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天体运动2-全国中学生物理竞赛专题模拟练习试卷及参考答案



天体运动(二) 题1 根据现代大爆炸宇宙学说,整个宇宙是膨胀的。在某个特定的时刻 t,宇宙中相距为 r 的两点 的相对退行速度为 v ? Hr 。 这就是著名的哈勃定律, 其中 H 仅为时间 t 的函数, 在一段不太长的时间内, H 可视为恒量。 (1)宇宙的膨胀会由于引力作用而不断减速,随着不同的宇宙平均密度,宇宙可能是开放的(好 无限膨胀下去) ,也可能是是闭合的(即会在某一时刻开始收缩) ,试求出这两种情况下,宇宙平均密度 的分界点 ?C (用 H 与其本物理常量表示) 。 (2)设目前宇宙的哈勃常量为 H 0 ,平均密度 ?0 ? ?C 。试计算宇宙从大爆炸到开始收缩的时间 (用 H 0 、 ?0 的式子表示) 。 题2 一艘火箭自地表发射,如图 1 所示,发射方向与径向夹角为 ? 0 ,忽略火箭的加速过程。火箭 在发射后作椭圆轨道运动。忽略地球自转和大气阻力,已知此椭圆轨道的长轴是地球半径 R 的 n 倍 (1 ? n ? 2 ) ,地表重力加速度为 g,试求火箭在空中飞行时间。 图1 图2 题3 空间中有四个质点分处于一个正四面体的四个顶点上,正四面体边长为 a,四个质点质量分别 为 m1 、 m2 、 m3 、 m4 , t ? 0 时四个质点相对静止,此后,受万有引力作用而开始运动(仅受万有引力 作用) 。如图 2 所示。 (1)试证明这四个质点在运动过程中总处于正四面体的四个顶点上。 (2)试求出这四个质点从运动到相碰的时间。 题4 行星、 彗星或其它天体在太阳引力作用下的轨迹为二次曲线, 现假设太阳质量远大于所考虑的 天体质量。定义隆格-楞次矢量 e 如下: e? r L? p ? r GM S m 2 1 其中, r 、 L 、 p 分别为天体在某处的矢径、角动量和动量, M S 、 m 分别是太阳和天体的质量。 ( 1 )冥王星在近日点和远日点处距太阳分别为 4.446 ? 1012 m 、 7.382 ? 1012 m 。万有引力常量 ?1 1 G ? 6.674? 10 N ? m2 /kg2,太阳质量 M S ? 1.989 ? 1030 kg ,试求出冥王星的近日点、远日点的 e (给出 大小和方向) ; (2)指出 e 的意义并证明之; (3)试证明在行星的运动过程中, e 为守恒量。 题5 对于一个由外界压力 p外 所限制的稳定气体球,由位力定理可得: 2U ? W ? 4? r 3 p外 其中,r 为气体球半径,U 为气体球分子的平动动能,W 为自引力势能。上式可用于研究恒星的演化。 3 3GM 2 对于一团均匀的气体球, 设其质量为 M, 内含分子数为 N, 则 U 和 W 可表示为 U ? NkT 、 。 W ?? 2 5r (1)我们考察由星云坍缩成原恒星的过程。由于辐射作用,可以认为星云在坍缩过程中保持恒温 T。试证明,对于给定质量 M 的球状星云块,维持其稳定的 p外 有一极大值,并求此极大值以及与之对 应的气体球的体积(以 M、T、 ? 的式子表示, ? 为星云物质的平均分子质量) ; (2)试根据(1)估计宇宙中物质的总质量,要求精确到数量级。以下给出一些参考数据:宇宙半 径 R0 ? 200 亿光年,哈勃常量 H 0 ? 50km / s ? Mpc ( 1 pc 是一个距离,在距离地球 1 pc 的距离处垂直于地 球轨道平面看日地连心线的视角为 1?? ,又称“秒差距” ) 。 题6 一题质量为 m 的行星绕中心质量为 M 的恒星作椭圆运动( m ?? M ) ,过椭圆

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