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高考数学复习:题型解法训练之三角解答题的解法


专题三 三角解答题的解法

专题三

三角解答题的解法 试题特点

1. 近三年高考三角试题情况统计 2005年高考各地的16套试卷中,出现三角函数解答题 的有12套. 在这12套三角函数解答试题中,涉及三角函数 求值的试题有7道,其中,关联三角形求值的试题有4道; 以求三角函数的最值或值域为目标的有2道;和向量综合

的有3道;和导数综合的有3道. 2006年高考各地的18套试卷中,有18道三角函数解答 题(江苏没有三角函数解答题,上海有 2道,当中的一题是 三角函数的应用性问题),其中,有4道和向量综合,求最 值的有8道,和三角形结合的有6道.

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三角解答题的解法 试题特点

2007年高考各地的19套试题中,有17道三角题,中 有10道涉及到三角形中的三角问题. 由此不难得知,三角函数解答试题是高考命题中一 个常考的基础性题型,其命题热点是章节内部的三角函数 求值,图象的性质问题以及三角形中的三角问题,命题冷 点是跨章节的学科综合问题.

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三角解答题的解法 试题特点

2. 主要特点 (1)保持稳定. 一是体现在分值上,三角函数部分试题的分 数将继续保持在占全卷总分12%左右;二是体现在试题的 难度上,这几年,三角函数部分的解答题一般都放在解答 题的前三道题,属于中档难度的试题,难易适当,得到了 考生和高校的认可,因此,今后必将保持现有的难易度; 三是体现在试题的解题过程中,即先进行三角恒等变形, 再利用三角函数的图象和性质解题,这样的题目既能全面 地考查三角函数这部分的知识内容,又达到了考查考生演 绎推理的能力的目的.

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三角解答题的解法 试题特点

(2)稳中求活. 一是体现在题目的形式上,将会尽量出一些 考生感到新颖的题目形式;二是体现在知识的综合应用上, 无论何种难度档次的题,都将更加注重与其他知识的综合 应用,特别是中档解答题,应引起考生的足够重视. (3)变中求新. 三角试题在稳中求变,在变中求新,主要体 现在与其它新增内容的有机整合,一是和解三角形知识有 机联系;二是与向量巧妙结合;三是与导数等内容相结合. 突出了在知识的交汇处设计试题,使得试题形式更加活泼, 内容更加新颖,解法更加灵活,有利于考查学生的能力, 因此,在复习中要加强训练.

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三角解答题的解法 应试策略

1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对三角 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低, 函数内容的考查有逐步加强的趋势, 函数内容的考查有逐步加强的趋势,主要表现在对三角函 数的图象与性质的考查上有所加强. 数的图象与性质的考查上有所加强 从近几年考查的内容 主要有以下五类问题: 看,主要有以下五类问题: (1)与三角函数单调性有关的问题; (2)与三角函数图象有关的问题; (3)应用同角变换,诱导公式和两角和与差的三角函数公 式求值,化简和等式证明问题; (4)与周期和奇偶性有关的问题; (5)与向量,导数等内容结合的问题.

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三角解答题的解法 应试策略

2. 重视数学思想方法的复习和运用 重视数学思想方法的复习和运用. 三角函数也是函数,所以,复习时要注意函数思想对 三角函数学习的指导意义,同时注意三角函数自身的 特点,如关于对称问题,要利用y=sinx 的对称轴为 π x=kπ+ ,k∈Z,对称中心为(kπ,0)等基本结论解决 2 问题,同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐 标特征等.

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三角解答题的解法 应试策略

3. 掌握三角变换的基本思路和解题规律 掌握三角变换的基本思路和解题规律. 三角变换的基本解题规律为:观察差异(或角,或函数, 或运算),寻找联系(借助于熟知的公式,方法或技巧),分析 综合(由因导果或执果索因),实现转化. 在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公 式,将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周期问题 中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为一个三角 函数表达式的形式求解.

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三角解答题的解法 应试策略

4. 重视三角函数图象与性质的掌握 由于近几年高考已逐步抛 重视三角函数图象与性质的掌握. 弃对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到三角函 数的图象与性质的考查以及对基础知识和基本技能的考查上 来,因此,在复习中首先要打好基础,要注意三角函数的图 象和性质的系统掌握. 5. 注意对三角形中问题的复习 由于教材的变动,有关三角形中 注意对三角形中问题的复习. 的正,余弦定理,解三角形等内容提到高中来学习,近年来 又加强了数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对 三角的综合考查将向三角形问题伸展,因此,要求掌握三角 的有关基本知识,概念,深刻理解其中的基本数量关系. 6. 三角函数与向量,导数等内容的结合将成为新的命题热点, 三角函数与向量,导数等内容的结合将成为新的命题热点, 在复习中要注意加强训练. 在复习中要注意加强训练

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三角解答题的解法 考题剖析

1. (2007北京西城区模拟题)已知α为第二象限的角, sinα= , β为第三象限的角,tanβ=
3 5

.

4 3

(Ⅰ)求tan(α+β)的值;

(Ⅱ)求cos(2α-β)的值.

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] (Ⅰ)因为α为第二象限的角,sinα= 解析] 所以,cosα= tanα= 又tanβ=
sin α 3 = cos α 4
1 sin 2 α

,

=- 4 ,
5

3 5

.

4 , 3
tan α + tan β 7 = . 1 tan α tan β 24

所以,tan(α+β)=

专题三

三角解答题的解法 考题剖析

(Ⅱ)因为β为第三象限的角,tanβ= 所以,sinβ=-
4 ,cosβ=- 5 3 . 5

4 , 3
7 25

又sin2α=2sinαcosα=-

24 ,cos2α=1-2sin2α= 25

,
3 5

所以,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ= .

[点评] 点评] 本题主要考查已知三角函数值求值,和同角三角函数 值间的关系,以及 二倍角公式,这是一道容易题,属于学 生的拿分题.

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三角解答题的解法 考题剖析

2. (2007湖北武汉模拟题)设向量
1 a =(1,cos2θ), b=(2,1),c=(4sinθ,1), d=( sinθ,1),其中 π 2
4

θ∈(0,

).

(Ⅰ)求ab-cd 的取值范围; (Ⅱ)若函数f(x)=|x-1|,比较f(ab)与f(cd)的大小.

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] 解析] (Ⅰ) ∵ab=2+cos2θ, cd=2sin2θ+1=2-cos2θ ∴ab-cd=2cos2θ,
π ∵0<θ< ,∴0<2θ< 4

π 2

∴0<2cos2θ<2, ∴ab-cd的取值范围是(0,2).

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三角解答题的解法

考题剖析 (Ⅱ)∵f(ab)=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos2θ, f(cd)=|2-cos2θ-1|=|1-cos2θ|=2sin2θ, ∴f(ab)-f(cd)=2(cos2θ-sin2θ)=2cos2θ, ∵0<θ<
π ,∴0<2θ< 4 π , 2

∴2cos2θ>0, ∴f(ab)>f(cd).

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三角解答题的解法 考题剖析

[点评] 点评] 这是一个三角函数与向量问题的综合题,也是三角 函数题的常见题型,在解答这类问题时,要注意去 掉向量的外壳,转化为纯三角处理,解答的最根本 处还是在于运用三角函数的和,差倍, 半公式进行 求值,化简.

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三角解答题的解法 考题剖析

3. (2007安徽省合肥市模拟题)
π 已知函数y=Asin(ωx+φ), x∈R,A>0,ω>0,|φ|< ,若 2 π

该函数图象一个最高点坐标为(
π 中心的坐标是(- ,0). 12

6

,3),与其相邻的对称

(1)求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值时自变 量x的集合.

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] 解析]
π π 1 (1)由题意知A=3, T= -(-12 )= π ,所以T= π,又 4 6 4
π , 2

由 2×

π +φ=2kπ+ 6

k∈Z, φ=2kπ+ ,
π . 6

π k∈Z, 6

因为|φ|<

π ,所以φ= 2

y=3sin(2x+ π ), x∈R 6 (2)由(1)知,函数的最小值为-3; π π π 由2x+ 6 =2kπ- 2, k∈Z得x=kπ- , k∈Z 3 ∴函数取得最小值时自变量x的集合为 π {x|x=kπ- , k∈Z}.
3

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三角解答题的解法 考题剖析

[点评] 点评] 本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的最值,对称性要非常熟悉.

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三角解答题的解法 考题剖析

4. (2007湖师大附中模拟题)在△ABC中,角A,B,C,的对 边分别为a,b,c ,已知bcosC=(2 a-c)cosB. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若a ,b,c成等比数列,试确定△ABC的形状.

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] 解析] (Ⅰ)由已知及正弦定理,有sinBcosC=(2sinA-C)cosB, 即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB. ∴sin(B+C)=2sinAcosB. ∵sin(B+C)=sinA≠0,∴2cosB=1,即cosB= ∴B=60°.
1 , 2

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三角解答题的解法 考题剖析

(Ⅱ) 由题设,b2=ac.据余弦定理, b2=a2+c2-2accosB, ∴ac=a2+c2-2accos60°.即a2+c2-2ac=0. ∴(a-c)2=0,即a=c. 从而b= ac =a=c, 故△ABC为正三角形.

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三角解答题的解法 考题剖析

[点评] 点评] 在2007年的高考题中,三角形中的三角问题特别多, 这一点应引起重视,解决这类问题时,除了三角函数 本身的知识外,还要注意三角形中的一些性质,如三 内角和,正弦定理,余弦定理等.

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三角解答题的解法 考题剖析

π 5. 设A={x|x≠kπ+ ,k∈Z},已知a=(2cos 2

α+β

,sin 2

α β

), 2

b =(cos α + β ,3sin
2

α β
2

),其中a ,β∈A. =2b,求α,β的值;

(1)若α+β=

2π ,且a 3

5 (2)若a b = 2

,求tan a tanβ的值.

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] 解析] (1)∵α+β= ∴a=

2π , 3

π (1,sin(α- )),b=( 3

1 ,3sin(α- 2

π )) 3

π 由a= 2b,得sin(α- )=0, 3

∴α=kπ+

π ,β=-kπ+ 3

π (k ∈Z) 3

专题三 三角解答题的解法 考题剖析 (2)∵ a b=2cos2( α + β
2
2( α β) )+3sin 2

=1+cos(α+β)+3× = ∴
5 +cos(α+β)- 2
5 2 +cos(α+β)-

1 cos(α β ) 2

cos(α-β)
3 cos(α-β)= 2
5 ,2

3 2

即 cos(α+β)=

3 cos(α-β) 2

整理得-5sinαsinβ=cosαcosβ,∵α,β∈A, ∴tanαtanβ=-
1 5.

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三角解答题的解法 考题剖析

6. (2006郑州市质量预测题)已知曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的 一个最高点的坐标为 , 2 ,由此点到 相邻最低点的曲线与x轴交于点 3 π,0 ,
π π , . 2 2

π 2



若φ∈ (1)写出这条曲线的函数表达式; (2)写出函数(1)的单调区间; (3)在右图中画出一个周期内的函数图象.

2

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三角解答题的解法 考题剖析

[解析] 解析] (1)依题意,A= 2 ,
3π π T=4× 2 2 = 4 π ∵T=

2π =4π,ω>0 ,∴ω= |ω |

.

1 2

1 ∴y= 2 sin( x+φ). 2 1 π π 又曲线上的最高点为( ,2 ), ∴sin( +φ)=1. 2 2 2 π π π ∵- <φ< ,∴φ= . 4 2 2 π 1 ∴y= 2 sin( x+ 4 ). 2

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π 1 (2)令2kπ- ≤ x+ 2 2
π ≤2kπ+ 4

三角解答题的解法 考题剖析

π ,k∈Z. 2

∴4kπ-

3π ≤x≤4kπ+ 2

π ,k∈Z. 2

所以函数f(x)的单调递增区间为
3π [4kπ- ,4kπ+ 2 π ] (k∈Z). 2

同理,函数f(x)的单调递减区间为 [4kπ+
π ,4kπ+ 2
5π ] (k∈Z). 2

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三角解答题的解法 考题剖析

π 1 (3)函数y= 2 sin ( x+ )在一个周期内的图象如图 2 4 所示.

[点评] 点评] 本题主要考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质,着重考查 了由性质求函数的解析式,函数的单调性,以及函数图象的画法.

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