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四川省成都市新津中学2014届高三2月月考


新津中学 2014 届高三 2 月月考数学(理)试题

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项.) 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 1 1 A. 2 B. C. ? D. ?2 2 2
1 2. 设 a ? log 1 3 , b ? ( ) 0.3 , c ? ln ? ,则 3 2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

3.己知命题 “ ?x ? R, 使2 x 2 ? (a ? 1) x ? A. (??, ?1) B. (?1,3)

1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 2 C. (?3, ??) D. (?3,1)
开始 输入x k=0

4. 执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5.下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. x=x+5 ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; k=k+1 ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; 否 ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. x>23 ? 则正确的命题是 是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 输出k ? 6. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |? )的图象如图所示,为了 2 结束 得到 f ( x) 的图象,则只需将 g(x)=sin2x 的图象 ? y A. 向右平移 个长度单位 6 3 π 7π x 3 ? 12 B. 向左平移 个长度单位 正视图 O 6 1 ? -1 C. 向右平移 个长度单位 3 ? 俯视图(7题图) D. 向左平移 个长度单位 3 7. 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示, 则其侧 . 视图 的面积为 ..
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3 3 3 B. C. 1 D. 4 4 2 4 2 3 4 2 8. 若 (2 x ? 3) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 2 的值为 A. ?1 B. 1 C. 2 D. ?2
A.
? ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) 9.已知函数 f ( x ) ? ? ,且函数 y ? f ( x ) ? x 恰有 3 个不同的零点, ? f ( x ? 1)( x ? 0) 则实数 a 的取值范围是 A. (0,??) B. [ ?1,0) C. [ ?1,??) D. [ ?2,??)

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则 为 .
b2 的值 a1 ? a2

? x ? 0, ? 12. .若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, ( k 是常数)所表示的平面区域的边界 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?

是一个直角三角形,则 k ?

.

13. 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? . 14. 设 F 是 抛 物 线 C1 : y 2 ? 4 x 的 焦 点 , 点 A 是 抛 物 线 与 双 曲 线 C2 :
x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心 a 2 b2 率为 .

1 1 15. 给出定义:若 m ? < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整 2 2 数,记作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题:
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1 1 ① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ? , ] ; 2 2 ②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为 1 ; 1 3 ④ 函数 y =f (x ) 在 ( ? , ] 上是增函数. 2 2 则上述命题中真命题的序号是 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.) 16. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( ? ? x)(?>0) 的图像上两相邻最高点的坐 2

? 4 标分别为 ( ,2), ( ? ,2) . 3 3
(Ⅰ)求 ? 的值;

17. (本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品。 (Ⅰ)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次 取到次品的概率; (Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一 灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中) , 求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 x 的分布列和数学期望。


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18.(本小题满分 12 分) 在数列 ?a n ? 中,a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? c(c 为常数,n ? N ? ) ,且 a1 , a 2 , a5 成公比不等 于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?
1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 。 a n a n ?1


19. (本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上 的点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证:平面 A1 BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值.
E B E B 图1 图2 A D C D C A1



20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的两焦点在 x 轴上, 且两焦点与短轴的一个 a 2 b2

顶点的连线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形。 (Ⅰ)求椭圆的方程;
1 (Ⅱ)过点 S (0, ? ) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否 3

存在一个定点 Q,使得以 AB 为直径的圆恒过点 Q ?若存在求出点 Q 的坐标;若不 存在,请说明理由。
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21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, ( x ? 1) f ( x ) ? k 恒成立,求整数 ..k 的最大值; (Ⅲ)试证明: (1 ? 1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?? ? (1 ? n( n ? 1)) ? e

2 n ?3

(n? N*) 。

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新津中学高 2011 级高三(下)2 月月考试题
数学(理工类) 参改答案

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

3 sin ?x ? cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
6

)

由题意知 T ? ? , ? ? 2 .

……………………………………..(4 分)

(Ⅱ) f ( A) ? 2, 即 sin(2 A ?

?
6

) ? 1, 又 ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

11? , 6

?2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

.

……………………………………..(8 分)

b ? 2c sin B ? 2 sin C 2 3 2? ? ? ? [sin( ? C ) ? 2 sin C ] ? 2 sin( ? C ) ……………..(10 a sin A 3 3 6
分)

?0 ? C ?
分)

2? ? ? ? b ? 2c ? , ? ? ? ? C ? ,? ? 2 sin( ? C ) ? ( ?2,1) .…………….. ( 12 3 2 6 6 a 6

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?
(2 分)
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2 1 ? …. 10 5

有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得: 12 2 1 2 4 …………………………………..(5 分) P(B) ? C( ). ? 3 5 5 125 (Ⅱ)依据知 X 的可能取值为 1.2.3 …………………………………..(6 分) 8 4 且 P(x ? 1) …………………………………..(7 分) ? ? 10 5 2 8 8 ………………………………..(8 分) P(x ? 2) ? ? ? 10 9 45 2 1 8 1 …………………………………..(9 分) P(x ? 3) ? ? ? ? 10 9 8 45 则 X 的分布列如下表: X p 1 4 5 2 8 45 3 1 45
…………………………………..(10 分) …………………………………..(12 分)

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? 45 45 45 45 9

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a n ?1 ? a n ? c, a ? 1, c 为常数,∴ a n ? 1 ? (n ? 1)c
分) ………………………….. ( 2

∴ a 2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c . 又 a 1 , a 2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) 2 ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2
分) …………….(4

当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2n ? 1 ∴ bn ?

…………………………………..(5 分)

……………………………………(6 分) ………………………………(9 分)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n ?1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 1 n ………………………………………(12 分) (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE

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? A1D ? DE .又 DE ? DC , A1 D ? DC ? D, ? DE ? 平面 A1 DC .

又 DE // BC , ? BC ? 平面 A1 DC , 又 BC ? 平面 A1 BC ,故平面 A1 BC ? 平面 A1 DC ……
(4 分)

sin ? ?| cos ? m, BE ?| ?|

?4 4 |? 5? 5 5

…………………………………(8 分) ………………………………(9 分)

3 故直线 BE 与平面 A1 BC 所成角的余弦值为 . 5

(Ⅲ)设 CD ? x ,则 A1 D ? 6 ? x ,则 B(3, x,0), A1 (0,0,6 ? x ) , | A1 B |? 9 ? x 2 ? (6 ? x ) 2
? 2 x 2 ? 12 x ? 45 (0 ? x ? 6) ,则当 x ? 3 时 | A1 B | 最大为 3 3 .
分)

…………………(12

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ? b ? c 又斜边长为 2,即 2c ? 2 故 a ? 2c ? 2 , 椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………………(4 分)

1 16 (Ⅱ)当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ; 3 9

当 l 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1
1 2 16 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ,故若存在定点 Q,则 Q 的坐标只可能为 Q (0,1) . …… (6 3 9 ?? ? ?y ? 1 ?x2 ? y 2 ? 1 ?
分)

下证明 Q (0,1) 为所求:
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1 若直线 l 斜率不存在,上述已经证明.设直线 l : y ? kx ? , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 3

1 ? ? y ? kx ? ? (9 ? 18k 2 ) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0, ? ? 144k 2 ? 64(9 ? 18k 2 ) ? 0 , 3 ? ?x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ?
x1 ? x 2 ? 12k ? 16 , , x1 x 2 ? 2 18k ? 9 18k 2 ? 9

. …………………………(8 分)

QA ? ( x1 , y1 ? 1), QB ? ( x2 , y 2 ? 1)
QA ? QB ? x1 x 2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ?
分)

4k 16 ( x1 ? x 2 ) ? 3 9

………… (10

? (1 ? k 2 )

? 16 4k 12k 16 ? ? ? ?0 2 2 9 ? 18k 3 9 ? 18k 9

? QA ? QB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 Q (0,1) .

… …………………(13 分)

注: 此题直接设 Q ( a , b) ,得到关于 a , b 的恒成立问题也可求解.

21. (本小题满分 14 分)
1 ? ln( x ? 1)] 解: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ?( x) ? ? x ? 1 2 ? 0, x [

… …………………(3 分) ……………………………(4 分)

故 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是减函数 ( Ⅱ ) 当 x?0 时 , k ?
x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] x x ? 1 ? l n x(? 1) , h ?( x ) ? x2 h( x ) ?

x ?1 [1 ? ln(x ? 1)] 在 (0, ??) 上 恒 成 立 , 取 x

, …………………………………(6 分)
1 x ? ? 0, x ?1 x ?1



再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,

………………………(7 分)

而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,

………………………(8 分)

故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0; x ? (a, ??) 时, g ( x) ? 0,

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故 h( x) min ?

a ?1 ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), k ? 3, 故 kmax ? 3 ………………………(9 分) a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知: ? ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n(n ? 1), ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ?

3 1 1 ? 2 ? 3( ? ), n(n ? 1) n n ?1

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