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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案


§2 导数的概念及其几何意义
第二课时 一、教学目标: 1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义; 2、理解曲线在一点的切线的概念; 3、会求简单函数在某点处的切线方程。 二、教学重点:了解导数的几何意义 教学难点:求简单函数在某点出的切线方程 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:导数的概念及求法。 (二) 、探究新课 设函数 y ? f ( x) 在[x0,x0+Δx]的平均变化率为
?y ,如右图 ?x

导数的几何意义(一)

所示,它是过 A(x0, f ( x0 ) )和 B(x0+Δx, f ( x0 ? ?x) )两点 的直线的斜率。这条直线称为曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的一条割线。 如右图所示,设函数 y ? f ( x) 的图像是一条光滑的曲线,从 图像上可以看出:当 Δx 取不同的值时,可以得到不同的割线; 当 Δx 趋于 0 时,点 B 将沿着曲线 y ? f ( x) 趋于点 A,割线 AB 将 绕点 A 转动最后趋于直线 l。直线 l 和曲线 y ? f ( x) 在点 A 处“相 切” ,称直线 l 为曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线。该切线的斜率 就是函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数 f ?( x0 ) 。 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,是曲线 y ? f ( x) 在点(x0, f ( x0 ) )处的切线的 斜率。函数 y ? f ( x) 在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义。 1、导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,

-1-

即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim 在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 2、导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那 么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? , 即: f ?( x) ? y? ? lim
?x ?0 ?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线 ?x

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 3、函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改 变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数 (3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也 是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。 例 1、已知函数 y ? f ( x) ? x 2 , x0=-2。 (1)分别对 Δx=2,1,0.5 求 y ? x 2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并画 出过点(x0, f ( x0 ) )的相应割线; (2)求函数 y ? x 2 在 x0=-2 处的导数,并画出曲线 y ? x 2 在点(-2,4) 处的切线。 解: (1)Δx=2,1,0.5 时,区间[x0,x0+Δx]相应为[-2,0],[-2,-1],[-2,-1.5]。

y ? x 2 在这些区间上的平均变化率分别为

-2-

f (0) ? f (?2) 0 2 ? (?2) 2 ? ? ?2 , 2 2 f (?1) ? f (?2) (?1) 2 ? (?2) 2 ? ? ?3 , 1 1 f (?1.5) ? f (?2) (?1.5) 2 ? (?2) 2 ? ? ?3.5 . 0.5 0.5

其相应割线如右图所示,分别是过点(-2,4)和点(0,0)的直线 l1,过点 (-2,4)和点(-1,1)的直线 l2,过点(-2,4)和点(-1.5,2.25)的直线 l3. (2) y ? x 2 在区间[-2,-2+Δx]上的平均变化率为
(?2 ? ?x) 2 ? (?2) 2 ? 4?x ? (?x) 2 ? ? ?4 ? ?x . ?x ?x

令 Δx 趋于 0, 知函数 y ? x 2 在 x0=-2 处的导数为-4。 曲线 y ? x 2 在点(-2,4)处的切线为 l,如右图所示。 例 2、求函数 y ? f ( x) ? 2x 3 在 x=1 处的切线方程。 解:先求 y ? 2x 3 在 x=1 处的导数:

f (1 ? ?x) ? f (1) 2(1 ? ?x) 3 ? 2 ? 13 ? ?x ?x 2 2 1 ? 3?x ? 3(?x) ? (?x) 3 ? 2 ? ?x ? 6 ? 6?x ? 2(?x) 2

?

?

令 Δx 趋于 0,知函数 y ? 2x 3 在 x=1 处的导数为
f ?(1) ? 6 。

这样,函数 y ? 2x 3 在点(1, f (1) )=(1,2)处的切线斜率为 6.即该切线经过 点(1,2) ,斜率为 6. 因此切线方程为 即 切线如图所示。 (三) 、小结:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,是曲线 y ? f ( x) 在点(x0, f ( x0 ) )处
-3-

y-2=6(x-1). y=6x-4.

的切线的斜率。函数 y ? f ( x) 在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义。 (四) 、练习:课本 P37 练习:1、2. (五) 、作业:课本 P37 习题 2-2 中 A 组 4、5 五、教后反思:

-4-


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