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3.2一元二次不等式的解法


一元二次不等式及其解法

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一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ?
2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

{x|x≠ ?

b

}

2a

R Φ

Φ

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求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

x ? ?

b 2a

x< x1或x> x2
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题2:解不等式4x2-4x +1>0
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0

另解: 因为△= 16 -16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是

x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }

题3:解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
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小结
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、

ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是:
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△与0的关系,并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.

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不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 1? ? ? 综上所述:a的取值范围是 a | a ? ? 3 ? ? ?

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例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
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不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 综上所述:a的取值范围是 ?

1? ?a | a ? ? ? 3? ?

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二次不等式ax? +bx+c>0的解集是全体实数的 条件是______. a>0时,⊿=b? -4ac<0

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解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.

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不等式 x ? x ? 0的解集为
3

____ .

?x x ? 0?

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已知 ax

2

? 2 x ? c ? 0的解集为

?

1 3
2

? x?

1 2

,

试求 a , c 的值,并解不等式
答案

? cx

? 2 x ? a ? 0。

a ? ? 12 , c ? 2 解集 ?x ? 2 ? x ? 3 ?

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1.

2.

3.

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要求得不等式cx2-bx+a<0的解集,需要做三件事,(1) 确定c的正负情况;(2)求得与不等式相对应的方程cx2bx+a=0的根;(3)比较方程cx2-bx+a=0两根的大 小.而以上三件事的解决,可通过开发题设的内涵来 完成

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解下列不等式 2x-a<bx+3; 分b>2;b<2; b=2三种情况

? 4? ? ? ? 5?

?log2 x ?2 ?1

? 4? ?? ? ? 5?

2 ( 2 ? log

2

x)

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