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一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用


杭州新普发进修学校 2012 春季周六下午数学讲义(2012.3.3)

第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用
一、 内容提要
1.一元二次方程的根的判别式: 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b -4ac 当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根, 当△<0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系:
2 (1)如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1,x2,那么 x1 ? x 2 ? ? b , x1 x 2 ? c 2 2

a

a

(2)如果方程 x +px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=-P, x1x2=q x1x2=q

2

(3)以 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x1+x2)x+x1x2=0. x -(x1+x2)x+x1x2=0.
2

2

二、 热身练习
1.已知 a、b、c 为△ABC 的三边,且关于 x 的一元二次方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0 有两 个相等的实根,则这个三角形是( A. 等边三角形 B. 直角三角形
2

) C 等腰三角形 D. 不等边三角形 )

2.关于 x 的一元二次方程 (2a ?1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的两个根相等,那么 a 等于( A. ?1 或 ?5 B. ?1 或 5 C. 1 或 ?5 D. 1 或 5 , m 的值是

2 3.已知方程 x ? 3x ? m ? 0 的一个根是 1,则它的另一个根是
2



4.方程 x -2x-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则(x1-1) 2-1)=_________。 (x 5. 已知α 、 是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根, β 则代数式 (α -3) -3) (β = 6.已知一元二次方程 x ?
2



?

3 ? 1 x ? 3 ? 1 ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,则

?

1 1 ? ? ________. x1 x2

7.已知一个直角三角形的三边为 a 、 b 、 c ,∠B=90°,判断关于 x 的方程
a( x 2 ? 1) ? 2cx ? b( x 2 ? 1) ? 0 的根的情况。

1

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8.已知 x1 , x2 是方程 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,求: (1) (3) ( x1 ? 1)(x2 ? 1) 的值。

1 1 (2) ( x1 ? x2 )2 的值. ? 的值; x1 x2

三、例题分析
【 例 1 】 在 等 腰 △ ABC 中 , 三 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 其 中 a ? 5 , 若 关 于 x 的 方 程

x2 ? ? b ?2? x ?6 ? b ?0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.

2 【例 2】 x1 、 x2 是方程 2 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个根,不解方程,求下列代数式的值:

(1) x1 ? x2
2

2

(2) x1 ? x2

★(3) x1 ? 3x2 ? 3x2
2 2

【例 3】已知关于 x 的方程 x ? 2(m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 有两个实数根,并且 这两个根的平
2 2

方和比这两个根的积大 16,求 m 的值。

2

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【例 4】 已知 x1 、 2 是关于 x 的一元二次方程 4x 2 ? 4(m ? 1) x ? m 2 ? 0 的两个非零实数根, x 问: x1 与 x2 能否同号?若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

四、 思维提升 1.已知方程 x 2 ? mx ? 45 ? 0 的两实根差的平方为 144,则 m = 。 2 2 2.已知 x1 、 x2 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 4 x1 ? 12x2 ? 11的值为 。 2 2 2 3.设 x1 , x2 是一元二次方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根,则 x1 ? 3x1 x2 ? x2 的值
为______________. 4.关于 x 的方程 kx2+(k+2)x+ (1)求 k 的取值范围; 不存在,说明理由.

k =0 有两个不相等的实数根. 4
若存在,求出 k 的值;若

(2)是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?

5.已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为 x1,x2. (1)求 m 的取值范围; (2)设 y = x1 + x2,当 m 取何值时,y 可取得最小值,并求出最小值.

★★6.关于 x 的一元二次方程 x ? (2k ? 3) x ? k ? 0 有两个不相等的实数根 ?、? .
2 2

(1)求 k 的取值范围;
2 (2)若 ? ? ? ? ?? ? 6, (? ? ? ) ? 3?? ? 5 的值. 求

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五、拓展训练
2 2 1. 若 x1 ,x2 是方程 x ? 2 x ? 4 ? 0 的两个不相等的实数根, 求代数式 2x1 ? 2x1 ? x2 ? 3
2

的值是多少?

2.若 t 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根, 则判别式 ? ? b 2 ? 4 ac 和完全平式

M ? (2at ? b)2 的关系

选做题 ★★3.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点 P 从点 D 出发,沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 出发,在线 段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动,点 P,Q 分别从点 D,C 同时出发,当点 Q 运 动到点 B 时,点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t(秒) 。 (1)设△BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式; (2)当 t 为何值时,以 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形? A P D

B

Q C

4


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