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2015年高中数学新课标一轮复习上册4-5


一轮复习 · 新课标数学 · 理(上册)

第五节 数系的扩充与复数的引入

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记忆最新考纲
1.理

解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件 3.了解复数的代数表示法及其几何意义 4.会进行复数代数形式的四则运算 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

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命题规律透视
1.以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义,如 2013 年福 建 T5,山东 T1,四川 T2,课标全国ⅠT2,北京 T2 等. 2.以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算,特别是除法 运算,如 2013 年湖南 T1,湖北 T1,课标全国ⅡT2,陕西 T6, 江西 T1,安徽 T1,广东 T3,浙江 T1,辽宁 T1,重庆 T11,天 津 T9 等. 3.复数的有关概念如实部虚数、纯虚数、共轭复数、复数的模 及复数的四则运算是高考的热点,分值在 5 分,一般难度不大.
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命题趋势 1.热点预测:2014 年高考仍以复数的概念,四则运算为主 要考查对象. 2.趋势分析:注意复数的几何意义,数形结合的特性在复 习中应予以注视.

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1.复数的有关概念

内容
复数 的概 念 复数 相等

意义 设a,b都是实数,形如________的数 叫复数,其中实部为________,虚部为 ________,i叫做虚数单位 a+bi=c+di?________(a,b,c, d∈R)

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内容

共轭 复数
复平 面 复数 的模

意义 a+bi与c+di共轭?________(a,b,c, d∈R) 建立平面直角坐标系来表示复数的平面, 叫做复平面,x轴叫________,y轴叫 ________.

→ 的长度叫做复数z=a+bi的模 向量 OZ

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3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
运算 名称 加减法 乘法 符号表示 z1 ± z2=(a+bi)± (c+di)=_____ z1· z2=(a+bi)(c+di)=________ z1 a+bi ?a+bi??c-di? z2=c+di =?c+di??c-di?=___ (c+di≠0)
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除法

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(2)复数加法的运算律: 设 z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律: ①交换律:z1+z2=________; ②结合律:(z1+z2)+z3=________.

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[答案] 1.a+bi 虚轴

a

b

a=c,b=d

a=c,b=-d

实轴

2.(a,b) (a,b) 3 . (1)(a± c) + (b± d)i (ac - bd) + (bc + ad)i

?ac+bd?+?bc-ad?i (2)z2+z1 z1+(z2+z3) c2+d2

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“× ”). (1)方程 x2+x+1=0 没有解.( ) )

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.(

(3) 复 数 中 有 相 等 复 数 的 概 念 , 因 此 复 数 可 以 比 较 大 小.( ) )

(4)原点是实轴与虚轴的交点.(

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距 离,也就是复数对应的向量的模.(
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)
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(6)两个共轭复数之差是纯虚数.( (7)复数 4-3i 的实部是 4,虚部是 3.(


) )
+ +

(8)复数 in 的运算具有周期性,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3= -i,i4n+4=1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×

(7)× (8)√

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考点一:复数概念的探究

[调研 1] (1)若 z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R), z2=3 -2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

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[命题思路] 推理能力.
[答案] A

考查复数相等的概念,充分必要条件,及运算

[解析] 若

2 ? m ? +m+1=3, z1=z2,则? 2 ? ?m +m-4=-2,

只须 m2+m-2=0,∴m=1 或 m=-2. 故 m=1 是 z1=z2 的充分不必要条件,选 A.

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[探究提高]

处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复

数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处 理.

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(2)(2013· 山东)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( A.2+i C.5+i ) B.2-i D.5-i

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[命题意图]

本题考查复数的概念、复数代数形式的运算等

基础知识,考查运算求解能力.
[思路点拨] 利用复数的除法运算求 z,进而得到 z .

[答案]

D

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[解析] 由(z-3)(2-i)=5,得 5?2+i? 5 z=3+ =3+ =3+2+i=5+i, 2-i ?2-i??2+i? 所以 z =5-i. 故应选 D.
[互动探究答案] 2+i
1+2i ?1+2i?i [互动探究解析] z= i = i2 =2-i, 故 z =2+i.

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解答复数概念的关注点 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题,解题时只需把复数化为代数形 式,确定出实部、虚部即可. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2,实际上就是指 复平面上的点 Z 到原点 O 的距离; |z1-z2|的几何意义是复平面上 的点 Z1,Z2 之间的距离.

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1. 已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 为实数,则 z2=________.
[答案] 4+2i

[解析] (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i.

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2.(2014· 南昌二模)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3 -2i,其中 i 是虚数单位,它们在复平面内所对应的点分别为 A, → =xOA → +yOB → ,其中 O 为坐标原点,则 x+y 的值是 B,C.若OC ________.
[答案] 5

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[解析] 由题意,知 z1,z2,z3 在复平面内对应的点的坐标 分别为 A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2), → → → ∴OA=(-1,2),OB=(1,-1),OC=(3,-2). → =xOA → +yOB →, ∵OC
? ?-x+y=3, ∴? ? ?2x-y=-2, ? ?x=1, 解得? ? ?y=4,

则 x+y=5.

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考点二:复数几何意义的创新题型

2i [调研 2] (1)(2013· 湖北)在复平面内,复数 z= (i 为虚数 1+ i 单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

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[命题意图]

本题主要考查复数的基本运算和基本概念,意

在考查考生的运算求解能力. [思路点拨] 先化简运算求复数 z,再写出共轭复数,然后

根据其实部与虚部进行判断.
[答案] D

2i?1-i? 2i [解析] z= = =1+i 的共轭复数为 1-i,对 1+i ?1+i??1-i? 应的点为(1,-1)在第四象限.故应选 D.
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(2)如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → ,BC → 所表示的复数; ①AO → 所表示的复数; ②对角线CA ③求点 B 对应的复数.

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→ → [解析] ①AO=-OA, → ∴AO所表示的复数为-3-2i. → → ∵BC=AO, → ∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → ②CA=OA-OC, → ∴CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

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→ =OA → +AB → =OA → +OC →, ③OB → 所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, ∴OB 即点 B 对应的复数为 1+6i.

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[探究提高]

根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是

一一对应的,要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始 点和终点,或者用向量相等直接给出结论.

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对复数几何意义的理解及应用 → 相互联系,即 z=a+ (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ → bi(a,b∈R)?Z(a,b)?OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此 可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合 的方法,使问题的解决更加直观.

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(1)(2014· 江西八校联考)已知 z1=2+i,z2=1-2i,则复数 z i2 012+3z2 2 013 = -i 的模等于( z 1-1 5 5 A. 2 C. 29 ) B.2 5 D.2 21

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[ 命题立意 ]

本题主要考查共轭复数、复数的模等有关概

念,考查考生的基本运算能力.
[答案]
[解析]

C
i2 012+3z2 2 z= -i z 1-1
013

1+3?1-2i? 4-6i = -i= -i=5 ?2-i?-1 1-i

-i-i=5-2i, 所以|z|= 52+?-2?2= 29. 故应选 C.

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(2)(2013· 福建)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单 位),则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限
[答案] D

)

B.第二象限 D.第四象限

[ 命题立意 ]

本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几

何意义等基础知识,意在考查考生对概念的理解与应用能力.

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[解析] ∵ z =1+2i, ∴z=1-2i, ∴复数 z 在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.
[易错点拨] 本题容易对共轭复数的概念理解不清致错,误

认为复数 z 的共轭复数 z 是虚部不变,实部互为相反数,从而误 选 B.注意:复数 z 的共轭复数 z 是实部不变,虚部互为相反数.

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考点三:复数代数形式四则运算的技巧 [调研 3] (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位,z 是复数 z 的共轭 复数.若 z· z i+2=2z,则 z=( A.1+i C.-1+i ) B.1-i D.-1-i

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[命题意图]

本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数

相等的概念,意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握.设出 复数的代数形式,利用复数相等直接求解.

[解题指导]

设出复数的代数形式,结合复数的运算法则,

利用复数相等的条件求解.

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[答案]
2z,

A

[解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又 zi· z +2=

∴(a2+b2)i+2=2a+2bi, ∴a=1,b=1, 故 z=1+i. 故应选 A.

[归纳总结]

复数运算中乘法是本质,除法中的分母“实数

化”其实也是乘法.

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(2)(2013· 天津)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)· (1+i) =bi,则 a+bi=________.

[命题意图]

本题考查复数的运算以及复数相等的概念,意

在考查考生的运算求解能力.
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[ 思路点拨 ] a,b 值即可.

利用复数的运算法则及复数相等的概念求出

[答案] 1+2i

[解析] 因为(a+i)· (1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,
? ?a-1=0, 所以? ? ?a+1=b, ? ?a=1, 解得? ? ?b=2,

所以 a+bi=1+2i.

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[归纳总结]

复数的运算类似于多项式运算,加减法类似于

合并同类项,乘法类似于多项式乘法,而除法则是分母实数化. [互动探究解析] 由原题解法可知点(a,b)为(1,2),因为 12

+22=5>2,所以点(a,b)在圆 x2+y2=2 外.

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1.复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法 运算的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 解题中要注意把 i 的幂写成最简形式.

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2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时, 记住以下结论, 可提高计算速度. 1+ i 1-i (1)(1± i) =± 2i; =i; =-i. 1-i 1+i
2

(2)-b+ai=i(a+bi). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2 +i4n 3=0,n∈N*.


? 1 ?1 3? 3? ? ?3 ? 3 (4)?- ± i? =1,? ± i? ? =-1. 2 2 2 2 ? ? ? ?

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m-2i (1)(2014· 宝鸡质检)复数 z= (m∈R, i 为虚数单位)在复 1+2i 平面上对应的点不可能位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

[答案]

A

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m-2i [解析] z= 1+2i ?m-2i??1-2i? = ?1+2i??1-2i? ?m-4?-2?m+1?i = . 5 不存在 m∈R,使 m-4>0 且 m+1<0. 即 z 的实部和虚部不能同时为正. 故应选 A.

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?-1+ 3i?5 (2)复数 的值为________. ?1+ 3i?
[答案] -16
?-1+ 3i?5?1- 3i? [解析] 原式= ?1+ 3i??1- 3i? -?1- 3i?6 = 4 3? 6 -2 ? - i? 2 ? ?2 ? = =-16. 4
6?1

?

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1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外, 还要注 意: (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距 离.

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2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R?b=0(a, b∈R); ②z∈R?z= z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi 为纯虚数?a=0, b≠0(a,b∈R);②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数 ?z+ z =0 且 z≠0.

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创新体验:复数中的新定义问题 [典例] (2014· 广州模拟)在实数集 R 中,我们定义的大小关 系“>”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集 C 上 也可以定义一个称为“序”的关系,记为“>”.定义如下 :对于 任意两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R),z1>z2 当且仅当“a1>a2”或“a1=a2 且 b1>b2”.

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按上述定义的关系“>”,给出如下四个命题: ①若 z1>z2,则|z1|>|z2|; ②若 z1>z2,z2>z3,则 z1>z3; ③若 z1>z2,则对于任意 z∈C,z1+z>z2+z; ④对于复数 z>0,若 z1>z2,则 zz1>zz2. 其中所有真命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

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[思路点拨]

找准 创新 点

新定义复数的“序”:对于任意两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1, b2∈R),z1>z2当且仅当“a1>a2”或“a1=a2 且b1>b2”
(1)根据所给的定义把所给的复数大小比较 的问题转化为复数的实部、虚部之间的大 小比较的问题来处理; (2)注意举反例的方法在解题中的应用

寻找 突破 口

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[答案]

B

[解析] 对于复数 z1=2+i,z2=1-3i 显然满足 z1>z2,但|z1| = 5,|z2|= 10,不满足|z1|>|z2|,故①不正确; 设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,由 z1>z2,z2>z3, 可得“a1>a3”或“a1=a3 且 b1>b3”,故②正确;

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设 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z=a+bi, 由 z1>z2, 可得“a1>a2” 或“a1=a2 且 b1>b2”.显然有“a1+a>a2+a” 或“a1+a=a2 +a 且 b1+b>b2+b”,从而 z1+z>z2+z,故③正确. 对于复数 z1=2+i,z2=1-3i,显然满足 z1>z2,令 z=1+i, 则 zz1=(1+i)(2+i)=1+3i,zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i, 显然不满足 zz1>zz2,故④错误. 综上②③正确, 故应选 B.

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[方法点评] 1.方法感悟 本题体现了类比方法的运用,即通过类比的方式,给出了复 数中与实数类似的结论, 借以考查阅读理解和应用新知识解决问 题的能力. 这种类比的方法在数学中可以帮助我们得到一些新的 结论.

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好题演练· 智能提升

课时提升演练

一轮复习 · 新课标数学 · 理(上册)

2.技巧提升 利用复数与实数的类比来命题是一个新的考查方向, 主要以 给出新概念或新运算为主,用来考查学生的阅读理解、应用新知 识解决问题的能力.从实质上看,此类问题考查的还是基础知识 和基本技能,解题的关键是抓住新概念或新运算的特征,对所给 的新信息进行分析,并且将所给信息与所学知识相结合.

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课时提升演练(二十九)

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