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2014年浙江省数学竞赛模拟卷十


2014 年浙江省数学竞赛模拟卷十
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1、 i 为虚数单位,设复数 z 满足|z|=1,则

z2 ? 2z ? 2 的最大值为 z ?1? i
(C) 2 +1





(A) 2 -1

(B)2-

2

(D) 2 +2

2、已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,△ABC 三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 边所在的直线方程为 4x+y=20,则抛物线方程为( ) (A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x 3、若关于 x 的方程

x ? kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为 x?4
(B) ? ,1?





(A) (0,1)

?1 ? ?4 ?

(C) ? ,?? ?

?1 ?4

? ?

(D) ?1,???

4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,F 是棱 A1B1 上的点,且 3A1F=FB1, 则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为 ( ) (A)

15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5
半球

5、一半径为 1 的半球内切于顶角为 等于 (A)

? 的圆锥,半球的底面在圆锥底面内,则 V 2


:V

圆锥



2 2

(B)2

(C) 2
2

(D)

1 2

2 3 6、若 1 ? x ? x ? x

?

? ?1 ? x ? x
5

? x3

?

5

? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a30 x 30 ,则 a15 的值为
(D)2 (C)-8 ( (D)不能确定 )

(A)0 (A)-2

(B)1 (B)-4

(C)-1

7、 已知函数 f ?x ? 满足, 对任意的 a, b ? R , 都有 f ?

? a ? 2b ? f ?a ? ? 2 f ?b ? , 且 f ?1? ? 1 , ?? 3 ? 3 ?
( )

f ?4? ? 7 ,则 f ?2014? ?
(A)4027 8、若 ? (B)4028 (C)4029
2 ? ?x ? 2 y ? 5 3 2 2 3 ,且 x ? y ,则 x ? 2 x y ? y ? 2 ? ? y ? 2x ? 5

(D)4030 ( (D)以上都不对 )

(A)-10

(B)-12

(C)-14

9 、设函数 f ?x ? 在 R 上存在导函数 f ?? x ? ,对任意的 x ? R 有 f ?x? ? f ?? x? ? x2 ,且在

?0,??? 上,有 f ??x ? ? x ,若 f ?2 ? a? ? f ?a? ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围是(
(A) a ? 1 (B) a ? 2 (C) a ? 1 (D) a ? 2 10、已知函数 f ?x? ? x 1 ? a x ,且 f ?x ? a ? ? f ?x ? 的解集 A 满足 ??



?

?

? 1 1? , ? A ,则实数 ? 2 2? ?
( )

a 的取值范围是
(A) ?

?1? 5 ? ? ? 2 ,0 ? ? ?

(B) ?

?1? 3 ? ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 2 ? ?

(C) ?

?1? 5 ? ? 1? 3 ? ? ? ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? ? ? ? ?

(D) ? ? ?,

二、填空题(每小题 7 分,共 49 分)
3 2 11、不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为________。

12、已知 A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},A∩B=Φ ,且|A| ? A,|B| ? B,则不同的(A, B)有_____个。 13、已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , a ? b ? a ? 2b ? 0 ,则 b 的取值范围是_____。 14、已知 x, y, z ? [0,1] ,则
2

?

??

?

x? y ?

y?z ?

z ? x 的最大值为_____。

15、 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点, 则|AF|+9|BF|的最小值为_____。 16、在△ABC 中,∠A=60°,∠C=75°,AB=10,D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上,则 △DEF 周长的最小值为_____。 17、若 k1x ? sin x ? k2 x 对任意的 x ? ?0,

? ?? 都成立,则 k2 ? k1 的最小值为_____。 ? 2? ?

三、解答题(每小题 17 分,共 51 分)
18、在△ABC 中,AB=2AC,AD 是角 A 的平分线,且 AD=kAC。 (1)求 k 的取值范围; (2)若△ABC 的面积为 1,问 k 为何值时,BC 最短?

18*、 (1)求值: cos

2? 4? 2n? ? cos ? ? ? cos ; 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(2)比较大小:

2 1 cos(x ? y ) ? sin x cos y 与 1; 2 2
2 2 2

(3)锐角 A、B、C 满足 sin A ? sin B ? sin C ? 1 ,求 A+B+C 的最大值。

19、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 1 ?

1 n ? ak ,求 an 。 n k ?1

20、已知方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 有三个实数根,且满足 ? 2 ? a ? b ? c ? 0 。
3 2

求证:至少有一个实根在[0,2]内。

20*、已知 a 、 b 、 c 、 d 为非零实数, f ? x ? ? 对于任意实数 x ? ?

ax ? b ,且 f ?19? ? 19 , f ?97? ? 97 ,若 cx ? d

d ,均有 f ? f ?x ?? ? x ,试求出 f ?x ? 的值域以外的唯一数。 c


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