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湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


衡阳县四中 2014-2015 年下期高二期末考试数学(文)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 1.下列函数是奇函数的是( A. 2.复数 ). C. f ( x) ? 2 x ? 2? x D. f ( x) ? x3 ?1

f ( x) ? x x

B. f ( x) ? lg x

>1 的虚部是 ( ) 1? i 1 1 1 1 A. ? B. C. i D. ? i 2 2 2 2 2 3. 已知命题 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .则下列结论正确的是
( ) A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 (?p) ? (?q) 是真命题 B. 命题 p ? q 是真命题 D.命题 (?p) ? (?q) 是真命题

4.设函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3, x ?[?5,5] .若从区间 [?5,5] 内随机选取一个实数 x0 ,则所选取 的实数 x0 满足 f ( x0 ) ? 0 的概率为 A. 0.3
2

( C. 0.5 D. 0.6



B. 0.4
2

5.已知 P 是圆 x ? y ? 1 上的动点,则 P 点到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离的最小值为 ( A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 )

6. 在平面直角坐标系 xoy 中,若直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,则直 ? y ? 2 ? 3t
D. ?
3 39 5 54

线 l 的斜率( 2 A. 3

) B. ?
2 3
4 49

C.
2

3 2

3 2

7. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 26

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4 ,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A.63.6 万元 B.65.5 万元
2

( C.67.7 万元
2

)

D.72.0 万元

8. 把函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向左平移 m(m ? 0) 个单位, 所得函数 g ( x) 的图像关于直线 x ?

?
8

对称,则 m 的最小值为 (



A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

3? 4

9. 若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 A. n ? 5 ? C. n ? 7 ? B. n ? 6 ? D. n ? 8 ?





10. 设 t 是函数 f ( x) ? e x ? ln x 的零点,若 x0 ? t ,则 f ( x0 ) 的值满足 ( A. f ( x0 ) ? 0 11. B. f ( x0 ) ? 0 C. f ( x0 ) ? 0 D. f ( x0 ) 的符号不确定



若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)

A.

1 3

B.

2 3

C.1

D.2
a b 2 2

12.函数的定义域为 D, 若满足: ① f ( x) 在 D 内是单调函数; ②存在 [a, b] 上的值域为 [ , ] , 那么就称函数 y=f (x) 为“成功函数”, 若函数 f ( x) ? logc (c x ? t )(c ? 0, c ? 1) 是“成功函数”, 则 t 的取值范围为( A. (0, ?? ) ) B. (??, 0) C. ( , ??)

1 4

D. (0, )

1 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (1, x) , b ? ( x ? 1,2) ,若 a // b ,则 x ? __________________.

?x ? 2 ? 14. 已知实数对 ( x, y ) 满足 ? y ? 1 则 2 x ? y 的最小值是____________. ?x ? y ? 0 ?
15.小王在做一道数学题目时发现:若复数 z1 ? cos ?1 ? i sin?1 , z2 ? cos ?2 ? i sin?2 ,

z3 ? cos?3 ? i sin?3 ( 其 中 ?1 , ?2 , ? ? R), 则 z1 ? z2 ? cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 +?2 ) , 3

z2 ? z3 ? cos(?2 ? ?3 ) ? i sin(?2 +?3 )
z1· z2· z3= .

, 根 据 上 面 的 结 论 , 可 以 提 出 猜 想 :

16. 已知 a ? b ? 0 , e1 , e2 分别是圆锥曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率,设 和 a 2 b2 a 2 b2

m ? ln e1 ? ln e2 ,则 m 的取值范围是______________.
二、解答题(第 17 题 10 分,其余均为 12 分,70 分) 17.本题满分 10 分)某电视台举办青年歌手大奖赛,有十名评委打分,已知甲、乙两名选手演 唱后的得分如茎叶图所示: 甲 6 8 7 7 5 4 4 2 9 3 9 8 7 1 0 5 1 3 6 6 8 8 9 乙

(1)从统计的角度,你认为甲与乙比较,演唱水平怎样?

(2)现场有三名点评嘉宾 A、B、C,每位选手可以从中选两位进行指导,若选手选每位点评嘉 宾的可能性相等,求甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰有一人重复的概率.

18.(本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,满足:

c ? cos B sin C ?

? 3a ? c sin B?cosC ? 0 .

(Ⅰ) 求 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3 , 求 a ? b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值.

19.( 本 题 满 分 10 分 ) 如 图 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABC D 为 平 行 四 边 形 ,
?DAB ? 60? , AB ? 2 AD ? 2 PD ? 4 , PD ? 底面ABCD .

(1)证明: PA ? BD ; (2) 求三棱锥 D ? PBC 的高.

20.(本小题满分 10 分)已知 an ? (1) 求 k 的值及 2 (2) 记 bn ?
an

4n 2 ? k , ?an ? 为等差数列。 2n ? 1
n

? ? 的前 n 项和 S



nan an ?1 ? 2 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn an an ?1

x2 y 2 1 2 x 的 21.(本小题满分 15 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点是抛物线 y ? a b 4 3
焦点,该椭圆的离心率为

1 ,过椭圆右焦点的直线与该椭圆交于 A 、 B 两点, P(?5, 0) 为 2

椭圆外的一点。 (1) 求椭圆的方程; (2) 求 ?PAB 面积的最大值。

22. (本小题共 15 分)已知函数 f ( x) ? e x ( e 为自然对数的底) , g ( x) ? ln( f ( x) ? a) ( a 为常数) , g ( x) 是实数集 R 上的奇函数.

⑴ 求证: f ( x) ? x ? 1( x ? R) ; ⑵ 讨论关于 x 的方程: ln g ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2ex ? m)(m ? R) 的根的个数.

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 B 11 A 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

3 13. _____ 2 或 ? 1 14. ____________

15. cos(?1 ? ? 2 ? ?3 ) ? i sin(?1 ? ? 2 ? ?3 )

(??, 0) 16. ______________
三、解答题

17.解:(1)由茎叶图可得: x 甲=87.5, x 乙=86.7, x 甲> x 乙,所以甲演唱水 平更高一点,但甲的方差较大,即评委对甲的水平认可存在较大的差异.…5 分 (2)依题意,共有 9 个基本事件:

(8 分)

其中,甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含 6 个基本事件. 6 2 所以所求概率为9=3. ………10 分
18.解:(Ⅰ)由 c cos B sin C ?

? 3a ? c sin B?cosC ? 0 ,
…………2 分

可得 c sin(B ? C) ? ? 3a cosC ,所以 c sin A ? ? 3a cosC , 由正弦定理得 sin C sin A ? ? 3 sin A cosC ,

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? ? 3 cosC , 即 tan C ? ? 3 ? C ? (Ⅱ)由正弦定理

2? . 3

……………4 分

a b c a b ? ? ? ? ? 2 得:……6 分 sin A sin B sin C sin A sin B ? 1 3 ? a ? b ? 2(sin A ? sin B) ? 2(sin A ? sin( ? A)) ? 2( sin A ? cos A) ? 2 sin( A ? ) 3 2 2 3
……8 分

又因为 A ? B ?

?

所以 a ? b ? ? 3,2 所以 (a ? b) max ? 2, 此时 A ?

?

? ? ? 2? ? ? 3 ? ? A ? (0, ) ? A ? ? ( , ) ? sin( A ? ) ? ? ,1? 3 3 3 3 3 3 ? 2 ? ?

?

?
3

?

?
2

? A?

?
6

,B ?

?
6

……………10 分

19.(1)? AD ? 2, ?DAB ? 60? , AB ? 4

? BD ? 2 3 即:AD ? BD 又 PD ? 底面ABCD , BD ? 平面ABCD ? PD ? BD PD ? AD ? D ? PA ? BD PA ? 平面PD
(2)体积桥

……….2 分 ..............4 分 …………….5 分 ……………10 分

h? 3
4 n 2 ? k 4n 2 ? 1 ? k ? 1 k ?1 ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

20. 解: (1) an ?

由 ?an ? 为等差数列,得 k ? 1 ? 0 ,故 k ? ?1. …………………………2 分

2an ? 22 n ?1 ,?

2an 22 n ?1 ? ? 4, 2an?1 22( n ?1)?1

? 2 an 是公比为 4 的等比数列,且 2a1 ? 2 。

? ?

? Sn ?

2(1 ? 4n ) 2 ? 4n ? 2 ? …………………………5 分 1? 4 3

(2) bn ?

nan an ?1 ? 2 2 2 1 1 ? n? ? n? ? n?( ? ) …6 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 an an ?1

1 1 1 1 1 ?Tn ? [1 ? (1 ? )] ? [2 ? ( ? )] ? ? ? [ n ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n(n ? 1) 1 ? ?1? …………………………10 分 2 2n ? 1

y?
21.解: (1)抛物线

1 4 3

x2
的焦点为 F (0, 3) ,

? ? b? 3 ? ? 2 x2 y 2 ? a?2 2 2 ? ? 1 。………………6 分 依题意,有 ?b ? a ? c ? ? 所以椭圆方程为 4 3 ?b ? 3 ? ? c 1 ? ? ? a 2
(2)因为椭圆右焦点为 F2 (1,0) ,

设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4

? (3m2 ? 4) y2 ? 6my ? 9 ? 0
? y1 ? y2 ? ? 6m 9 , y1 ? y2 ? ? 2 …………………………9 分 2 3m ? 4 3m ? 4

S?PAB ? S?PF2 A ? S?PF2B
1 1 PF2 ? y1 ? PF2 ? y2 2 2 1 ? PF2 ? y1 ? y2 2 1 ? ? 6 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 ?

? 3 (?

6m 2 9 ) ? 4(? 2 ) 2 3m ? 4 3m ? 4
…………………………13 分

? 36

m2 ? 1 36 ? 2 3m ? 4 3 m2 ? 1 ?

1 m2 ? 1

1 令 m 2 ? 1 ? t (t ? 1),令h(t ) ? 3t ? (t ? 1), 则h(t )在[1, ??)递增 t

当t ? 1时,h(t )min ? h(1) ? 4, 此时m=0 故?PAB面积的最小值为9.

…………………………15 分

x 22.解:⑴ 证明:设 F ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,则 F '( x) ? e ? 1 ,

∵当 x ? (??,0) 时, F '( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时, F '( x) ? 0 ,∴F(x)min=F(0)=0 ∴F(x)?0,即 f ( x) ? x ? 1 ; ………6 分

⑵ 解:∵ g ( x) 是实数集 R 上的奇函数,∴ a ? 0 , g ( x) ? x ,

ln x ? x2 ? 2ex ? m 2 ln x ? x ? ( x ? 2 ex ? m ) ∴方程为 ,即 x . h( x) ? ln x 1 ? ln x h '( x) ? ?0 x ,则由 x2 得,x=e,



又∵当 x ? (0, e) 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? (e, ??) 时, h '( x) ? 0 ,



h( x) ? h(e) ?

1 e,

………10 分

2 2 2 2 设 l ( x) ? x ? 2ex ? m ,则 l ( x) ? e ? 2e ? m ? m ? e ,

∴① 当

m ? e2 ?

1 e 时,原方程无解;

② 当

m ? e2 ?

1 e 时,方程有且只有一根 x ? e ; 1 e 时,方程有两根;

③ 当

m ? e2 ?

………15 分


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