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嘉兴市2013学年第一学期高三期末测试数学文科(浙江省嘉兴市2014届高三上学期期末测试数学文试题 )


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2013 学年第一学期高三期末测试 文科数学 参考答案

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一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.A; 6.D; 2.D; 7.C; 3.A; 8.A; 4.B; 9.B; 5.C; 10.B.

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.4;
1 15. [? ,4] ; 2

12.4 或-2; 16. 8 2 ;

13. 17.

3 ; 8 21 ; 2

14. ? 3 ;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足
2a sin A ? ( 2b ? c ) sin B ? ( 2c ? b) sin C .

(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 b ? 2 , c ? 1 ,D 为 BC 上一点,且 CD ? 2 DB ,求 AD 的长. 解: (Ⅰ) ∵在△ABC 中,满足 2a sin A ? ( 2b ? c ) sin B ? ( 2c ? b) sin C 由正弦定理可得 2a 2 ? ( 2b ? c )b ? ( 2c ? b)c , 故 cos A ?
b2 ? c2 ? a 2 1 ?? ; 2bc 2
0? A??

┅3 分 ┅5 分

∵在△ABC 中

∴A?

2? 3

┅7 分 ┅9 分 ┅10 分 ┅13 分 ┅14 分

(Ⅱ)由题意可得 AD ?

2 1 AB ? AC , 3 3

AB ? AC ?| AB || AC | cos A ? ?1
2 2 2 1 4 4 1 4 ∴ | AD | 2 ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AB ? AC ? AC ? 3 3 9 9 9 9

从而可得 | AD |?

2 3

19. (本题 14 分)已知等差数列 {a n } 的公差大于 0, a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? 2 an ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 解(Ⅰ)∵ a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {a n } 的公差 d ? 0 , ∴ a 3 ? 5 , a5 ? 9 ,
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┅2 分

?a ? 2d ? 5 ?a ? 1 故? 1 ,可求得 ? 1 ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? 9

┅4 分

∴ a n ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2n ? 1 (Ⅱ)∵ bn ? 2 an ? n ? 2 2 n?1 ? n ∴ S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ( 2 a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 an ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ∵ 2 a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 an ? 21 ? 2 3 ? 2 5 ? ? ? 2 2 n?1 ?
1? 2 ? 3 ??? n ? n(1 ? n) 2

┅6 分 ┅8 分 ┅9 分 ┅11 分 ┅13 分
2(4 n ? 1) n( n ? 1) ? 3 2

2(1 ? 4 n ) 2(4 n ? 1) ? 1? 4 3

∴数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ?

┅14 分

20. (本题 15 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,AC 与 BD 相 交于点 O, PD ? 2 AB ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (Ⅱ) 当 E 为 PB 的中点时, 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小; (Ⅲ)当 PO ? AE 时,求
PE 的值. EB

P

E D C O A B
(第 20 题图)

解(Ⅰ)∵ABCD 为正方形, AC⊥BD, 又∵PD⊥底面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD ┅2 分 而 BD 与 PD 是平面 PBD 内两相交直线, ∴AC⊥平面 PBD 而 AC ? 平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 PDB ∴AE 在平面 PDB 内的射影为 OE,

┅3 分 ┅5 分

(Ⅱ)∵AC⊥平面 PBD

故∠AEO 即为 AE 与平面 PDB 所成的角,且∠AOE 为直角 令 AB=1,则 PD ? 2 , ∵E 为 PB 的中点, ∴ △AOE 为等腰直角三角形, ∴∠AEO= ∴ OE ?
1 2 PD ? , 2 2 OA ?

┅7 分
2 2

┅9 分

?
4

, 即 AE 与平面 PDB 所成的角为

?
4

┅10 分

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(Ⅲ)由于 AC⊥平面 PBD,

PO ? 平面 PBD,

∴AC⊥PO ┅12 分

当 PO⊥AE 时,我们有 PO⊥平面 AEC,从而可得 PO⊥OE

我们研究△PDB, tan ?OPD ? ∴ tan ?OPE ? tan( ∴ cos ?OPE ?

OD 1 ? PD 2
1 3

P

?
4

? ?OPD ) ?

3 10 OP 3 10 ,而 cos ?OPE ? , ? PE 10 10

E D O B ┅14

OP ? PD 2 ? OD 2 ?

10 5 1 ,故 PE ? , BE ? , 2 3 3

分 从而
PE ?5 EB

┅15 分
3 ( 3 ? a ) x 2 ? 6(1 ? a ) x , x ? R 2

21. (本题 14 分)已知 a ? R 且 a ? ?1 ,函数 f ( x ) ? x 3 ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)设 g (a ) 为函数 f ( x ) 在区间 [?1,3] 上的最小值,求 g (a ) 的解析式. 解(Ⅰ)∵ f ( x ) ? x 3 ?
3 ( 3 ? a ) x 2 ? 6(1 ? a ) x , 2

∴ f ?( x ) ? 3 x 2 ? 3( 3 ? a ) x ? 6(1 ? a ) ? 3( x ? 2)[ x ? (1 ? a )] 令 f ?( x ) ? 0 解得 x1 ? 2 , x 2 ? 1 ? a ∵ a ? ?1 , ∴1? a ? 2

┅1 分 ┅3 分

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?? ,1 ? a ) , ( 2,?? ) ,递减区间为 (1 ? a ,2)

┅5 分

(Ⅱ)由(1)可知函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?? ,1 ? a ) , ( 2,?? ) ,递减区间为 (1 ? a ,2) ①当 1 ? a ? ?1 ,即 a ? 2 时, g (a ) ? f ( 2) ? ?6a ? 2 ②当 1 ? a ? ?1 ,即 ? 1 ? a ? 2 时, f ( ?1) ? 此时 g (a ) ? min{ f ( 2), f ( ?1)} 令 f ( ?1) ? f ( 2) ,解得 1 ? a ? 2 ,故当 1 ? a ? 2 时,
g (a ) ? f ( 2) ? ?6a ? 2
15 23 , a? 2 2

┅7 分

┅8 分

┅10 分

令 f ( ?1) ? f ( 2) ,解得 ? 1 ? a ? 1 ,故当 ? 1 ? a ? 1 时,

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g (a ) ? f ( ?1) ?

15 23 a? 2 2

┅12 分

23 ? 15 , ?1? a ? 1 ? a? 综合①②可得: g (a ) ? ? 2 2 ? ? ? 6a ? 2, a ? 1

┅14 分

22. (本题 15 分) 已知抛物线 C : x 2 ? 4 y 的焦点为 F ,P 是抛物线 C 上异于原点的任一点, 直线 PF 与抛物 线的另一交点为 Q . 设 l 是过点 P 的抛物线 C 的切线, l 与直线 y ? ?1 和 x 轴的交点分别为 A、 B, (Ⅰ)求证: AF ? PQ ; (Ⅱ)过 B 作 BC ? PQ 于 C ,若 | PC |?| QF | ,求 | PQ | .
F C Q O A (第 22 题图) B x P y

m m2 m2 , ) ,则过 P 的切线方程为: y ? x? 4 2 4 m 2 得 A 的坐标 ( ? ,?1) ,又 F (0,1) , 2 m

解: (Ⅰ)设 P ( m ,

┅2 分

所以 FP ? ( m ,

m2 m2 ? 4 ? 1) , FA ? ( , ?2 ) , 4 2m m2 ? 4 m2 ?( ? 1) ? ( ?2) ? 0 , 2m 4

┅4 分 ┅6 分 ┅7 分

所以 FP ? FA ? m ? 所以 AF ? PQ ;

(Ⅱ)分别过 B 、 P 作直线 y ? ?1 的垂线,垂足为 D 、 E , 因为 BC // AF ,所以
| FC | | AB | | BD | , ? ? | FP | | AP | | PE |

因为 | FP |?| PE | ,所以 | FC |?| BD |? 1 , 设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入 C : x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 所以 m ? x Q ? ?4 ,所以 x Q ? ?
| PF |?

┅9 分

4 4 ,所以 yQ ? 2 , m m

┅11 分

4 m2 m2 , ? 1 , | QF |? 2 ? 1 ,所以 | PC |? 4 4 m 4 m2 由 | PC |?| QF | 得 2 ? 1 ? ,得 m 4 ? 4m 2 ? 16 ? 0 ,得 m 2 ? 2 ? 2 5 , 4 m
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┅14 分

所以 | PQ |?

m2 4 ? 2 ?2? 5 ?2. 4 m

┅15 分

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