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平方差公式教学设计(学力发展型概念课)


平方差公式教学设计(第一课时)
一、背景与意义分析 本课安排在《数学八年级上册》第十五章第一节整式乘法之后,是第二 节乘法公式第一课时,属于《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》中 的数与式的领域。 在数与代数中,平方差公式的本质无非是特殊的两个多项式相乘的结 果。就公式的前提来讲我们要注意它的特殊性,即公式的特殊性;就公式的 应用来讲我们要强调它的普遍性,即公式中

字母具有普遍的含义,它可以是 数、也可以是式子(包括单项式、多项式) 。 二、学习与导学目标 使学生会推导乘法公式 ( a ? b)( a ? b) ? a 2 ? b 2 ,了解公式的几何背景, 并能进行简单的计算。 1、知识积累与疏导:通过特殊的两个多项式相乘,领悟平方差公式的来历。 2、技能掌握与指导:遇到二项式乘以二项式,养成预判能否运用平方差公式的 习惯。 3、智能的提高与训导:积极创设问题情景,认识到运用平方差公式计算多项式 乘法的优越性。 4、情感修炼与开导:自主学习是合作学习的前提,合作学习能不断拓展和完善 自我认识,学生要学会参与,学会倾听,学会尊重他人。 5、观念确认与引导,通过经历“平方差公式”这一数学概念的形成于应用过程, 感受到“问题情境——分析讨论——建立模型——解释应用——转换拓展” 的模式,让学生把研究学习中获得的这种体验变成一种学习的动力,成为一 种思考习惯和生活方式。教学过程中要培养学生观察、类比的能力和渗透数 形结合的思想。 三、障碍与生成关注 平方差公式的几何背景的导学难度较大,为此要充分引导学生动手剪卡纸, 动脑拼图,动口多交流,促使学生有初步的数形结合的思想。 四、学程与导程活动 (一)发现平方差公式:
1

计算题: (教师用投影仪出示) <1>(1+3x)(1-3x) <3>(10a+2)(10a-2) <2>(4a+5)(4a-5) <4>(2x+3)(3x-2)

师:这四道题大家会不会做?用什么方法做? 生:用多项式与多项式相乘的法则做。 师:现在我和你们一起做,看谁做得又快又准,同时开始做,我在黑板上作, 你们在笔记本上做。 师:大家比较一下,我与你们做得的结果是否一样?师:老师前三题不是用 多项式乘法法则做的,而是用平方差公式做的。那么什么是平方差公式 呢?大家从这 4 个题的自我解答过程中找一找,看存在什么规律,当你 找到规律时,平方差公式就找到了。 (学生个别学习大约 3 分钟) 师:大家都已经有了自己的想法,请把你的想法说给同桌,你要阐述“题” 存在什么规律?“结果”又有什么规律? 师:把你们的想法说给小组的同学听,每小组要推选中心发言人,准备代表 本组向全班交流。 (六人一组合作学习,教师深入各组引导,大约 8 分钟) 师:下面请各组的中心发言人把本组的认识与想法向全班同学交流,组内同 学可以补充,其他同学要认真倾听同学的发言,特别要注意别人想到了 你没想到的地方。 师:你能用字母来表示吗? 生: ( a ? b)( a ? b) ? a 2 ? b 2 (教师板书) 师:好,这就把具体问题抽象成数学命题,谁能用语言来叙述一下。 生:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 (教师板书) 师:好,这就是我刚才计算中用的平方差公式,大家能说说公式中的 a 和 b 都可以是什么吗? 生:可以是一个数,可以是字母,可以是式子(包括单项式、多项式) 。 (二)证明平方差公式 1、请大家运用多项式乘法法则证明平方差公式
2

2、师:我们能否用图形来证明平方差公式呢?这是我们从来没有做过的,我们 可以大胆的试一试,看看从中你们能发现什么? 师:大家拿起课前发的那张卡纸,同学们观察一下,这张卡纸是什么图形? 阴影部分呢?
a ?



师:请你动手把阴影部分剪掉,然后求出所剩图形的面积是多少?自己思考 后再与小组同学交流 (学生剪、想、交流 5 分钟) 师:哪个组先来说一说? 生:设正方形卡纸的边长是 a,正方形阴影的边长是 b,则所剩图形的面积是
a2 ? b2

师: 其他组再动手做一做, 看看用什么别的方法同样能求得剩余图形的面积, 这个问题有一定的难度,还是小组合作学习吧。 (教师深入各组指导 10 分钟) 师:哪个小组先来交流? 师:请带卡纸到黑板来画你们的拼图, 并写出你们小组的算式。
a a-b a b ? -

b

师:那你们发现什么? 生:剩余图形的面积还可以是 (a ? b)(a ? b) 生:这两种计算方法构成的等式正好是平方差公式,说明平方差公式正确。 师: 注意平方差公式用于做多项式乘法时,(a ? b)(a ? b) 在等号左边, a 2 -b 2

3

在等号右边。 (思想方法: 不同的算法表达式表达的是同一个图形的面积, 理应相等) 师:从刚才的研究过程你们还发现什么? 生:代数问题也可以用几何方法证明。 师:这就是“数形结合思想” ,你们今天的表现太棒了! (三)运用平方差公式 1、填空:
(a ? b)(a ? b) (3x ? 2)(3x ? 2) (b ? 2a)(2a ? b)

a b

a 2 -b 2

最后结果

(? x ? 2 y)(? x ? 2 y)

学法指导: (1)对比两个二项式因式,把它俩中相同的项看成 a,把它俩中互为相反数的 项看成 b(通常取带正号的认作 b) ; (2) ?3x ? ? 2 2 这个中间过程应该有两数的平方,并且括号不能遗忘。
2

(3)相同的项的平方是被减数,互为相反数的项的平方是减数。 2、自编题: 师:下面的时间大家采取小组合作的形式,利用平方差公式自编题 5 题, 你们能否再变换一下角度来编题, 理解公式中的 a、 b 究竟代表什么? (教师深入到各组巡视,让各组把编得有特点的题写在纸上,以备交流 时用实物投影仪展示出来,大约 3 分钟) 3、计算投影仪展示的自编题 (逐组展示、练习、讲评,解题格式参照老师一开始上课时的板演,因 时间关系可能有两组自编题留做作业,大约 8 分钟) (四)小结与作业 1、师生共同总结 (1) 、公式特点,其中字母表示什么?
4

(2)数形结合思想 (3)体验合作与探究的乐趣 2、作业: (1) 、两组自编题 (2) 、课本 P.156 习题 15.2 第 1 题 五、笔记与板书提纲 课题:
( a ? b)( a ? b) ? a 2 ? b 2

引例:①②③④

叙述: 六:练习与拓展

巩固练习:

自编两道能用平方差公式计算的难题,为下节课交流作准备。 七、个别与重点辅导 对各组内不同层次的学生给予帮助和鼓励,使学生能得到应有的收获 和发展。 八、反思与点评记录 本课概念性较强, 教师可以采用合作学习和探究学习达成学生的学力发 展,实施教学时教师要关注以下两方面: 1、合作学习要提高有效性: (1)合作分组; (2)规范操作; (3)明确 任务; (4)形式整合; (5)全班交流; (6)教师作用:规范行为、发 现火花、排除障碍、引导深化。 2、探究学习的三大要义: (1)问题性、实践性、参与性和开放性是探 究学习的本质特征; (2)经历探究过程、获得深层次的情感体验、建 构知识、掌握解决问题的方法是探究学习的目标; (3)设计问题激发 探究的欲望是关键,充分的自主学习时间和多维互动的交流空间是保 障,反思探究过程是一种体验。

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