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江苏省宝应县画川高级中学数学高二下学期纠错训练(理科)7


高二(理科)数学下学期纠错训练 07 班级 姓名 学号

2015.5

成绩

1.已知 z 是复数,若 z ? 2i 为实数( i 为虚数单位) ,且 z ? 4 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若复数 ?z ? mi? 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围
2

2.已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,且 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an ? an ?1an ?1 ? 1 , n ? 2 , n ? N* . (1)求 a3 , a4 的值; (2)求证:对一切正整数 n , 2an an ?1 ? 1 是完全平方数.

3.

1.已知 z 是复数,若 z ? 2i 为实数( i 为虚数单位) ,且 z ? 4 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若复数 ?z ? mi? 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围
2

解: (1)设 z ? x ? yi ? x, y ? R ? .

1分 3分 5分 6分 8分

由 z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i 为实数,得 y ? 2 ? 0 ,即 y ? ?2 . 由 z ? 4 ? ( x ? 4) ? yi 为纯虚数,得 x ? 4 . ∴ z ? 4 ? 2i . (2)∵ ( z ? mi) 2 ? (?m2 ? 4m ? 12) ? 8(m ? 2)i ,
2 ? ?12 ? 4m ? m ? 0, 根据条件,可知 ? ? ?8(m ? 2) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2 ,

12 分

∴实数 m 的取值范围是 ? ?2, 2 ? . 23.(本小题满分 10 分)

14 分

已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,且 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an ? an ?1an ?1 ? 1 , n ? 2 , n ? N* . (1)求 a3 , a4 的值; (2)求证:对一切正整数 n , 2an an ?1 ? 1 是完全平方数. 【知识点】递推关系式;数学归纳法; 【答案解析】 (1) a3 ? 15 , a4 ? 56 (2)略 解析 :解 : (1)由 a2 ? a1a3 ? 1 得, a3 ? 15 , 由 a3 ? a2 a4 ? 1 得, a4 ? 56 . …………………………2 分 ……………………5 分 (2) 2a1a2 ? 1 ? 9 ? (a2 ? a1 ) 2 , 2a2 a3 ? 1 ? 121 ? (a3 ? a2 ) 2 , 2a3 a4 ? 1 ? 1681 ? (a4 ? a3 ) 2 , 猜想: 2an an ?1 ? 1 ? (an ?1 ? an ) 2 .下面用数学归纳法证明. 证明:①当 n ? 1, 2 时,已证;

②假设当 n ? k (k ? 2, k ? N* ) 时, 2ak ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? ak ) 2 成立, 那么,当 n ? k ? 1 时,由 ak ?1 ? ak ak ? 2 ? 1 知, ak ?12 ? 1 ? ak ak ? 2 ,即 ak ? 2 ? 又由 2ak ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? ak ) 2 知, ak ?12 ? 1 ? 4ak ak ?1 ? ak 2 , 所以 ak ? 2 ?

ak ?12 ? 1 , ak

4ak ak ?1 ? ak 2 ? 4ak ?1 ? ak , ak

所以 ak ? 2 2 ? 4ak ?1ak ? 2 ? ak ak ? 2 ? 4ak ?1ak ? 2 ? ak ?12 ? 1 , 所以 (ak ? 2 ? ak ?1 ) 2 ? 2ak ?1ak ? 2 ? 1 , 即当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 综上可得,对一切正整数 n , 2an an ?1 ? 1 是完全平方数.………………………10 分 【思路点拨】 ( 1 ) 把 a1 ? 1 , a2 ? 4 , 代 入 an ? an ?1an ?1 ? 1 即 可 . ( 2 ) 先 猜 想 :

2an an ?1 ? 1 ? (an ?1 ? an ) 2 .再用数学归纳法证明即可.


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