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含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例1

解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

/>
分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? a ? 0 ?x? 当 时, 解集为 ? x | ? 2a 2a ? ? ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 2 2

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

x1 ? x 2 ,
∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ?

? ? ? ?

2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

2 2 例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故
2

只需比较两根 2 a 与 3a 的大小. 解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 当a x1 ? 2a, x2 ? 3a , 解集为 x | x ? 2a或x ? 3a

0 时, 即 2a

3a , 解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?; 当 a ? 0 时, 即 2a

3a ,

?

?

含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知 识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题 的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生 的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题 的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有
1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 . ?? ? 0

2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?
2

例 1:若不等式 (m ? 1) x ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m,所以 要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?
2

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0
2

,所以, m ? [1,9) 。

例 2.已知函数 y ? lg[ x ? (a ? 1) x ? a ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
2 2 解 : 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 对 x ? R 恒 成 立 , 即 有

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3 1 所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:

1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max 例 3、若 x ?? ?2,2? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

解:设 f ? x ? ? x2 ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非负。 (1) 当 ?

a 7 ? ?2 即: a ? 4 时, f ? x ?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所以 a 不存在; 2 3 a a2 ? a? ? 2 即: ?4 ? a ? 4 时, f ? x ?mi n ? f ? ? ? ? 3 ? a ? ? 0 ??6 ? a ? 2 又 2 4 ? 2?

(2) 当 ?2 ?

?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a (3) 当 ? ? 2 即:a ? ?4 时, f ? x ?min ? f ? 2? ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又 a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 2 综上所得: ?7 ? a ? 2
例 4.函数 f ( x) ? 取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, 即对 x ? [1,??) , f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的 x

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x
2

考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得
2 而抛物线 g ( x) ? x ? 2 x ? a 在 x ? [1,??) 的最小值 g min ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ?3

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f ( x) 最小值。 x B 2 ? 例 5:在 ? ABC 中,已知 f ( B) ? 4 sin B sin ( ? ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成立,求实 4 2
注:本题还可将 f ( x) 变形为 f ( x) ? x ? 数 m 的范围。 解析:由

f ( B) ? 4 sin B sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] , f ( B) ? (1,3] , 2

?m ? f ( B) ? 2 ?| f ( B) ? m |? 2 恒成立,? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? 恒成立,? m ? (1,3] ?m ? f ( B) ? 2
例 6:求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。

解析:由于函 a ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?

? 3? ), x ? ? ? [? , ] ,显然函数有最大值 2 , 4 4 4 4

?a ? 2 。
三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端, 从而问题转化为求主元函数 的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地 有: 1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 。
x 2 x 例 7、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

?

?

解:令 2 ? t ,
x

x ? ? ??,1? ?t ? ? 0 , 2 ? 所以原不等式可化为: a 2 ? a ?

t ?1 , t2

要使上式在 t ? ? 0, 2? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即可。 t2

f ?t ? ?

t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ?? ? ? ? t2 ?t ? t ?t 2? 4
3 4 ? a2 ? a ? 3 4 ??

2

2

1 ?1 ? ? ? , ?? ? t ?2 ?
1 3 ?a? 2 2

? f ? t ?min ? f ? 2 ? ?

例 8、 已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 解:根据题意得: x ?
2

? ?

a ? 若对任意 x ??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 , 试确定 a 的取值范围。 ? 2?, x ?

a ? 2 ? 1 在 x ??2, ??? 上恒成立, x

即: a ? ? x ? 3x 在 x ??2, ??? 上恒成立,

3? 9 ? 设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2

所以 a ? 2

例 9.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解: 将问题转化为 a ?

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

令 g ( x) ?

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x

由 g ( x) ?

4x ? x 2 ? x

4 ? 1 可知 g ( x) 在 (0,4] 上为减函数,故 g ( x) min ? g (4) ? 0 x

∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考, 往往会使问题降次、简化。 例 10.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为一次不 等式 ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。
2 2 解:令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ,则原问题转化为 f (a ) ? 0 恒成立( a ? [?1,1] ) 。

当 x ? 2 时,可得 f (a ) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注 : 一 般 地 , 一 次 函 数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上 恒 有 f ( x) ? 0 的 充 要 条 件 为

? f (? ) ? 0 。 ? ? f (? ) ? 0
2 例 11、若不等式 2 x ? 1 ? m x ? 1 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。 2 解:设 f ? m ? ? m x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ,对满足 m ? 2 的 m , f ? m? ? 0 恒成立,

?

?

?

?

2 ? ? ? f ? ?2 ? ? 0 ??2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 ?? ?? 2 ? f ? 2? ? 0 ? ? ?2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0

解得:

?1 ? 7 1? 3 ?x? 2 2

五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明了数形结合思想的妙 处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。

例 12.设 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x , g ( x) ?

4 x ?1? a , 3

y

若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 分析:在同一直角坐标系中作出 f ( x) 及 g ( x) 的图象 如图所示, f ( x) 的图象是半圆 -4 -4

-2 O x

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) g ( x) 的图象是
平行的直线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。 要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则圆心 (?2,0) 到直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的距离

满足

d?

? 8 ? 3 ? 3a 5

?2

解得 a ? ?5或a ?

5 (舍去) 3

由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等 价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变” ,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
2 x 例 13:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x ? a ,当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ? 1 恒成立 ,求实数 a 的取值

2

范围。
2 x 2 x 解析:由 f ( x) ? x ? a ? 1 ,得x ? 1 ? a ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象,

2

2

1 1 ? a及(?1) 2 ? ? a ?1 得到 a 分别等于 2 和 2 2 1 x 1 x 2 x 0.5,并作出函数 y ? 2 及y ? ( ) 的图象,所以,要想使函数 x ? ? a 在区间 x ? (?1,1) 中 2 2 1 2 x 恒成立,只须 y ? 2 在区间 x ? (?1,1) 对应的图象在 y ? x ? 在区间 x ? (?1,1) 对应图象的上 2
如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交, 则由 1 ?
2

时, 只有a ? 2 才 能 保 证 , 而 0 ? a ? 1时,只有a ? 面 即 可 。 当 a ?1
1 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2
例 14、若不等式 3x2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 成立,求实数 a 的取值范围。

1 才可以,所以 2

? ?

1? 3?

内 恒

解:由题意知: 3x2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立, 在同一坐标系内,分别作出函数 y ? 3x2 和 y ? log a x 观察两函数图象,当 x ? ? 0, ? 时,若 a ? 1 函数 y ? log a x 的图象显然在函数 y ? 3x2 图象的下方, 所以不成立; 当 0 ? a ? 1 时,由图可知, y ? log a x 的图象必须过点 ? , ? 或在这个点的上方,则, log a

? ?

1? 3?

? ?

1? 3?

?1 1? ?3 3?

1 1 ? 3 3

?a ?

1 27

?1 ? a ? 1 27

1 27

综上得: 1 ? a ?

2 例 15.设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

解:设 F ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立
2

当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

y x

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。

-1 O

x


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