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2013全国各地重点高中高三试题解析分类汇编数列部分


2013 全国各地重点高中高三试题解析分类汇 编(二)系列:数列
1.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为
S n , a2 、 a4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根, S5 ?
2

A.

5 2

B.5



C. ?

5 2

D.-5

【答案】A 【 解 析 】 因 为 a2 、 a4 是 方 程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 所 以 a2 ? a4 ? 1 。 又
S5 ? 5( a1 ? a5 ) 2 ? 5( a2 ? a4 ) 2 ? 5 2

,选 A.

2.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】在等比数列 {an } 中,若
a3 , a7 是方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,则 a5 的值是
2

A. ?2 【答案】B

B. ? 2

C. ? 2

D. 2

【解析】根据根与系数之间的关系得 a3 ? a7 ? ?4, a3 a7 ? 2 ,由 a3 ? a7 ? ?4 ? 0,a3 a7 ? 0 , 所以 a3 ? 0,a7 ? 0 ,即 a5 ? 0 ,由 a3 a7 ? a5 2 ,所以 a5 ? ? a3 a7 ? ? 2 ,选 B. 3.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知
a 5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? (
A .8 B . 12


C . 16
D . 24

【答案】C 【解析】在等差数列数列中, a5 ? a1 ? 4d ? 8, S3 ? 3a1 ?
3? 2 2 d ? 3a1 ? 3d ? 6 ,即

a1 ? d ? 2 ,解得 a1 ? 0, d ? 2 .所以 a9 ? a1 ? 8d ? 8 ? 2 ? 16 ,选 C.

4. 【 山 东 省 青 岛 一 中 2013 届 高 三 1 月 调 研 考 试 数 学 文 】 已 知 数 列 { an } 满 足 且 则 log3 an ? 1 ? log3 an ?1 (n ? N ) , a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,
*

log 1 ( a5 ? a7 ? a9 )
3

的值是 (



A. ?

1 5

B. ?5

C.5

D.

1 5

【答案】B



【解析】由

log 3 an ? 1 ? log 3 an ?1 ( n ? N ) ,得 log 3 an ?1 ? log 3 an ? 1 ,即 log 3
*

an ?1 an

? 1 ,解



an ?1 an

3 ?3, 所以数列 {an } 是公比为 3 的等比数列。 因为 a5 ? a7 ? a9 ? (a2 ? a4 ? a6 )q ,

3 5 所以 a5 ? a7 ? a9 ? 9 ? 3 ? 3 。所以 log 1 ( a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 3 ? ? log 3 3 ? ?5 ,选 B.

5

5

3

3

5.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若
a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为(

) C. 60 D. 70

A. 55 【答案】B

B. 65

【解析】由 a1 ? a2 ? 5 ,得 2a1 ? d ? 5 ,由 a3 ? a4 ? 9 所以
S10 ? 10a1 ? 10 ? 9 2 ? 20+45=65



2a1 ? 5d ? 9

,解得

d ? 1, a1 ? 2



,选 B.

6.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】已知 {an } 为等差数列,其前 n 项 和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 【答案】C 【解析】因为 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,所以 S3 ? 12 ?
a3 ? 6 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d ,解得 d ? 2 ,选 C.
3( a1 ? a3 ) 2 ? 3( a1 ? 6) 2

(B)

5 3

(C) 2

(D) 3

,解得 a1 ? 2 ,所使用

7. 北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 文】 【 在等差数列 {an} 中,a1 ? ?28 , 公差 d ? 4 , 若前 n 项和 Sn 取得最小值,则 n 的值为( )
A. 7
B. 8

C. 7 或 8

D. 8 或 9

【答案】C 【解析】 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?28 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 32 ,由 an ? 0 得 4n ? 32 ? 0 ,即 n ? 8 。即
a8 ? 0 ,当 n ? 7 时, an ? 0 。所以要使Sn取得最小值,则有 S7 ? S8 最小,选C.

8.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 文】等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 若
Sn Tn ? 3n ? 2 2n ? 1

, 则

a7 b7

?(





A.

37 27

B.

38 28

C.

39 29

D.

40 30

【答案】A
a1 ? a13 b1 ? b13 a1 ? a13 2 ? b1 ? b13 2 ? 13 ? ? 13 3 ? 13 ? 2 2 ? 13 ? 1

【解析】在等差数列中

a7 b7

?

2a7 2b7

?

S13 T13

?

?

37 27

,选A.

9. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 五 次 月 考 文 】 已 知 数 列 { an } 满 足 a1 ? 1 ,
? 2an ( n为正奇数) ,则其前 6 项之和是( an ?1 ? ? ? an ? 1 ( n为正偶数)

)

A.16 【答案】C

B.20

C.33

D.120

【解析】 a2 ? 2a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 1 ? 3,a4 ? 2a3 ? 6 , a5 ? a4 ? 1 ? 7,a6 ? 2a5 ? 14 ,所 以 S6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 14 ? 33 ,选 C. 10. 【 北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 】 在 数 列 {an } 中 , 则 a1 ? 1, 点(an , an ?1 )在直线y ? 2x上, a4 的值为 A.7 【答案】B 【解析】 因为点 an , an ?1 )在直线y ? 2x上, 生意 an ?1 ? 2an , 即数列 {an } 是公比为 2 的等比数 ( 列,所以 a4 ? a1q 3 ? 23 ? 8 ,选 B. B.8 C.9 D.16

11.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(文) 】设等比数列 {an } 的公比 q=2,前 n 项和为 {S n } ,则
S4 a3

的值为





A. 15
4

B. 15
2

C. 7
4

D. 7
2

【答案】A 【解析】 S 4 ?
a1 (1 ? 2 )
4

1? 2

? 15a1 , a3 ? a1q ? 4a1 ,所以
2

S4 a3

?

15a1 4a1

?

15 4

,选 A.

12.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】各项为正数的等比数列 {an }中,
1 2 a3 , a1 成等差数列,则

a2 ,


a4 + a5 a3 + a4

的值为

A.

5- 1 2

B.

5+ 1 2

C.

12

5

D.

5- 1 2



5+ 1 2

【答案】B 【解析】因为 a2 ,
1 2 a3 , a1 成等差数列,所以 a1 + a2 = 2? 1 2 a3 a3 ,即 a1 ? a1q ? a1q ,所以
2

q ? q ?1 ? 0
2

, 解 得

q?

1? 2

5



q?

1? 2

5

?0

( 舍 去 ) 。 所 以

a4 + a5 a3 + a4

=

( a3 + a4 )q a3 + a4

= q=

1+ 2

5

,选 B.

13. 北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学 【 (文) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 】 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S
S6 a6
S15 S2 1 , ,?, a1 a 2 a15

中最大的项为
S9 a9 S8 a8

A.

B.

S7 a7

C.

D.

【答案】D 【解析】由 S15 ?
15( a1 ? a15 ) 2 =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 .由 S16 ? 15( a1 ? a16 ) 2 = 15( a9 ? a8 ) 2 ?0,

得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 .所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正,
a9 ,? an 为 负 , 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? S n ? 0 , 则
S9 a9 ?0, S10 a10 ? 0? , S8 a8 ? 0 ,又

S8 ? S1 , a1 ? a8 ,所以

S8 a8

?

S1 a1

? 0 ,所以最大的项为

S8 a8

,选 D.

14. 【 北 大 附 中 河 南 分 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 ( 文 ) 在 数 列 {an } 中 , 已 知 】
a1 ? 2, a2 ? 7, an ? 2 等于 an an ?1 ( n ? N ?) 的个位数,则 a2013 的值是(



A.8 【答案】C

B.6

C.4

D.2

【解析】 a1a2 ? 2 ? 7 ? 14 ,所以 a3 的个位数是 4, 4 ? 7 ? 28 ,所以所以 a4 的个位数是 8,
4 ? 8 ? 32 ,所以 a5 的个位数是 2, 2 ? 8 ? 16 ,所以 a6 的个位数是 6, a7 的个位数是 2,
a8 的个位数是 2, a9 的个位数是 4, a10 的个位数是 8, a11 的个位数是 2,所以从第三项

起, an 的个位数成周期排列,周期数为 6, 2013 ? 335 ? 6 ? 3 ,所以 a2013 的个位数和 a3 的个位数一样为 4,选 C.



15.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1, a2 ? 2 , 当整数 n ? 1 时, S n ?1 ? S n ?1 ? 2( S n ? S1 ) 都成立,则 S15 = 【答案】 211 【解析】 S n ?1 ? S n ?1 ? 2( S n ? S1 ) 得,( Sn ?1 ? Sn ) ? ( Sn 由 数列{ an }从第二项起构成等差数列, S15
? S n ?1 ) ? 2 S1 ? 2 ,即 an ?1 ? an ? 2(n ≥ 2) ,



? 1+2+4+6+8+?+28=211.

16.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】已知公差为零的等差数 列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a10 ? S 4 , 则 【答案】4 【 解 析 】 由 a10 ? S 4 得 a1 ? 9d ? 4a1 ?
S8 ? 8a1 ? 8? 7 2 d ? 8a1 ? 28d ? 36d ,所以 4?3 2 d ? 4a1 ? 6d , 即 a1 ? d ? 0 。 所 以

S8 a9

等于

.

S8 a9

?

36d a1 ? 8d

?

36d 9d

? 4。

17.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】已知数列 ?an ? 为等比数列,且
a1a13 ? 2a7 ? 5? ,则 cos( a 2 a12 ) 的值为________________.
2

1

【答案】 2 【 解 析 】 在 等 比 数 列 中 a1a13 ? 2 a7 2 ? a7 2 ? 2 a7 2 ? 3a7 2 ? 5?
cos( a2 a12 ) ? cos( a7 ) ? cos
2

,所以

a7 ?
2

5? 3 。所以

5? 3

? cos

?
3

?

1 2。

18.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】在如图的表格中,每格填上一个数字 后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a ? b ? c 的值为

________________. 【答案】1 【解析】 由题意知 2a ? 1 , 所以 a ? 所以 2b ?
1 4 ? 3 8 ? 5 8 1 2

。 第三列和第五列的公比都为 。 c ? 3? ( ) ?
4

1 2

,所以 m ? 3 ? ( ) ?
3

1

3 8



2

,即 b ?

5 16

1

3 16

,所以

2



a?b?c ?

1 2

?

5 16

?

3 16

? 1。

19.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】已知正项等比数列 {a n } 中, a1 ? 3 ,
a 3 ? 243 , 若 数 列 {bn } 满 足 bn ? log 3 a n , 则 数 列 {
1 bn bn ?1 } 的 前 n 项 和

Sn ?


n 2n ? 1

【答案】

【解析】因为 a3 ? a1q 2 ,解得 q ? 9 ,所以 an ? a1q n ?1 ? 3 ? 9n ?1 ? 32 n ?1 ,所以
bn ? log 3 an ? log 3 3
2 n ?1

? 2n ? 1 ,所以

1 bn bn ?1

?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

??

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

) ,所

以数列的前 n 项和
Sn ? 1 b1b2 ?? ? 1 bn bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

?

1 1 1 1 2n n . ( ? )? ? ? 2 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

20. 【 贵 州 省 遵 义 四 中 2013 届 高 三 第 四 月 考 文 】 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且
S9 ? ?36 , S13 ? ?104 ,则 a6 ?


【答案】 ?6
9?8 ? 9a ? d ? ?36 ? 1 ? 2 ? ?104 得 , ? ,即 ?13a ? 13 ? 12 d ? ?104 1 ? ? 2

【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 S9 ? ?36 , S13

? a1 ? 4d ? ?4 ,解得 a1 ? 4, d ? ?2 。所以 a6 ? a1 ? 5d ? 4 ? 5 ? (?2) ? ?6 。 ? ? a1 ? 6d ? ?8

21.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,



其中 a2 ? ?3, a8 ? 15, 则 a5 =___;S6 ? ____ 【答案】6;9 【 解 析 】 由 a2 ? ?3, a8 ? 15, 得 a1 ? ?6, d ? 3 。 所 以 a5 ? a1 ? 4d ? ?6 ? 3 ? 4 ? 6 。
S6 ? 6 ? ( ?6) ? 6?5 2 ?3 ? 9。

22.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文】在等比数列 {an } 中,
a1 = 1 2 , a4 = - 4 ,则公比 q =
1 2

; a1 + a2 + a3 + L + an =



【答案】 - 2; 2n- 1 -

【 解 析 】 在 等 比 数 列 中 a4 =a1q 3 =

1 2

q = - 4

3

q = - 8

3

q ? ?2

,所以
n ?1

,即

。所以

an ? a1q

n ?1

?

1 2

( ?2)

n ?1

,所以

an ?

1 2

( ?2)

?2

n?2

,即数列
n

an

是一个公比为 2 的等比数

1

(1- 2 ) = 2 1- 2
n- 1

列,所以

a1 + a2 + a3 + L + an = 2

-

1 2



23.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】 公比为 2 的等 比数列 ?an ? 的各项都为正数,且 a2 a6 ? 16 ,则 a4 ? _______;
a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a10 ? _________________.

【答案】 4 ;

1023 2

【解析】由 a2 a6 ? a4 2 ? 16 ,解得 a4 ? 4 。又 a4 ? a1q 3 ? a1 ? 23 ? 4 ,所以 a1 ?
1 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 2 (1 ? 2 )
10

1 2

,所以

1? 2

?

2

10

?1

?

1023 2

.

2

24.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知数列 1, a, 9 是等比数列,数列
a b1 ? b2

1, b1 , b2 , 9 是等差数列,则
3 10

的值为

.

【答案】



【解析】因为 1, a, 9 是等比数列,所以 a 2 ? 1? 9 ? 9 ,所以 a ? ?3 。 1, b1 , b2 , 9 是等差数列
b1 ? b2 ? 1 ? 9 ? 10 。所以
a b1 ? b2 ? 3 10



25.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, 且 a2 ? a6 ? a8 ,则
S5 a5 ? _____ .

【答案】 3 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 a2 ? a6 ? a8 得 2a1 ? 6d ? a1 ? 7 d , 即 a1 ? d ? 0 , 所 以
S5 a5 5a1 ? ? 5? 4 d ? 5a1 ? 10d a1 ? 4d 15 5
a , b,

2 a1 ? 4d

?

? 3。

26. 【 北 京 市 海 淀 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 】 任 給 实 数
? a ? b, ? a ? b ? ?a ? , ?b a ? b ? 0, a ? b ? 0.

定义

设函数 f ( x ) ? ln x ? x ,则 f (2) ? f ( ) =___;
2

1

若 {an } 是公比

大于 0 的等比数列,且 a5 ? 1 ,
f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? f (a3 )? ? f (a7 ) ? f (a8 )=a1 , 则 a1 ? ___ .
[

【答案】 0 ; e
1 2 1 2
1 ln 1

【解析】因为 2 ln 2 ? 0 ,所以 f (2) ? 2 ln 2 。因为

ln

? 0 ,所以 f ( ) ?
2

2 ? ?2 ln 2 ,所 1 2

以 f (2) ? f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? 0 。 若 x ? 1 ,则有 1? ln1 ? 0 ,所 以 f ( x) ? x ln x 。此时
2

1

0?

1 x

即 ? 1,

1 x

ln

1 x

所以 f ( ) ? ? 0,
x

1

ln

1 x
1 ? ? x ln x , 所以 f ( x) ? f ( ) ? x ln x ? x ln x ? 0 。 x

1 x

而 f (1) ? 0 。 在 等 比 数 列 中 因 为 a5 ? 1 , 所 以 a5 2 ? a2 a8 ? a3 a7 ? a4 a6 ? 1 , 即
a6 ? 1 a4 ,a7 ? 1 a3 ,a8 ? 1 a2
f7 a ) ( ? f8 ( a ) =f ?(a ) ? ( ,所以af ( a1 ) ? a1 ,若 a1 ? 1 , f 1) f ( ) 1 1







f ( a )? 1

f(2 ? a )

f (3? ) ? a



则 f (a1 ) ? a1 ln a1 ? a1 ,即 ln a1 ? 1 ,解得 a1 ? e 。若 0 ? a1 ? 1 ,则 f (a1 ) ?

ln a1 a1

? a1 ,

即 ln a1 ? a12 ,因为 0 ? a1 ? 1 ,所以 ln a1 ? 0 ,所以方程 ln a1 ? a12 无解。综上可知 a1 ? e 。 27.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 ,前 5 项的和 S5 ? 25 ,则 a2013 ? 【答案】 4025 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , S5 ? 25 ? 5a1 ?
a2013 ? a1 ? 2012d ? 1 ? 2012 ? 2 ? 4025 。
5? 4 2 d ? 5 ? 10d , 解 得 d ? 2 , 所 以



28.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 文】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,
a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于

【答案】15 【解析】在等差数列中, a2 ? a4 ? a1 ? a5 ? 6 。所以 S5 ?
5( a1 ? a5 ) 2 ? 5? 6 2 ? 15 。

29.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考 文】 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足的 前 n 项和为 S n ,且 S n ? ( ) ? n ? 1, (n ? N ) .
n

1

?

3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 {bn } 的通项公式满足 bn ? n(1 ? a n ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 【答案】⑴由, S n ? ( ) ? n ? 1, (n ? N )
n

1

?

3



n ?1

时得 a1 ? S1 ?

1 3

, 当

n?2

时得 a n ? S n ? S n ?1 ? 1 ?

2 3
n



又 a1 ?

1 3

满足上式,所以:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1 ?
2n
n 3 .

2 3
n

.

⑵由

bn ? n(1 ? a n ) ? 2 ?1 3

所以


Tn ?

?

2?2 3
2

?

2?3 3
3

???

2n
n

1

3 ,得 3

Tn ?

2 ?1 3
2

?

2?2 3
3

?

2?3 3
4

???

2n 3
n ?1

2

相减得: 3 ∴
Tn ? 3 2

Tn ? 2( 2n ? 3 2?3
n

1 3

?

1 3
2

?

1 3
3

???

1 3
n

? 3

n
n ?1

)

?

.

30. 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】本小题满分 14 分) ( 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a1 =1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别为等比数列 ?bn ? 的第 2 项、第 3 项、第 4 项。 (1)求数列 ?a n ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列{ cn }对 n ? N ? 均有
c
1

+

c2 b2

+?+

cn bn

b1

= an ?1 成立,求 c1 + c2 c3 +?+ c2012 。 ???1分 ????3分 ?????6分

【答案】(1)由已知得 a2 =1+d, a5 =1+4d, a14 =1+13d,
? (1 ? 4d ) =(1+d)(1+13d), ? d=2,
2

an =2n-1

又 b2 = a2 =3, b3 = a5 =9 ? 数列{ bn }的公比为3,
bn =3 ? 3
n? 2

= 3n?1 . +?+
cn bn
1

(2)由

c
1

+

c2 b2

b1

= an ?1

(1) ?????8分 (2) ?????9分 ?????10分

当n=1时, 当n>1时,

c b1 c
1

= a2 =3, ? c1 =3 +
c2 b2
cn bn
n?1

+?+

cn ?1 bn ?1

b1

= an

(1)-(2)得
? cn =2 bn =2 ? 3

= an ?1 - an =2 对 c1 不适用

3 n ?1 ? ? cn = ? n ?1 n?2 ?2?3
? c1 ? c2 ? c3 ? ? c2012 =3+2 ? 3+2 ? 3 +?+2 ? 3
2 2011

?????12分

=1+2 ? 1+2 ? 3+2 ? 32 +?+2 ? 32011 =1+2 ?

1? 3

2012

1? 3

= 32012 . ?????14 分

31.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】 (本小题满分 12 分) 已知等 差数列 ?a n ? 满足 a 2 =0, a 6 ? a8 =-10. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?
? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?
? ?a1+d=0, ?2a1+12d=-10, ?

【答案】 (1)解 设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得?

--



----2 分 解得?
? ?a1=1, ? ?d=-1.

------------4 分

故数列{an}的通项公式为 an=2-n. ------------6 分 (2)解法一:设数列? ∵
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,

an 2-n 1 n = = - , 2n-1 2n-1 2n-2 2n-1

1 1 1 ? ? 2 3 n ? ? ∴Sn=?2+1+ + 2+?+ n-2?-?1+ + 2+?+ n-1?. 2 2 2 ? ? 2 2 2 ? ? 2 3 n 记 Tn=1+ + 2+?+ n-1, 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得: Tn=1+ + 2+?+ n-1- n, 2 2 2 2 2 1 1- n 2 n 1 ∴ Tn= - n. 2 1 2 1- 2 ① ②

? 1? n 即 Tn=4?1- n?- n-1. ? 2? 2 ? ?1?n? 2?1-? ? ? n ? ?2? ? ? 1 ? n ? 1? ? 1? n ∴Sn= -4?1- n?+ n-1=4?1- n?-4?1- n?+ n-1= n-1.---- ---------12 分 1 2 ? 2? 2 ? 2? ? 2? 2 1- 2
解法二:设数列?
Sn ? 1 1 ? 0 2 ?
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,
? ?3 2
4

?1 2
2

?

?2 2
3

???

2?n 2
n ?1



1 2

Sn ?

1 2

?

0 2
2

?

?1 2
3

?

?2 2
4

?

?3 2
5

???

2?n 2
n



??????8 分

①-②得:
1 2 Sn ? 1 ? ?1 2 ? ?1 2
2

?

?1 2
3

?

?1 2
4

?

?1 2
5

???

?1 2
n ?1

?

2?n 2
n

? 1? (

1 2

?

1 2
2

?

1 2
3

?

1 2
4

?

1 2
5

??? 2

1
n ?1

)?

2?n 2
n

1 ? 1? 2

(1 ? 1?

1 2 1
n ?1

) ?

2?n 2
n

2


?

n 2
n

∴ Sn ?

n 2
n ?1

??????????12 分

32.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】 (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 2 ? 10 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 {bn } 是以函数 y ? 4 sin 2 ? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列

?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .
【答案】解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则
? a1 ? 2 ? ? 2 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10 ?

解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)????5 分

所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n (2)? y ? 4 sin 2 ? x ? 4 ? 其最小正周期为
2? 2? 1 ? cos 2? x 2

????6 分
? ?2 cos 2? x ? 2

? 1 ,故首项为 1;???7 分

因为公比为 3,从而 bn ? 3n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1 故
Sn ? ? 2 ? 3
0

????8 分

? ? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ?
1 n ?1

?

? 2 ? 2n ? n
2

?

1? 3

n

1? 3

? n ?n?
2

1 2

?

1 2

?3

n

??

?12 分 33.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】 (本小题满分 12 分)已知数列
{an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n且S n ?1 ?
3 2 S n ? 1, ( n ? N )
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {
1 an } 的前 n 项和为 Tn ,求满足不等式 Tn ? 12 Sn ? 2

的 n 值.



【答案】解: (1)由 S n ?1 ? ∴ S n ?1 ? S n ?
3 2

3 2

S n ? 1 ,得 当 n ? 2 时 S n ? 3 2

3 2

S n ?1 ? 1

( S n ? S n ?1 ) , 即 an ?1 ?

an

,∴

an ?1 an

?

3 2

( n ? 2 )- -----3 分

又 a1 ? 1 ,得 S 2 ?

3 2

a1 ? 1 ? a1 ? a2 ,
3 2

∴ a2 ?

3 2





a2 a1

?

3 2

适合上式

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 ∴ an ? ( ) n ?1
2 3

的等比数列 ------------6 分
3 2

(2)∵数列 {an } 是首项为 1,公比为 ∴数列 {
1 an } 是首项为 1,公比为
2 3

的等比数列,

的等比数列,

2 n 1? ( ) 3 ? 3[1 ? ( 2 ) n ] ∴ Tn ? 2 3 1? 3

-----------?9 分

又∵ S n ? 2 ? ( ) n ? 2 ,∴不等式 Tn <
2

3

12 sn ? 2

即得: ( ) n >
3

2

1 3

, ????12 分

∴n=1 或 n=2

34.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 (满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n . 已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n ? 1 , n ? N? 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?n ? an ? 的前 n 项和,求 Tn ; 【答案】 (Ⅰ)由题意, an ?1 ? 3S n ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3S n ?1 ? 1 . 两式相减,得 an ?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,
a2 a1

?????????????????2 分

? 4 ,?????????????????4 分

所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列,????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4
n ?1

( n ? N? ). ????????????6 分



(Ⅱ)因为 Tn ? (1 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? (3 ? a3 ) ? ? ? ( n ? an ) ,
? (1 ? 2 ? ? ? n) ? (1 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
2 n ?1

)

?

n(1 ? n) 2

?

1(1 ? 4 )
n

1? 4

?

n?n 2

2

?

4 ?1
n

3

????????????12 分

35. 【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】 (本小题 14 分) 已知等比数列 ?a n ? 满足 2a1 ? a 3 ? 3a 2 ,且 a 3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? log 2 数 n 的最小值. 【答案】 (Ⅰ)设等比数列 ?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,
? a1 ( 2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a 3 ? 3a 2 , 依题意,有 ? 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2( a 3 ? 2). ?a1 ( q ? q ) ? 2a1 q ? 4. ( 2)
2 由 (1) 得 q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .

1 an

, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求使 S n ? 2n ?1 ? 47<0 成立的正整

当 q ? 1 时,不合题意舍; 当 q ? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 (Ⅱ) bn ? an ? log 2
1 an ? 2 ? log 2
n

n ?1

?2

n

.

1 2
n

? 2 -n .
n

所以 S n ? 2 ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ? ? 2 n ? n
? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
2 3 n

?

2(1 ? 2 )
n

1? 2

?

n(1 ? n) 2

?2

n ?1

?2?

1 2

n?

1 2

n

2

因为 S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 0 ,所以 2 n ?1 ? 2 ?

1 2

n?

1 2

n ?2
2

n ?1

? 47 ? 0 ,



即 n ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? 9 或 n ? ?10 .
2

因为 n ? N ? ,故使 S n ? 2n ?1 ? 47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10 . 36.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】 (本题满分 13 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 5 , a5 ? 11 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?
1 an ? 1
2

( n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
*

【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 由已知条件得 ?
? a1 ? d ? 5 ? a1 ? 4d ? 11



解得 a1 ? 3 , d ? 2 .……………………4 分 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n +1 . 所以 bn ?
1
2

……………………6 分

an ? 1 (2n +1) ? 1
2

=

1

=

1

?

1

=

1 4

?(

1 n

?

1 n +1

) .………………10 分

4 n(n +1)
1 n ? 1 n +1 )= 1

所以 Tn =

1 4

(1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

???

(1 ?

1 n +1

)=

n 4(n +1)



4

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 4(n +1)



……………………13 分

37.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】本小题共 13 分) 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n ? a (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 【答案】解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 .??????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ?1 .?????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .?????????????5 分



所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 (n ? N ) .?????????????6 分
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 2n ?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ?1 .
2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
2 3 n ?1


? n?2 .
n



①-②得 ?Tn ? 1? 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2 ? ? ? 1? 2 n ?1 ? n ? 2 n ????????9 分
? 1 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

) ? n?2

n

? 1 ? 2(1 ? 2

n ?1

) ? n ? 2 ??????????????11 分
n

? ?( n ? 1) ? 2 ? 1 .???????????????????12 分
n

所以 Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 .???????????????????????13 分 38.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 文】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式 【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?
? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3
b1 (1 ? q )
n

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?

1? q

? 4(1 ? 3 )
n

39.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分) 已 知 每 项 均 是 正 整 数 的 数 列 a1 , a2 , a3 ,? , a100 , 其 中 等 于 i 的 项 有 k i 个 (i ? 1, 2, 3?) , 设



b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2, 3?) , g ( m) ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 100m ( m ? 1, 2, 3?).

(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 , ①求 g (1), g (2), g (3), g (4) ;②求 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 的值; (Ⅱ)若 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50, 比较 g ( m ), g ( m ? 1) 的大小. 【答案】解: (I)① 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 , 所以 g (1) ? ?60, g (2) ? ?90, g (3) ? ?100, g (4) ? ?100 . ………8 分

② a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ? 40 ? 1 ? 30 ? 2 ? 20 ? 3 ? 10 ? 4 ? 200 ……….10 分 (II) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? bm ?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm ?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm ?1 ? 100 时取等号. 因为 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) . 14 分 40.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(文)(本小题满分 12 分) 】 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 S n ?
1 2 an ? 1 ( n ? N ) .
? ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 3 (1 ? S n ?1 ) (n ? N ) ,求适合方程
1 b1b2 ? 1 b2b3 ? ... ? 1 bnbn ?1 ? 25 51
1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ?
1 2

的正整数 n 的值.
2 3

【答案】 (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ?
1 2

????????1 分

an , sn ?1 ? 1 ?

an ?1 ,

???????2 分



∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?
1 3

1 2

? an ?1 ? an ? ,即 an

?

1 2

? an ?1 ? an ?
????????????????3 分

a n ?1 ( n ? 2) 2 3 1 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?
2

为首项,

为公比的等比数列.?????????????4 分

1 n ?1 1 n ? ?( ) ? 2 ? ( ) (n ? N ) 3 3 3 1

????????????????6 分

(2) 1 ? sn ?
1 bn bn ?1 ?

1 n 1 n ?1 an ? ( ) , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) ? ? n ? 1 ?????8 分 2 3 3

1 ( n ? 1)( n ? 2)

?

1 n ?1

?

1 n?2

????????????????9 分

1 b1b2

?

1 b2b3

? ??? ?

1 bn bn ?1

?(

1

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2

?11 分

解方程

1 2

?

1 n?2

?

25 51

,得 n ? 100

????????????????12 分

41.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(文)(本小题满分 12 分) 】 设正项等比数列 {an } 的首项 a1 ? (1)求 {an } 的通项; (2)求 {nS n } 的前 n 项 Tn . 【答案】 .解: (1)由
10

1 2

, 前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0.

2 S 30 ? ( 2
10

10

? 1) S 20 ? S10 ? 0



2 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,
10

?2分



2 ( a 21 ? a 22 ? ? ? a 30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ,

可得

2

10

? q ( a11 ? a12 ? ? ? a 20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 .
10

????4分

因为

an ? 0

,所以 2 q
n ?1

10

10

? 1,

q?

1 2,

解得

????5分

因而

a n ? a1 q

?

1 2
n

, n ? 1,2, ?.

????????6分
1 2 、公比 q? 1 2 的等比数列,故

(2)因为
1 Sn ? 2

{a n }
1 2 1 2
n

是首项
) ? 1?

a1 ?

(1 ? 1?

1 2
n

, nS n ? n ?

n 2
n

.

????????8 分



则数列
Tn 2 ?

{nS n }

的前 n 项和

Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? (

1 2

?

2 2
2

???

n 2
n

),

1 2

(1 ? 2 ? ? ? n) ? (

1 2
2

?

2 2
3

???

n ?1 2
n

? 2

n
n ?1

).

Tn

?

1 2

(1 ? 2 ? ? ? n) ? (

1 2

?

1 2
2

???

1 2
n

)? 2

n
n ?1

前两式相减,得
1 ? n( n ? 1) 4 ? 2 1? (1 ? 1 2 1 2
n

2

) ? 2

n
n ?1



Tn ?

n( n ? 1) 2

? 2

1
n ?1

?

n 2
n

? 2.

??12 分

42. 【 北 京 市 丰 台 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 】 本 题 共 14 分 ) 已 知 曲 线 (
C : y ? 2 x( y ? 0)
2



A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ? ? ?, An ( xn , yn ), ? ? ?

是 曲 线 C 上 的 点 , 且 满 足

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ,一列点 Bi (ai , 0)(i ? 1, 2, ? ? ?)

在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是

以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式; (Ⅲ)令 bi ?
4 ai , ci ?

? 2?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? bi ? ? ci ,若存
i ?1 i ?1

n

n

在,求出 N 的最小值;若不存在,说明理由. 【答案】解: (Ⅰ)∵?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 由 ? y 2 ? 2 x 得, x1 ? y1 ? 2 ,得 A1(2,2) B1 (4, 0) . ….…….…….…......3 分 , ?y ? 0 ?

(Ⅱ) 根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An ?1 为直角顶点的等腰直角三角形可
? an ? xn ? yn ,即 xn ? yn ? xn ?1 ? yn ?1 . (*)…….………………………..5 分 ? ? an ? xn ?1 ? yn ?1

得,

∵ An 和 An ?1 均在曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,
2 ∴ yn

? 2 xn , yn ?1 ? 2 xn ?1 ,
2



∴ xn

?

yn 2

2

, xn ?1 ?

yn ?1 2

2

2 2 ,代入(*)式得 yn ?1 ? yn ? 2( yn ?1 ? yn ) ,

∴ yn ?1 ? yn

? 2 (n? N

*

).…………………

…………………………..…..….…..7 分

∴数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, 故其通项公式为 yn
? 2n ( n ? N
2
*

) . …………....…………………………...……..8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?

yn 2

? 2n , ….……………………………………………9 分
2

∴ an ? xn ? yn ? 2n(n ? 1) ,……………………..……………………………….…10 分 ∴ bi ?
4 2i (i ? 1)
2 1? 2

?

2 i (i ? 1)
2 2?3
? 1 2

, ci ? ? 2 ?

? yi

?

1 2
i



∴ ? bi ?
i ?1

n

?

?? ?

2 n( n ? 1)
1 n ? 1 n ?1 ) = 2(1 ? ) ,…………….……..11 分 n ?1 1

= 2(1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1

? ci ?
i ?1
n

n

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ? 1?

? 2

1 2
n



…………………….……12 分

欲使 ? bi ? ? ci ,只需 2(1 ?
i ?1 i ?1

n

1 ) <1 ? n , n ?1 2

1

只需
?

n ?1 n ?1

??

1 2
n

, ………………………………………………….…………13 分
*

n ?1 n ?1

? 0( n ? N ), ?

1 2
n

?0 ,
n n

∴不存在正整数 N,使 n≥N 时,

? bi ? ? ci 成立.…………………….14 分
i ?1 i ?1

43.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题共 13 分)定义:如果数 列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三角形”数列.对于“三 角形” 数列 {an } , 如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个 “三角形” 数列, 则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x



“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 ,S n 是数列 {cn } 的前 n 项和, 且满足 4 S n +1 ? 3S n ? 8052 , 证明 {cn } 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,
lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

【答案】 (Ⅰ)显然 an ? n ? 1, an ? an ?1 ? an ? 2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列. 因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an ?1 ) ? f ( an ? 2 ) ? ? , 由 f (an ) ? f (an ?1 ) ? f (an ? 2 ) 得 k n ? k n ?1 ? k n ? 2
1- 5 <k ? 1? 2 5

解得

2

.

所以当

k ? (1,

1? 2

5

)

时, ???????3 分

f ( x ) ? k 是数列 {an } 的保三角形函数.
x

(Ⅱ)由 4 sn ?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4 sn ? 3sn ?1 ? 8052 ,
? 3? cn ? 2013 ? ? 两式相减得 4cn ?1 ? 3cn ? 0 ,所以 ?4?
n ?1

????5 分

经检验,此通项公式满足 4 sn ?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ,
3 n 3 n ?1 21 3 n ?1 cn ?1 ? cn ? 2 ? 2013 )+2013( ) ? ( ? 2013 ) ? cn ( 因为 , 4 4 16 4

所以 {cn } 是三角形数列.
? 3? g (cn ) ? lg[2013 ? ? (Ⅲ) ?4?
n ?1

???????8 分
? 3? ]= lg 2013+(n-1) lg ? ? ?4?,

所以 g (cn) 是单调递减函数.
? 3? lg 2013+(n-1) lg ? ? >0 由题意知, ①且 lg cn ?1 ? lg cn ? lg cn ? 2 ②, ?4?


由①得 由②得

(n -1) lg n lg 3 4

3 4

>- lg 2013

,解得 n ? 27.4 ,

>- lg 2013

,解得 n ? 26.4 . ???13 分

即数列 {bn } 最多有 26 项.

44. 【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】本题 12 分) ( 各项均为正数的数列 {an }
骣 + a 中,前 n 项和 S n = ? n ? ? 2 桫 1÷ ÷. ÷
2

(1)求数列 {an }的通项公式; (2)若
1 a1a2 1 a2 a3 +鬃 ? 1 an a n + 1 < k 恒成立,求 k 的取值范围;

+

【答案】






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