2A+ = , 6 2 6 2 π A= . 6 π 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 得,1=b2+3-2× 3×b×cos ,所以 b=1 或 b=2, 6 经检验均符合题意. 1 π 3 1 π 从而当 b=1 时, △ABC 的面积 S= × 3×1×sin = ; 当 b=2 时, S= × 3×2×sin 2 6 4 2 6 = 3 . 2 tanB 2a-c (理)(2014· 浙北名校联盟联考)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, = . tanC c (1)求角 B 的大小; π (2)求函数 f(x)=cosx· cos(x+B)(x∈[0, ])的值域. 2 sinBcosC 2sinA-sinC [解析] (1)∵ = ,而 sinC>0, sinCcosB sinC ∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,∵sin(B+C)=sinA, 1 π ∴cosB= ,∴B= . 2 3 1 3 (2)f(x)= cos2x- sinxcosx 2 2 = 1+cos2x 3 1 π 1 - sin2x= cos(2x+ )+ , 4 4 2 3 4

π π 4 π 1 ∵2x+ ∈[ , π],∴-1≤cos(2x+ )≤ , 3 3 3 3 2 1 1 ∴f(x)的值域为[- , ]. 4 2 3π 22.(本小题满分 14 分)(文)(2015· 深圳市五校联考)已知 f(x)= 3sin(π+ωx)sin( -ωx)- 2 cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 T=π.

2π (1)求 f( )的值; 3 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a-c)cosB=bcosC,则求 角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. [解析] (1)f(x)= 3sinωxcosωx-cos2ωx = 3 1 1 π 1 sin2ωx- cos2ωx- =sin(2ωx- )- . 2 2 2 6 2

2π ∵y=f(x)的最小正周期 T=π,∴ =π,∴ω=1, 2ω π 1 ∴f(x)=sin(2x- )- , 6 2 2π 2π π 1 7π 1 ∴f( )=sin(2× - )- =sin - =-1. 3 3 6 2 6 2 (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴由正弦定理可得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sin(π-A)=sinA, 1 π ∵sinA>0,∴cosB= ,∵B∈(0,π),∴B= . 2 3 2 2π ∵A+C=π-B= π,∴A∈(0, ), 3 3 π π 7π π 1 ∴2A- ∈(- , ),∴sin(2A- )∈(- ,1], 6 6 6 6 2 π 1 1 ∴f(A)=sin(2A- )- ∈(-1, ]. 6 2 2 ( 理 )(2015· 濉溪县月考 ) 已知向量 a = (cosωx - sinωx , sinωx) , b = ( - cosωx - sinωx,2 3 1 cosωx),设函数 f(x)=a· b+λ(λ∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数且 ω∈( ,1). 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π 3π (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数 y=f(x)在区间[0, ]上的取值范围. 4 5 [解析] (1)∵f(x)=a· b+λ = (cosωx - sinωx)· ( - cosωx - sinωx) + sinωx· 2 3 cosωx + λ = sin2ωx - cos2ωx + 2 3 sinωx· cosωx+λ π = 3sin(2ωx)-cos(2ωx)+λ=2sin(2ωx- )+λ. 6 π 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin(2ωπ- )=± 1, 6 π π k 1 ∴2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z), 6 2 2 3

1 5 又 ω∈( ,1),k∈Z,所以 k=1,ω= . 2 6 5 π ∴f(x)=2sin( x- )+λ, 3 6 6 ∴f(x)的最小正周期为 π. 5 π (2)∵函数 y=f(x)的图象过点( ,0), 4 π 5 π π π ∴f( )=2sin( × - )+λ=0,故 λ=-2sin =- 2. 4 3 4 6 4 5 π 故 f(x)=2sin( x- )- 2, 3 6 3π π 5 π 5π ∵0≤x≤ ,∴- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 1 5 π ∴- ≤sin( x- )≤1, 2 3 6 5 π ∴-1- 2≤2sin( x- )- 2≤2- 2, 3 6 3π 故函数 f(x)在[0, ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 5


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