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2015-2016学年高中数学 2.1.2第1课时指数函数的图象及性质学案 新人教A版必修1


2.1.2

指数函数及其性质

第 1 课时 指数函数的图象及性质
[ 学习目标 ] 1. 理解指数函数的概念和意义 .2. 能借助计算器或计算机画出指数函数的图

象.3.初步掌握指数函数的有关性质.

[知识链接] 1.a ·a =a
r s r+s

;(a ) =a ;(ab) =a ·b .

r s

rs

r

r

r

其中 a>0,b>0,r,s∈R. 2.在初中,我们知道有些细胞是这样分裂的:由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,….1 个这样的细胞分裂 x 次后,第 x 次得到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为 y=2 ,
x

x∈{0,1,2,…}.
[预习导引] 1.指数函数的定义 一般地,函数 y=a (a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 2.指数函数的图象与性质
x

a>1

0<a<1

图象

定义域 R,值域(0,+∞) 图象过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 性质 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数

1

要点一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2·3 ;②y=3
x x+1

;③y=3 ;④y=x ;⑤y=(-2) .其中,指数函数的个数是(

x

3

x

)

A.0 B.1 C.2 D.4 答案 B 解析 ①中,3 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3
x x+1

的指数是 x+1,不是自变量

x,故②不是指数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是
指数函数;④中,y=x 的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0, 不是指数函数. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数; (2)指数位置是自变量 x;(3)a 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪演练 1 若函数 y=(4-3a) 是指数函数,则实数 a 的取值范围为________. 4 答案 {a|a< ,且 a≠1} 3 解析 y=(4-3a) 是指数函数,需满足:
? ?4-3a>0, ? ?4-3a≠1, ?
x x x
3

4 解得 a< 且 a≠1. 3

4 故 a 的取值范围为{a|a< ,且 a≠1}. 3 要点二 指数函数的图象 例 2 如图是指数函数①y=a ,②y=b ,③y=c ,④y=d 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大 小关系是( )
x x x x

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案 B 解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1.

2

∴b<a<1<d<c. 方法二 作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可得 函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<

c.故选 B.

规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化,指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象与直线 x =1 相交于点(1,a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换; ③注意函数单调性的影响. 跟踪演练 2 (1)函数 y=|2 -2|的图象是(
x

x

)

(2)直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 1 答案 (1)B (2)0<a< 2 解析 (1)y=2 -2 的图象是由 y=2 的图象向下平移 2 个单位长度得到的,故 y=|2 -2|的 图象是由 y=2 -2 的图象在 x 轴上方的部分不变,下方部分对折到 x 轴的上方得到的. (2)当 a>1 时,在同一坐标系中作出函数 y=2a 和 y=|a -1|的图象(如图(1)).由图象可 知两函数图象只能有一个公共点,此时无解.当 0<a<1,作出函数 y=2a 和 y=|a -1|的 图象(如图(2)).若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个交点,由图象 1 可知 0<2a<1,所以 0<a< . 2
x x x x x x x

x

3

要点三 指数型函数的定义域、值域 例 3 求下列函数的定义域和值域: (1)y= 2
1 x-4

?1? x2 ? 2 x ? 3 . x ;(2)y= 1-2 ;(3)y=? ? ?2?

解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4, 故 y= 2
1 x-4

的定义域为{x|x∈R,且 x≠4}.
1

1 又 ≠0,即 2 x - 4 ≠1, x-4 故 y= 2
1 x-4

的值域为{y|y>0,且 y≠1}.
x x

(2)由 1-2 ≥0,得 2 ≤1,∴x≤0, ∴y= 1-2 的定义域为(-∞,0]. 由 0<2 ≤1,得-1≤-2 <0,∴0≤1-2 <1, ∴y= 1-2 的值域为[0,1).
x x x x x

?1? x2 ? 2 x ? 3 的定义域为 R. (3)y=? ? ?2?
∵x -2x-3=(x-1) -4≥-4,
2 2

?1? x2 ? 2 x ? 3 ≤?1?-4=16. ∴? ? ?2? ?2? ? ? ?1? x2 ? 2 x ? 3 >0, 又∵? ? ?2? ?1? x2 ? 2 x ? 3 的值域为(0,16]. 故函数 y=? ? ?2?
规律方法 对于 y=a
f(x)

(a>0,且 a≠1)这类函数,

(1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围; (2)值域问题,应分以下两步求解: ①由定义域求出 u=f(x)的值域; ②利用指数函数 y=a 的单调性求得此函数的值域. 跟踪演练 3 (1)函数 f(x)= 1-2 + A.(-3,0] B.(-3,1]
4
x u

1

x+3

的定义域为(

)

C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

?1?x (2)函数 f(x)=? ? -1,x∈[-1,2]的值域为________. ?3?
8 答案 (1)A (2)[- ,2] 9 解析
? ?1-2 ≥0, (1)由题意,自变量 x 应满足? ?x+3>0, ?
x

解得?

?x≤0, ? ? ?x>-3,

∴-3<x≤0.

1 ?1?x 8 ?1?x ? 8 ? (2)∵-1≤x≤2,∴ ≤? ? ≤3,∴- ≤? ? -1≤2,∴值域为?- ,2?. 3 3 9 ? ? 9 ? ? ? 9 ?

1.下列各函数中,是指数函数的是( A.y=(-3) C.y=3 答案 D
x-1 x

)

B.y=-3

x

?1?x D.y=? ? ?3?

解析 由指数函数的定义知 a>0 且 a≠1,故选 D.

?3?x 2.y=? ? 的图象可能是( ?4?

)

答案 C 3 解析 0< <1 且过点(0,1),故选 C. 4 3.y=2 ,x∈[1,+∞)的值域是( A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) 答案 B 解析 y=2 在 R 上是增函数,且 2 =2,故选 B. 4.函数 f(x)=a 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值是________.
x x
1

x

)

5

答案

1 8

1 2 x -3 解析 由题意知 4=a ,所以 a=2,因此 f(x)=2 ,故 f(-3)=2 = . 8

?1? 2 5.函数 y=? ?x -1 的值域是________. ?2?
答案 (0,2] 解析 ∵x -1≥-1,
2

?1? x 2 ?1 ≤?1?-1=2,又 y>0, ∴y=? ? ?2? ?2? ? ?
∴函数值域为(0,2].

1.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),且 f(0)=1. 2.当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快.当 0<a<1 时,a 的值越小, 图象越靠近 y 轴,递减的速度越快.

一、基础达标 1.y=2
x-1

的定义域是(

)

A.(-∞,+∞)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) 答案 A 解析 不管 x 取何值,函数式都有意义,故选 A.
? 1 ? x+1 ? 2.已知集合 M={-1,1},N=?x? <2 <4,x∈Z 2 ? ? ? ? ? ?,则 M∩N 等于( ? ?

)

A.{-1,1} B.{-1} C.{0} D.{-1,0} 答案 B 1 x+1 -1 x+1 2 解析 ∵ <2 <4,∴2 <2 <2 , 2 ∴-1<x+1<2,∴-2<x<1. 又∵x∈Z,∴x=0 或 x=-1,即 N={0,-1}, ∴M∩N={-1}. 3.函数 y=2
x+1

的图象是(

)

6

答案 A 解析 当 x=0 时,y=2,且函数单调递增,故选 A. 4.当 x∈[-2,2)时,y=3 -1 的值域是( 8 8 A.(- ,8] B.[- ,8] 9 9 1 1 C.( ,9) D.[ ,9] 9 9 答案 A 8 -x -2 2 解析 y=3 -1,x∈[-2,2)上是减函数,∴3 -1<y≤3 -1,即- <y≤8. 9 5.指数函数 y=(2-a) 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是________. 答案 1<a<2 解析 由题意可知,0<2-a<1,即 1<a<2. 6.函数 y=a 答案 (5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1),即 a =1,由此变形得 a 必过点(5,2). 7.已知函数 f(x)=a (1)求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)(x≥0)的值域. 1 解 (1)∵f(x)的图象过点(2, ), 2 ∴a
2-1 0 5-5 -x

)

x

x-5

+1(a≠0)的图象必经过点________.

+1=2,所以所求函数图象

x-1

1 (x≥0)的图象经过点(2, ),其中 a>0 且 a≠1. 2

1 1 = ,则 a= . 2 2

1 x-1 (2)由(1)知,f(x)=( ) ,x≥0. 2 由 x≥0,得 x-1≥-1, 1 x-1 1 -1 于是 0<( ) ≤( ) =2, 2 2 所以函数 y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2]. 二、能力提升 8.函数 y=5
-|x|

的图象是(

)
7

答案 D 解析 当 x>0 时,y=5
x
-|x|

1 x -x =5 =( ) ,又原函数为偶函数,故选 D. 5 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( )

? ?2 ,x>0, 9.已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0. ?

A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 A 解析 依题意,f(a)=-f(1)=-2 =-2, ∵2 >0,∴a≤0,∴f(a)=a+1=-2,故 a=-3, ∴选 A. 10.方程|2 -1|=a 有唯一实数解,则 a 的取值范围是____________. 答案 {a|a≥1,或 a=0} 解析 作出 y=|2 -1|的图象,如图,要使直线 y=a 与图象的交点只有一个,∴a≥1 或 a =0.
x x x
1

1 2 11.求函数 y=( )x -2x+2(0≤x≤3)的值域. 2 1 t 2 解 令 t=x -2x+2,则 y=( ) , 2 又 t=x -2x+2=(x-1) +1, ∵0≤x≤3, ∴当 x=1 时,tmin=1,当 x=3 时,tmax=5. 1 5 1 1 故 1≤t≤5,∴( ) ≤y≤( ) , 2 2 1 1 故所求函数的值域[ , ]. 32 2 三、探究与创新 12.函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 解 ①若 a>1,则 f(x)是增函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(2),最小值为 f(1).
8
x
2 2

a

∴f(2)-f(1)= ,即 a -a= . 2 2 3 解得 a= . 2 ②若 0<a<1,则 f(x)是减函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(1),最小值为 f(2), ∴f(1)-f(2)= ,即 a-a = , 2 2 1 解得 a= 2 1 3 综上所述,a= 或 a= . 2 2 13.设 0≤x≤2,y=4
x,

a

2

a

a

2

a

x?

1 2

-3·2 +5,试求该函数的最值.

x

解 令 t=2 0≤x≤2, ∴1≤t≤4. 则 y=2
2x-1

1 2 x -3·2 +5= t -3t+5. 2

1 1 2 又 y= (t-3) + ,t∈[1,4], 2 2 1 1 2 ∴y= (t-3) + ,t∈[1,3]上是减函数;t∈[3,4]上是增函数, 2 2 1 5 ∴当 t=3 时,ymin= ;当 t=1 时,ymax= . 2 2 5 1 故函数的最大值为 ,最小值为 . 2 2

9


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