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2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷


2004 年全国高中数学联赛河南省预赛试卷

高中一年级
(2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题, 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 选择题( 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、C、D 四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确

结论的代表字母写在题后括 号内,选对一个得 5 分,错选、漏选或多选,一律得零分. 1.定义在 R 上的函数 y = f ( x) 的值域为[m,n],则 y = f ( x ? 1) 的值域为( ) A. [m,n] C. f ( m ? 1), f ( n ? 1) ] [ B. [m-1,n-1] D.无法确定
?

2. 设等差数列{ a n }满足 3a 8 = 5a13 , a1 > 0, S n 为其前 n 项和, S n ( n ∈ N ) 中 且 则 最大的是( A. S 10 ) B. S 11 C. S 20 )组解. C.3 D. S 21

3.方程 log2x=3cosx 共有( A.1 B.2

D.4

4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + a 2 ? 1 x + a ? 2 = 0 的一个根比 1 大,另一个根 比 1 小,则( ) A. ? 1 < a < 1 C. ? 2 < a < 1 B. a < ?1 或 a > 1 D. a < ?2 或 a > 1

(

)

5.已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β) = ? ,则 y 与 x 的函数关 系为( )

3 5

A. y = ?

3 5 3 B. y = ? 5 3 C. y = ? 5 3 D. y = ? 5

4 x 5 4 1? x2 + x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 1? x2 +

3 ( < x < 1) 5

(0 < x < 1) 3 (0 < x < ) 5 (0 < x < 1)

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6.函数 y = sin x 的定义域为 [ a, b ] ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( 2

? ?

1? ?



A. π

B. 2π

C.

4π 3

D.

5π 3

二、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1. f(x)是定义在 R 上的奇函数, 它的最小正周期为 2, f(-1)的值为_______________. 则 2.集 M = {x | x = 2 n ? 2 k , 其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912≤x≤2004 且 x ∈N},则集合 M∩P 中所有元素的和等于________. 3.已知 f(x)=

1 2x + 2

,则 f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…

+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________.
1

4.已知数列{ a n },其中 a1 = 99 99 , a n = ( a n ?1 ) a1 ,则 a n 为整数时最小的正整数n 是________. 5.设函数 f ( x ) = 围为______________. 6.函数 f ( x) = sin x sin x + cos x cos x 的值域是______________. 三、 (本题满分 20 分) 设 a n > 0( n ∈ N ), a1 = 5, 当n≥2 时, a n + a n ?1 = 的通项公式.
?

x+3 x?a

(a ∈ R ) ,若使 f ( x)在(1,+∞) 上为增函数,则 a 的取值范

7 + 6 ,求数列{ a n } a n ? a n?1

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四、 (本题满分 20 分) 已知函数 f ( x ) = 4 sin x sin (
2

π

x + ) + cos 2 x. 4 2 2

(1)设 ω >0 为常数,若 y = f (ωx )在区间[ ? (2)设集合 A = {x | 取值范围.

π 2π
, 3

] 上是增函数,求 ω 的取值范围;

π
6

≤x≤

2π }, B = {x || f ( x) ? m |< 2}, 若 A ? B,求实数 m 的 3

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五、 (本题满分 20 分) 锐角△ ABC 的外心为 O , 线段 OA, BC 的中点分别为 M 、 , ABC = 4∠OMN , N ∠

∠ACB = 6∠OMN .求 ∠OMN .
M O

A

B

N

C

六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x ∈ R ,有

f ( f ( x )) = x 且 f ( f ( x ) + 1) = 1 ? x .
若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,请说明理由.

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2004 年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案

高中一年级
(2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题, 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题、填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的档次给分,不要再增加其它中间档次. 2.如果考生的解答与本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评 分标准划分的评分档次,给予相应的分数. 一、 选择题 本题满分 30 分, ( 每小题 5 分.本题共有六个小题, 每小题后面给出了 A、 B、C、D 四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内, 选对一个得 5 分,错选、漏选或多选,一律的零分. 1.定义在 R 上的函数 y = f ( x) 的值域为[m,n],则 y = f ( x ? 1) 的值域为( ) A. [m,n] C. f ( m ? 1), f ( n ? 1) ] [ B. [m-1,n-1] D.无法确定

解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选 A. 2. 设等差数列{ a n }满足 3a 8 = 5a13 , a1 > 0, S n 为其前 n 项之和, S n ( n ∈ N ) 且 则 中最大的是( A. S 10 ) B. S 11 C. S 20 D. S 21
?

解:设等差数列的公差为 d,由题意知 3( a1 +7d)=5( a1 +12d),即 d=∴ a n = a1 +( n-1)d= a1 须 a n ≥0,即 n≤20.故应选 C.

2 a1 , 39

2 41 2 a1 (n-1)= a1 ( - n),欲使 S n (n ∈ N ? ) 最大,只 39 39 39

3.方程 log2x=3cosx 共有( )组解. A.1 B.2 C.3 D.4 解: 画出函数 y=log2x 和 y=3cosx 的图像, 研究其交点情况可知共有 3 组解. 应选 C. 4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + a 2 ? 1 x + a ? 2 = 0 的一个根比 1 大,另一个根 比 1 小,则( ) A. ? 1 < a < 1 C. ? 2 < a < 1 B. a < ?1 或 a > 1 D. a < ?2 或 a > 1
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(

)

2004 年河南省高一竞赛试卷

解:令 f(x)= x + a ? 1 x + a ? 2 ,其图像开口向上,由题意知 f(1)<0,即
2 2

(

)

12 + a 2 ? 1 × 1 + a ? 2 <0,
整理得 a 2 + a ? 2 < 0 ,解之得 ? 2 < a < 1 ,应选 C. 5.已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β) = ? ,则 y 与 x 的函数关 系为( )

(

)

3 5

A. y = ?

3 5 3 B. y = ? 5 3 C. y = ? 5 3 D. y = ? 5

4 x 5 4 1? x2 + x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 1? x2 +

3 ( < x < 1) 5

(0 < x < 1) 3 (0 < x < ) 5 (0 < x < 1)

解:y = cos β = cos[(α + β ) ? α ] = cos(α + β ) cos α + sin(α + β ) ? sin α 3 4 = ? ? 1? x2 + x 5 5
而 y ∈ (0,1)

3 4 3 ∴ 0 < ? ? 1 ? x 2 + x < 1 , 得 x ∈ ( ,1) .故应选 A. 5 5 5 1? ? 6.函数 y = sin x 的定义域为 [ a, b ] ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( ? 2?
B. 2π
4



A. π C.

4π 3

D.

5π 3
-6 -4 -2

3

2

解:如右图,要使函数 y = sin x 在定 义域 [ a, b ] 上, 值域为 ? ?1, ? , b ? a 的 则 2

1

2

4

6

8

? ?

1?

-1

-2

?

-3

7π 4π 最大值是 ? ( ? )= .故应选 C. 6 6 3

π

-4

-5

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题要求直接写出结果. 1. f(x)是定义在 R 上的奇函数, 它的最小正周期 2, f(-1)的值为_______________. 则
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解: f ( x + 2) = f ( x ) 即 f (1) = f ( ?1) = ? f (1)
n

令 x = ?1

∴ f ( ?1 + 2) = f ( ?1) .

∴ f ( ?1) = 0 .应填 0.
k

2.集 M = {x | x = 2 ? 2 , 其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912≤x≤2004 且 x ∈N},则集合 M∩P 中所有元素的和等于________. 解:∵ 2
10

= 1024 ,211=2048,∴集合 M∩P 中所有元素必为 211-2k(其中 k∈N)的

形式,又 1912≤211-2k≤2004,故 44≤2k≤136,符合条件的 k 只能等于 6 和 7,所以集 合 M∩P 中只有两个元素,即为 211-26=1984 和 211-27=1920,其和为 1984+1920=3904.本 题应填 3904. 3 . 已 知 f(x)=

1 2 + 2
x

, 则 f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+ … +f(-1)+f(0)+f(1)+ …

+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________.
解:利用 f(x)+f(1-x)=

2 ,可得结果为 1002 2 .应填 1002 2 . 2
1

4.已知数列{ a n },其中 a1 = 99 99 , a n = ( a n ?1 ) a1 ,则 a n 为整数时最小的正整数n 是________. 解 : 显 然 对 任 意 的 正 整 数 n, 均 有 a n > 0 , 由 a n = ( a n ?1 )
a1

两边取对数得

lg a n = a1 lg a n?1 ,
故{ lg a n }是以 lg a1 为首项, a1 为公比的等比数列,所以 lg a n = a1 得 a n = a1
a1n ?1
n ?1

lg a1 ,

= (99 )
x+3 x?a

1 99

1

99 99

( n ?1)

,欲使 a n 为整数,必有 n-1=99k,(k 为正整数),故

所求的最小的正整数 n 是 100.应填 100. 5.设函数 f ( x ) = 围为______________. 解: t = 设

(a ∈ R ) ,若使 f ( x)在(1,+∞) 上为增函数,则 a 的取值范

x?a, 则原函数化为 f (t ) =
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t2 +3+ a 3+ a =t+ , 因为 f ( x)在(1,+∞) t t
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上为增函数,所以 f (t ) 在 ( 1 ? a ,+∞ ) 上为增函数.当 3 + a ≤ 0 即 a ≤ ?3 时显然符合; 当 3 + a > 0 时 , 因 为 f (t ) 在 ( 3 + a ,+∞ ) 上 为 增 函 数 , 所 以

3 + a ≤ 1? a ,即

? 3 < a ≤ ?1 ,综上可知所求 a 的取值范围为 (?∞,?1] .应填 (?∞,?1] .
6.函数 f ( x) = sin x sin x + cos x cos x 的值域是______________. 解:由函数 f ( x) = sin x sin x + cos x cos x , 当 x 的终边落在第一象限时, f ( x) = sin 2 x + cos 2 x = 1; 当 x 的终边落在第二象限时, f ( x) = sin 2 x ? cos 2 x = ? cos 2 x ∈ ( ?1,1); 当 x 的终边落在第三象限时, f ( x) = ? sin 2 x ? cos 2 x = ?1; 当 x 的终边落在第四象限时, f ( x) = ? sin 2 x + cos 2 x = cos 2 x ∈ (?1,1); 当 x 的终边落在两个坐标轴上时, f ( x) = ?1或1 ; 综上所述 f ( x) 的值域是 [-1,1] .应填[-1,1]. 三、 (本题满分 20 分) 设 a n > 0( n ∈ N ), a1 = 5, 当n≥2 时, a n + a n ?1 = 的通项公式. 解:∵条件可化为 a n ? a n ?1 = 6a n ? 6a n ?1 + 7 ,配方,得
2 2
?

7 + 6 ,求数列{ a n } a n ? a n?1

(a n ? 3) 2 ? (a n ?1 ? 3) 2 = 7 .---------10 分
?∴ ( a n ? 3) = (a1 ? 3) + 7( n ? 1) = 7 n ? 3,
2 2

?故 a n =

7n ? 3 + 3 . --------------20 分

四、 (本题满分 20 分) 已知函数 f ( x ) = 4 sin x sin (
2

π

x + ) + cos 2 x. 4 2 2

(1)设 ω >0 为常数,若 y = f (ωx )在区间[ ? (2)设集合 A = {x |

π 2π
, 3

] 上是增函数,求 ω 的取值范围;

π
6

≤x≤

2π }, B = {x || f ( x) ? m |< 2}, 若 A ? B,求实数 m 的 3
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2004 年河南省高一竞赛试卷

取值范围.

1 ? cos( + x) 2 解: (1)f ( x) = 4 sin x ? + cos 2 x = 2 sin x(1 + sin x) + 1 ? 2 sin 2 x = 2 sin x + 1. 2
-------------------------5 分

π

Q f (ωx) = 2 sin ωx + 1在[?

]是增函数, 3 2π 3 π 2π π π π ∴ [? , ] ? [? , ]? ≤ ,∴ ω ∈ (0, ] ? ? ? ? ? ? ? 10分 2 3 2ω 2ω 3 2ω 4 2 ,
π

π 2π

(2)由 | f ( x) ? m |< 2 ? ?2 < f ( x) ? m < 2, 即f ( x ) ? 2 < m < f ( x) + 2 2π 时, 不等式f ( x) ? 2 < m < f ( x) + 2恒成立. 6 3 ∴ [ f ( x) ? 2]max < m < [ f ( x) + 2]min ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?15分 ∴ A ? B. ∴ 当 ≤x≤ Q f ( x) min = f ( ) = 2, f ( x) max = f ( ) = 3. ∴ m ∈ (1,4) ? ? ? ? ? 20分 6 2
五、 (本题满分 20 分) 锐角△ ABC 的外心为 O , 线段 OA, BC 的中点分别为 M 、 , ABC = 4∠OMN , N ∠

π

π

∠ACB = 6∠OMN .求 ∠OMN . 解:设 ∠OMN = θ ,则 ∠ABC = 4θ , ∠ACB = 6θ ,
∠BAC = 180° ? (∠ABC + ∠ACB ) = 180° ? 10θ ---5 分
又 ∠NOC =
M O

A

1 ∠BOC = ∠BAC = 180° ? 10θ 2 ∠MOC = ∠AOC = 2∠ABC = 8θ

B

N

C

从而 ∠MON = 8θ + (180 ° ? 10θ ) = 180 ° ? 2θ ----------10 分

∠ONM = 180° ? (∠MON + ∠OMN ) = 180° ? (180° ? 2θ + θ ) = θ = ∠OMN
即 ?OMN 为等腰三角形, ON = OM =

∵ ∠ONC = 90° ,∴ ∠NOC = 60° , 又∵ ∠NOC = 180° ? 10θ ,∴ ∠OMN = θ = 12° ---------------20 分 六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x ∈ R ,有

1 1 OA = OC -------15 分 2 2

f ( f ( x )) = x 且 f ( f ( x ) + 1) = 1 ? x
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若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,说明理由. 解:这样的函数不存在.--------------------------5 分 下面用反证法证明: 若存在 f (x ) 使得(1)(2)均成立.先证 f (x ) 是一一映射. 、 对于任意的 a , b ∈ R ,若 f ( a ) = f (b ) ,由(1)有 a = f ( f ( a )) = f ( f (b)) = b , 即 f (x ) 是一一映射.-------------------10 分 ,则有 f ( f (0)) = 0 --------------将 x = 0 代入(1) (3)

将 x = 1 代入(2) ,得 f ( f (1) + 1) = 0 ----------------------(4) 由(3)(4)得: f ( f (0)) = f ( f (1) + 1) ----------------------------------15 分 、 因为 f (x ) 是一一映射,所以 f (0) = f (1) + 1 ---------------------(5) 同理,分别将 x = 1 与 x = 0 代入(1)(2) 、 ,得 f ( f (1)) = f ( f (0) + 1) 所以

f (1) = f (0) + 1 ------------------------------------------(6)

将(5)与(6)相加得 0=2,矛盾.--------------------------------------20 分

2004 年河南省高一竞赛试卷

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