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陕西省高中数学 第三章 推理与证明 运用归纳推理解决数学问题拓展资料素材 北师大版选修1-2


运用归纳推理 解决数学问题 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,历史上许多数学结论的发现,往往都 是通过归纳推理获得的. 归纳推理对我们的数学学习也有着重要的指向作用, 下面例谈如何 运用归纳推理来解决一些数学问题. 例1 设在 R 上定义的函数 f ( x ) ,对 ?x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,且 f (1) ? lg 3 ? lg 2 , f (2) ? lg3 ? lg5 ,试归纳出 f (2007) 的值. …,f (8) 的值,分析其特征,然后归 分析:我们先由已知条件求出 f (1),f (2),f (3), 纳猜想出 f (2007) 的值. 解: f (1) ? lg 3 ? lg 2 , f (2) ? lg3 ? lg5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? lg 5 ? lg 2 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? lg 2 ? lg 3 ? ? f (1) , f (5) ? f (4) ? f (3) ? ? lg3 ? lg5 ? ? f (2) , f (6) ? f (5) ? f (4) ? ? lg5 ? lg 2 ? ? f (3) , f (7) ? f (6) ? f (5) ? lg3 ? lg 2 ? f (1) , f (8) ? f (7) ? f (6) ? lg3 ? lg5 ? f (2) . 由此观察可发现,函数 f ( x ) 可能是一个以 6 为最小正周期的周期函数. 故猜想 f (2007) ? f (334 ? 6 ? 3) ? f (3) ? lg5 ? lg 2 ? lg10 ? 1 . 点评:归纳推理主要是通过观察、分析某类事物的部分对象,归纳其特征,然后猜想该 类事物都具有这些特征,它的关键在于观察过程中如何发现规律.因此,为了更好地进行归 纳推理,除要求同学们具备敏锐的观察力外,还要具备一定的数学知识,才能在数学的天空 中展开丰富的想象.当然,由归纳推理得到的结论是否正确还有待运用演绎推理来证明,但 归纳推理可以为我们的研究提供一种方向,避免研究时的盲目性. t s 例 2 设 ?an ? 是集合 2 ? 2 | 0 ≤ s ≤ t,且s,t ? Z 中所有 ? ? 的数从小到大排列的数列,且 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 6 , a4 ? 9 , a5 ? 10 , a6 ? 12 ,…. 将数列 ?an ? 各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表: (1)写出这个三角形数表中的第 4 行、第 5 行各数; (2)求出 a100 . 分析:对于(1) ,只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示, 并观察指数规律,据此归纳、抽象出第 4、第 5 两行数的指数规律,即可写出第 4 行、第 5 行各数. 对于 (2) , 关键是判断出 a100 是这个三角形数表中第几行第几个数, 进而便可用 (1) 所得的指数规律求出 a100 . 1 0 2 0 解: (1)将前三行各数写成 2 ? 2 的形式:第 1 行:3 ? 2 ? 2 ;第 2 行:5 ? 2 ? 2 , t s 6 ? 22 ? 21 ;第 3 行: 9 ? 23 ? 20 , 10 ? 23 ? 21 , 12 ? 23 ? 22 ;由此归纳猜想:第 4 行: 24 ? 20 ? 17 , 24 ? 21 ? 18 , 24 ? 22 ? 2

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