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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.1分类计数原理与分步计数原理课件理


§10.1 分类计数原理与分步计数原理

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.分类计数原理与分步计数原理 原理 异同点

分类计数原理
如果完成一件事,有n类方式, 在第1类方式中有m1种不同的方 法,在第2类方式中有m2种不同 的方法,??在第n类方式中有 mn种不同的方法,那么完成这件 事共有N= m1+m2+?+mn 种不 同的方法

分步计数原理
如果完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同 的方法,??做第n步有mn种 不同的方法,那么完成这件 m1×m2×?×mn 事共有N=_______________ 种不同的方法

定义

区别

各种方法相互独立,用其中任 何一种方法都可以完成这件事

各个步骤相互依存,只有各 个步骤都完成才能做完这件事

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) (2)在分类计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) (3)在分步计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都 不能完成这件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.( √ ) (4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方 法mi(i=1,2,3,?,n),那么完成这件事共有m1m2m3?mn种方法.( √ ) (5) 在分步计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同 的.( √ )

考点自测

252 1.用0,1,?,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为_____.
答案 解析

由分步计数原理知,用0,1, ?,9十个数字组成三位数 (可用重复数字 ) 的 个 数 为 9×10×10 = 900 , 组 成 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数 的 个 数 为 9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.

2.(教材改编)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这 两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐 6 标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是___.
答案 解析

分两步:第一步先确定横坐标,有3种情况,第二步再确定纵坐标, 有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6.

3.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序 13 数对(a,b)的个数为____.
答案 解析

当 a =0 时,关于 x 的方程为 2x+ b = 0 ,此时有序数对 (0 ,- 1) , (0,0) ,

(0,1),(0,2)均满足要求;
当a≠0时,Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1,

- 1) , ( - 1,0) , ( - 1,1) , ( - 1,2) , (1 ,- 1) , (1,0) , (1,1) , (2 ,- 1) ,
(2,0).综上,满足要求的有序数对共有13个.

4.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数, 18 答案 其中奇数的个数为___.
解析

分两类情况讨论:第1类,奇偶奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百 位有 2 种选择,共有 3×2×2 = 12( 个 ) 奇数;第 2 类,偶奇奇,个位有 3 种 选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个)奇数.根据 分类计数原理,知共有12+6=18(个)奇数.

5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一 32 种. 答案 个小组,则不同的报名方法有____
解析

每位同学都有2种报名方法,因此,可分五步安排5名同学报名,由分步
计数原理,知总的报名方法共2×2×2×2×2=32(种).

题型分类

深度剖析

题型一 分类计数原理的应用 例1 高三一班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高三二班有学

生60人,其中男生30人,女生30人;高三三班有学生 55人,其中男生
35人,女生20人.

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不
同的选法?
解答

(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会
体育部长,有多少种不同的选法?
解答

思维升华
分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关 键词或关键元素、关键位臵.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准; 其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.

跟踪训练1

(2016· 全国丙卷改编)定义“规范01数列”{an}如下:{an}

共有2m项,其中 m 项为0, m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2 , ? , ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 14 个. 答案 ___
解析

题型二 分步计数原理的应用 例2 (1)(2016· 全国甲卷改编) 如图,小明从街道的E 处出发,先到F处
答案 解析

与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明

18 到老年公寓可以选择的最短路径条数为____.

从E点到F点的最短路径有6种,从F点到G点的最短路径有3种,所以从 E点到G点的最短路径为6×3=18(种).

(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参 120 种不同的报名方法. 答案 加一项,则共有_____
解析

每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项 目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分 步计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).

引申探究
1.本例(2) 中,若将条件 “每项限报一人,且每人至多参加一项” 改为

“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?
解答

每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3 种不同的报名方法,
根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).

2.本例(2) 中,若将条件 “每项限报一人,且每人至多参加一项 ” 改为
“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名

方法?
解答

每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人 参赛,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).

思维升华
(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步

是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互
依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.

(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与
步确保连续,逐步完成.

跟踪训练 2

(1)(2016· 无锡模拟 ) 用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位
解析

数的个数为_____. 100 答案

可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有5种放法;第

二步:十位数字有5种放法;第三步:个位数字有 4种放法,根据分
步计数原理,三位数的个数为5×5×4=100.

(2)(2017· 徐州质检)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项, 则不同的报名方法的种数为 ____. 45 五名学生争夺四项比赛的冠军 ( 冠军 54 种. 不并列),则获得冠军的可能性有____
答案 解析

五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每
个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项

比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,
共有54种获得冠军的可能性.

题型三 两个计数原理的综合应用 例3 (1)如图,矩形的对角线把矩形分成 A, B , C, D 四部分,现用5
解析

种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色 互异,则共有____ 260 种不同的涂色方法. 答案

(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个 “正 交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点
答案 的平面构成的“正交线面对”的个数是____. 36 解析

第1 类,对于每一条棱,都可以与两个侧面均成 “正交线面对 ”,这
样的“正交线面对 ”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,

都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有
12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).

思维升华
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.

(3)弄清分步、分类的标准是什么.
(4)利用两个计数原理求解.

跟踪训练3

如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部
解析

使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则 96 答案 不同的涂色种数为___.

现场纠错系列11

利用两个基本原理解决计数问题

典例 (1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有________种.

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同
时间里,火车有4次,轮船有3次,问此人的走法可有________种.
错解展示 现场纠错 纠错心得

(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步. (2) 把握完成一件事情的标准,如典例 (1) 没有考虑每封信只能投在一 个信箱中,导致错误.

课时作业

1.(2016· 镇江模拟 ) 甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项 志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排

20 种. 答案 在另外两位前面,则不同的安排方案共有___

解析

可将安排方案分为三类:①甲排在周一,共有 A2 4种排法;
②甲排在周二,共有 A2 3种排法;
2 2 2 ③甲排在周三, 共有 A2 种排法, 故不同的安排方案共有 A + A + A 2 4 3 2=

20(种).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆 成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,则不同的摆法有 ____ 5 种. 答案
解析

记反面为1,正面为2,则正反依次相对有12121212,21212121两种;

有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种,共5种摆法.

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3.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,则不同的安排方案共有 12 种. 答案 ____
解析

第一步, 选派一名教师到甲地, 另一名到乙地, 共有 C1 2=2(种)选派方法;
第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,有 C2 4=6(种)选派方法.

由分步计数原理,不同的选派方案共有2×6=12(种).

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4.(2015· 四川改编) 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中 120 个. 答案 比40 000大的偶数共有_____
解析

由题意知, 首位数字只能是 4,5, 若万位是 5, 则有 3×A3 4=72(个);
若万位是 4,则有 2×A3 4=48(个), 故比 40 000 大的偶数共有 72+48=120(个).

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5.(2016· 盐城模拟)在高校自主招生中,某学校获得5个推荐名额,其中清
华大学2名,北京大学2名,复旦大学1名,并且北京大学和清华大学都要

求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的 24 种. 推荐方法共有___
答案 解析

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6.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同, 每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有___ 12 种.
答案 解析

先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有 A3 3 种不同排法.再排 第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、 三行的字母只有1种排法.因此共有A3 2· 1=12(种)不同的排列方法. 3·

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7.(2016· 泰州模拟)在学校运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决

赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上, 2 880 种. 答案 则安排这8名运动员比赛的方式共有_______
解析

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8.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路 13 种. 不通,今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有_____
答案 解析

四个焊点共有 24种情况,其中使线路通的情况有: 1,4 都通,2 和3 至少有
一个通时线路才通,共3种可能.故不通的情况有24-3=13(种)可能.

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9.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不 17 同对数值的个数为_____. 答案
解析

当所取两个数中含有1时,1只能作真数,对数值为0,当所取两个数不含

有 1 时,可得到A2 5 = 20( 个 ) 对数,但 log23 = log49 , log32 = log94 , log24 =
log39,log42=log93,综上可知,共有20+1-4=17(个)不同的对数值.

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10.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,

3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,?,99.3位回
文数有90个:101,111,121,?,191,202,?,999.则 90 个; 答案 (1)4位回文数有____
解析

4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,中
间两位一样,有 10 种填法,共计 9×10 = 90( 种 ) 填法,即 4 位回文数

有90个.

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9×10n 个. (2)2n+1(n∈N*)位回文数有________
答案 解析

根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理,知

有9×10n种填法.

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11.有一项活动需在3名老师,6名男同学和8名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? 解答

只需一人参加,可按老师,男同学,女同学分三类各自有3,6,8种方法,
总方法数为3+6+8=17.

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(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法?
解答

分两步,先选教师共3种选法,再选学生共6+8=14(种)选法, 由分步计数原理知,总方法数为3×14=42.

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(3)若需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同选法?
解答

教师,男同学,女同学各一人可分三步,每步方法依次为3,6,8种. 由分步计数原理知,总方法数为3×6×8=144(种).

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12.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱 上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.
解答

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*13.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则: (1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?其中偶函数有多少个?
解答

a的取值有5种情况,b的取值6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+ bx+c可以表示5×6×6=180(个)不同的二次函数.若二次函数为偶函数, 则b=0,故有5×6=30(个).

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(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数?
解答

y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的取值均有6
种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72(个)图象开口向上的二

次函数.

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