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导数计算的交汇应用


导数计算的交汇应用
导数的计算是学好导数的基础,也是近年高考考查的一个方面,其中导数计算与其它 知识中的交汇应用是重点.下面从三个方面来说明. 一、导数计算在三角函数中的应用 例 1. 设函数 f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx, 试确定常数 a、 b、 c、 d, 使得 f′(x)=xcosx. 解析:因为 f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx, 所以 f′(x)=[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′ =asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-d-cx)sinx+(ax+b+c)cosx. 又已知 f′(x)=xcosx, 所以(a-d)sinx-cxsinx+axcosx+(b+c)cosx=xcosx 恒成立.

所以

解方程组得

点评:本题是导数计算在三角函数中的逆向应用.逆向应用是各类考试中最受青睐的题 型之一, 值得同学们关注.基本解题思路是将原函数求导与已知导数进行比较, 建立方程组, 从而求得相关参数. 二、导数计算在解析几何中的应用 例 2.已知函数 f(x)= 在 x= 处的切线为 l, 函数 g(x)=kx+ 的图象与 l 平行, 求 f(x)

图象上的点到 g(x)图象上的最短距离. 解析:因为 f(x)= ,所以 f'(x)= ,则切线的斜率 k′=f'( )=1,切点 T( , )。

所以切线方程 l:x-y+ =0. 因为切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行,所以 k=1,g(x)=x+ . f(x)图象上的点到 g(x)图象上的最短距离为切线 l:x-y+ =0 与直线 x-y+ =0 之间的 距离,即 dmin= = . 在 x= 处的切线方程,将图象上的点间

点评:利用导数的几何意义求出函数 f(x)=

的最短距离转化为两平行线间的距离,运用平行线之间的距离公式求解的.体现了导数计算 与解析几何之间的交汇应用. 三、导数计算在数列中的应用

例 3.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列 { }的前 n 项和是 .

解析:y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′?xn=n?xn-1 (1-x)-xn. f′(2)=-n?2n-1-2n=(-n-2)?2n-1. x=2 时,y=-2n. 所以切线方程为 y+2n=(-n-2)?2n-1 (x-2). 与 y 轴交点的纵坐标为 y=(n+1)?2n=an. 则 = =2n,

所以数列{

}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. =(2n-1)?2=2n+1-2.

故前 n 项和为

点评:本题主要考查导数的运算、几何意义以及数列求和公式、点斜式写直线方程,考 查同学们的分析、运算、综合能力.同学们对函数求导时易出现计算错误. 四、导数计算在最值中的应用 例 4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 A.3 B. 的最小值为( C.2 ) D.

解析:由题意得 f′(x)=2ax+b,f′(0)= b>0,且 a>0,b2-4ac≤0,即 ac≥ >0,因 此 c>0, = C. 点评: 本题将导数的计算与基本不等式求最值的知识结合在一起, 体现了知识间的交汇. = +1≥ +1≥ +1=2,当且仅当 b=2a=2c 时 才取得最小值 2.故选


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