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高二数学试题


2015 年 11 月高二期中考试数学参考答案

一选择题: 1—5

BC ADC

6—10

D ADC B

二、填空题: 11.
13

12. ?3 13.

28 27

14. 20

15. ①③④

三、 解答题: 16. 解:(1)因为 a ? 3 , b ? 2 6 , B ? 2 A . 所以在 ?ABC 中,由正弦定理,可得

3 2 6 ? . sin A sin 2 A

所以

2sin A cos A 2 6 ? . sin A 3
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 3 6 , 3

故 cos A ?

(2)由(1)可知 cos A ?

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 .又因 B ? 2 A , 3
1 . 3

所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ?
2

所以 sin B ? 1 ? cos B ?
2

2 2 . 3 5 3 . 9

在 ?ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由正弦定理,可得

a sin C a sin C c? ? ? sin A sin A

3?

5 3 9 ? 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3 3

17.解:⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意可得 a7 ? a3 ? 4d ? ?4 ? (?12) ? 8 ,

所以 d ? 2 . 故 an ? a3 ? (n ? 3)d ? ?12 ? 2(n ? 3) ? 2n ?18 , 即 an ? 2n ? 18 . ⑵ 因为 an ? 2n ?18 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

n(a1 ? an ) n[?16 ? (2n ? 18)] ? ? n 2 ? 17n . 2 2 17 17 2 2 2 由于 Sn ? n ? 17n ? (n ? ) ? ( ) , 2 2
所以 Sn ? 由于 n ? N , 所以,当 n ? 8 或 n ? 9 时, Sn 取得最小值为 S8 ? S9 ? ?72 . 故数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?17n , Sn 的最小值为 ?72 .
2 18. 解:⑴ 若 k ? ?3 ,则有 ?3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,

?

. . . . . . . . . . . . .12 分

即 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)(3x ? 1) ? 0 ,
2

解之得 x ? ? ,或 x ? 1 , 故原不等式的解集为 (??, ? ) U (1, ??) .

1 3

1 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

⑵ 若 k ? 0 ,则原不等式可化为 k ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,由于 k ? 0 , 所以 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 .

1 k

1 k

1 1 ? 1 ,不等式 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 无解; k k 1 1 1 ② 当 0 ? k ? 1 时, ? 1 ,由 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,可得 1 ? x ? ; k k k 1 1 1 ③ 当 k ? 1 时, ? 1 ,由 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,可得 ? x ? 1 . k k k
① 当 k ? 1 时, 综上所述,可知: 当 0 ? k ? 1 时,原不等式的解集为 (1, ) ;当 k ? 1 时,原不等式的解集为 ? ;当 k ? 1 时,原不等式的解集为 ( ,1) . 19. 解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理及

1 k

1 k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

cos B b ?? ,可得 cos C 2a ? c

cos B sin B ?? , cos C 2sin A ? sin C
即 cos B(2sin A ? sin C ) ? ? sin B cos C , 整理,可得 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C

?2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,
由于 sin A ? 0 所以 cos B ? ?

因为 0 ? B ? ? , 所以 B ?

1 , 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

2? . 3

(2)由 a ? 2 , B ? 从而 c ? 2 ,

2? 1 , S ? ac sin B ? 3 ,可得 ac ? 4 , 3 2
2 2 2

由余弦定理,可得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 12 , 所以 b ? 2 3 , 所以 a ? b ? c ? 4 ? 2 3 , 故 ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 4 ? 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

20. 解:⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,则 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d ,
2 由 a1 , a2 , a4 成等比数列,可得 a2 ? a1a4 ,

即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) , 整理,可得 a1 ? d . 由 S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 90 ,可得 a1 ? d ? 2 , 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . ⑵ 由于 an ? 2n , 所以 bn ? 从而 Tn ?

1 1 1 1 ? ( ? ), 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] ? ? ? , 4 1 2 2 3 3 4 n n ?1 4 n ? 1 4n ? 4

n . 4n ? 4 21.解: (1)由题意,可知 Sn ? 2an ? a1 ,
即数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? 从而 Sn?1 ? 2an?1 ? a1 (n ? 2) , 上述两式相减,可得 Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , 即 an ? 2an ? 2an?1 , 所以 an ? 2an?1 (n ? 2) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分

从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2 ? 4a1 , a4 ? 2a3 ? 8a1 , 又因为且 a1 , a3 ? 1, a4 成等差数列, 所以 a1 ? a4 ? 2(a3 ? 1) ,即 a1 ? 8a1 ? 2(4a1 ? 1) , 解之得 a1 ? 2 , 又 an ? 2an?1 (n ? 2) , 所以数列 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? 2 (2)由(1) ,可知 cn ? 所以 Tn ?
n ?1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? 2n . .

n n ? n, an 2


1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 以上等式两边同乘以 ,可得 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2
由① ? ②,可得得



1 1 [1 ? ( ) n ] n 1 n 1 1 1 1 1 n 2 ? ? 1 ? ( ) n ? n?1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n?1 ? 2 n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 n n?2 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 2 ? n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 2


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