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上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一 律得零分. 1. (3 分)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∪B=.

2. (3 分)“若

,则

”是

(真或假)命题.

3. (3 分)函数

的定义域为.

4. (3 分)命题“若 x≠3 且 x≠4,则 x ﹣7x+12≠0”的逆否命题是. 5. (3 分)已知 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=.

2

6. (3 分)若幂函数 f(x)的图象经过点

,则 f(x)=.

7. (3 分)若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是.

x

8. (3 分)设函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数,若 f(﹣2)=11,则 f(a)=. 9. (3 分)设 x>0,则 x+ 的最小值为.

10. (3 分)已知 y=f(x)是 R 上的偶函数,且 f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≥f(2) ,则 a 的 取值范围是. 11. (3 分)已知关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2},则不等式 c(2x+1) +b(2x+1)+a>0 的解集为. 12. (3 分)近几年,每年 11 月初,黄浦江上漂浮在大片的水葫芦,严重影响了黄浦江的水利、水质、航 运和市容景观.为了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关.如图是科研人员在实验室池塘中观察水 葫芦的面积与时间的函数关系图象.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法: ①此指数函数的底数为 2; 2 ②在第 5 个月时,水葫芦的面积会超过 30m ; 2 2 ③水葫芦从 4m 蔓延到 12m 只需 1.5 个月; 2 2 2 ④设水葫芦蔓延至 2m 、3m 、6m 所需的时间分别为 t1、t2、t3,则有 t1+t2=t3; 其中正确的说法有. (请把正确的说法的序号都填在横线上) .
2 2

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有 且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 3 分,不选、错选或者选 出的代号超过一个(不论代号是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13. (3 分)下列命题中正确的是() A.若 ac>bc,则 a>b C. 若 ,则 a>b B. 若 a >b ,则 a>b D.若 ,则 a>b
2 2

14. (3 分)设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 15. (3 分)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= A.{y|y>1} B.{y|y≥1}
﹣x

},则 M∩P=() C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

16. (3 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组



18. (8 分)已知函数

,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

19. (10 分)设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0,x∈R}, (1)若 A∩B=A∪B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分)将长为 12 米的钢筋截成 12 段,做成底面为正方形的长方体水箱骨架,设水箱的高 h,底面 边长 x,水箱的表面积(各个面的面积之和)为 S. (1)将 S 表示成 x 的函数; (2)根据实际需要,底面边长不小于 0.25,不大于 1.25,当底面边长为多少时,这个水箱表面积最小值, 并求出最小面积.

2

2

2

21. (14 分)已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0) ,其中 a、b 为实常数. (1)若方程 f(x)=3x+1 有且仅有一个实数解 x=2,求 a、b 的值; (2)设 a>0,x∈(0,+∞) ,写出 f(x)的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明; (3)若对任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,求实数 b 的取值范围.

上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一 律得零分. 1. (3 分)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∪B={﹣1,0,1,2,4}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算,即可. 解答: 解:∵A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2}, ∴A∪B={﹣1,0,1,2,4}, 故答案为:{﹣1,0,1,2,4}, 点评: 本题主要考查集合的基本运算比较基础.

2. (3 分)“若

,则

”是真(真或假)命题.

考点: 四种命题. 专题: 不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 根据不等式的基本性质,结合已知中 ,分析 中两个不等式是否成立,可得答案.

解答: 解:若若 则 x+y>2, xy>1, 故 为真命题,



故答案为:真; 点评: 题考查的知识点是命题的真假判断与应用,说明一个命题为真,需要经过严谨的论证,但要说明 一个命题为假命题,只需要举出一个反例.

3. (3 分)函数

的定义域为[﹣2,1)∪(1,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据题目中所给函数结构,求使函数有意义的 x 的值,再求它们的交集即可. 解答: 解:要使函数有意义,需满足 ,解得:﹣2≤x≤2 且 x≠1,

所以函数的定义域为:[﹣2,1)∪(1,2]. 故答案为:[﹣2,1)∪(1,2]. 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. 4. (3 分)命题“若 x≠3 且 x≠4,则 x ﹣7x+12≠0”的逆否命题是若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可. 解答: 解:逆否命题是:若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4; 2 故答案为:若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题. 5. (3 分)已知 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=x ﹣2x, (x≥2) .
2 2 2 2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,x﹣2≥0,从而化简 f(x)?g(x)即可.

解答: 解:由题意,x﹣2≥0, 故 x≥2; f(x)?g(x)=x(x﹣2)=x ﹣2x, 2 故答案为:x ﹣2x, (x≥2) . 点评: 本题考查了函数的解析式的求法及应用,属于基础题.
2

6. (3 分)若幂函数 f(x)的图象经过点

,则 f(x)=



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x (α 为常数) ,可得 解答: 解:设幂函数 f(x)=x (α 为常数) , ∵ ,
α α

,解出即可.

解得 α=﹣ . ∴f(x)= 故答案为: . .

点评: 本题考查了幂函数的定义,属于基础题. 7. (3 分)若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1].
x

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像变换. 函数的性质及应用. 根据指数函数的图象和性质即可得到结论. 解:∵函数 f(x)为减函数,
x

∴若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限, 则满足 f(0)=1+m≤0,即 m≤﹣1; 故答案为: (﹣∞,﹣1] 点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,比较基础. 8. (3 分)设函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数,若 f(﹣2)=11,则 f(a)=﹣11. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数知 a=2;从而解得. 解答: 解:∵函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数, ∴a=2; 又∵f(﹣2)=11, ∴f(2)=﹣f(﹣2)=﹣11;

故答案为:﹣11. 点评: 本题考查了函数的性质的应用,属于基础题.

9. (3 分)设 x>0,则 x+

的最小值为



考点: 专题: 分析: 解答: ∴x+

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>0, =x+1+ ﹣1 ﹣1= ﹣1,当且仅当 x= ﹣1 时取等号.

故答案为: . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 10. (3 分)已知 y=f(x)是 R 上的偶函数,且 f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≥f(2) ,则 a 的 取值范围是[﹣2,2]. 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到 f(x)的单调性,利用单调性去掉抽象不等式的对应 f,解不等式得到解集. 解答: 解:∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数 ∴y=f(x)在[0,+∞)是减函数 ∵f(a)≥f(2) , ∴|a|≤2 ∴a∈[﹣2,2] 故答案为:[﹣2,2] 点评: 本题考查偶函数的单调性:对称区间上的单调性相反;利用单调性解抽象不等式. 11. (3 分)已知关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2},则不等式 c(2x+1) +b(2x+1)+a>0 的解集为(﹣ ,0) .
2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 1,2 是方程 ax +bx+c=0(a<0)的两根,运用韦达定理得到 b=﹣3a,c=2a,代入所 求不等式,再由一元二次不等式的解法,即可得到解集. 2 解答: 解:关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2}, 2 即有 1,2 是方程 ax +bx+c=0(a<0)的两根, 则 1+2=﹣ ,1×2= , 即有 b=﹣3a,c=2a, 2 不等式 c(2x+1) +b(2x+1)+a>0 即为 2 2a(2x+1) ﹣3a(2x+1)+a>0, 2 即 2(2x+1) ﹣3(2x+1)+1<0,
2

即有 <2x+1<1, 解得,﹣ <x<0. 则解集为(﹣ ,0) . 故答案为: (﹣ ,0) . 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次方程的韦达定理,考查运算能力,属于基础题和易错 题. 12. (3 分)近几年,每年 11 月初,黄浦江上漂浮在大片的水葫芦,严重影响了黄浦江的水利、水质、航 运和市容景观.为了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关.如图是科研人员在实验室池塘中观察水 葫芦的面积与时间的函数关系图象.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法: ①此指数函数的底数为 2; ②在第 5 个月时,水葫芦的面积会超过 30m ; 2 2 ③水葫芦从 4m 蔓延到 12m 只需 1.5 个月; 2 2 2 ④设水葫芦蔓延至 2m 、3m 、6m 所需的时间分别为 t1、t2、t3,则有 t1+t2=t3; 其中正确的说法有①②④. (请把正确的说法的序号都填在横线上) .
2

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据其关系为指数函数,图象过(4,16)点,得到指数函数的底数为 2,当 t=5 时,s=32>30, 利用指对互化做出三个时间的值,结果相等,根据图形的变化趋势得出命题③错误. 解答: 解:∵其关系为指数函数, 图象过(4,16)点, ∴指数函数的底数为 2,故①正确, 当 t=5 时,s=32>30,故②正确 3.5 4 对应的 t=2,经过 1.5 月后面积是 2 <12,故③不正确; 3 6 ∵t1=1,t2,=log2 ,t3=log2 , ∴有 t1+t2=t3,故④正确, 综上可知①②④正确. 故答案为:①②④. 点评: 本题考查指数函数的变化趋势,解题的关键是题目中有所给的点,根据所给的点做出函数的解析 式,从解析式上看出函数的性质.

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有 且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 3 分,不选、错选或者选 出的代号超过一个(不论代号是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13. (3 分)下列命题中正确的是() 2 2 A.若 ac>bc,则 a>b B. 若 a >b ,则 a>b C. 若 ,则 a>b D.若 ,则 a>b

考点: 命题的真假判断与应用. 2 2 分析: 对于 A,c>0 时,结论成立;对于 B,a=﹣2,b=﹣1,满足 a >b ,但 a<b;对于 C,利用不等 式的性质,可得结论成立; 对于 D,a=﹣1,b=2,满足
2

,但 a<b,由此可得结论.
2

解答: 解:对于 A,c>0 时,结论成立,故 A 不正确; 对于 B,a=﹣2,b=﹣1,满足 a >b ,但 a<b,故 B 不正确; 对于 C,利用不等式的性质,可得结论成立; 对于 D,a=﹣1,b=2,满足 ,但 a<b,故 D 不正确.

故选 C. 点评: 本题考查命题真假的判断,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 14. (3 分)设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 如果能从命题甲推出命题乙,且能从命题乙推出命题甲,那么 条件乙与条件甲互为充分必要条 件,简称充要条件,如果只是其中之一,则是充分不必要条件或是必要不充分条件. 解答: 解:∵:|x﹣2|<3, ∴﹣1<x<5, 显然,甲?乙,但乙不能?甲, 故甲是乙的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题主要考查了充要条件,以及绝对值不等式的解法,属于基础题.如果能从命题 p 推出命题 q, 且能从命题 q 推出命题 p,那么 条件 q 与条件 p 互为充分必要条件,简称充要条件. 15. (3 分)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= A.{y|y>1} B.{y|y≥1}
﹣x

},则 M∩P=() C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

考点: 交集及其运算;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先化简这两个集合,利用两个集合的交集的定义求出 M∩P. 解答: 解:∵M={y|y=2 }={y|y>0},P={y|y= ∴M∩P={y|y>0},
﹣x

}={y|y≥0},

故选 C. 点评: 本题考查函数的值域的求法,两个集合的交集的定义,化简这两个集合是解题的关键.

16. (3 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 证明题. 分析: 先利用函数图象过点(0,1) ,排除选项 CD,再利用当 x=1 时,函数值小于 1 的特点,排除 A, 从而选 B 解答: 解:令 x=0,则 令 x=1,则 =1,即图象过(0,1)点,排除 C、D;

= <1,故排除 A

故选 B 点评: 本题主要考查了指数函数的图象和性质,利用特殊性质、特殊值,通过排除法解图象选择题的方 法和技巧,属基础题 三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 分别解不等式 解答: 解:由
2

≤2 与 x ﹣6x﹣8<0,最后取其交集即可. ≥0,解得 x<﹣1 或 x≥1;

2

≤2 得:

由 x ﹣6x﹣8<0 得:3﹣ <x<3+ , ∴不等式组得解集为(3﹣ ,﹣1)∪[1,3+ ) . 点评: 本题考查分式不等式与一元二次不等式的解法,考查集合的交并补运算,属于中档题.

18. (8 分)已知函数

,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

考点: 专题: 分析: 解答: 又∵

函数奇偶性的判断. 函数的性质及应用. 先求出函数的定义域,再求出 f(﹣x)并与 f(x)进行比较,根据函数奇偶性的定义判断. 解:由题意知,函数的定义域是 R, ,

∴f(x)为奇函数. 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断方法:定义域法,先求出定义域判断是否关于原点对称,再求出 f (﹣x)并与 f(x)进行比较,再结合定义下结论. 19. (10 分)设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0,x∈R}, (1)若 A∩B=A∪B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: (1)解 x +4x=0 可得集合 A,又由 A∩B=A∪B 可得 A=B,即方程 x +2(a+1)x+a ﹣1=0 的两 根为 0、﹣4,由根与系数的关系可得关于 a 的方程,解可得答案; (2)根据题意,由 A∩B=B 可得 B?A,进而可得 B=?或{0}或{﹣4}或{0,﹣4},分别求出 a 的值,综合 可得答案. 解答: 解: (1)A={x|x +4x=0,x∈R}={0,﹣4} 若 A∩B=A∪B,则 A=B, 则有 a+1=2 且 a ﹣1=0, 解可得 a=1 (2)若 A∩B=B,则 B?A ∴B=?或{0}或{﹣4}或{0,﹣4}; 2 ①当 B=?时,△ =[2(a+1)]2﹣4?(a ﹣1)<0?a<﹣1 ②当 B={0}时, ?a=﹣1
2 2 2 2 2

③当 B={﹣4}时,

?a 不存在

④当 B={0,﹣4}时,

?a=1

∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪{1}. 点评: 本题考查集合间的相互关系,涉及参数的取值问题,解(2)时,注意分析 B=?的情况.

20. (12 分)将长为 12 米的钢筋截成 12 段,做成底面为正方形的长方体水箱骨架,设水箱的高 h,底面 边长 x,水箱的表面积(各个面的面积之和)为 S. (1)将 S 表示成 x 的函数; (2)根据实际需要,底面边长不小于 0.25,不大于 1.25,当底面边长为多少时,这个水箱表面积最小值, 并求出最小面积.

考点: 函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据长方体的表面积公式即可将 S 表示成 x 的函数; (2)根据表面积对应的函数,结合一元二次函数的性质即可得到结论. 解答: 解: (1)由题得 8x+4h=12…(2 分) 2 水箱的表面积 S=4xh+2x …(4 分) , ∴S=x(12﹣8x)+2x =﹣6x +12x(5 分) ,
2 2 2

…(6 分)

(2)S=﹣6(x﹣1) +6(8 分) x∈[0.25,1.25]…(9 分) , ∴当 …(11 分) 平方米…(12 分)

∴当水箱的高与底面边长都为 0.25 米时,这个水箱的表面积最小,为

点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关 键.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0) ,其中 a、b 为实常数. (1)若方程 f(x)=3x+1 有且仅有一个实数解 x=2,求 a、b 的值; (2)设 a>0,x∈(0,+∞) ,写出 f(x)的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明; (3)若对任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,求实数 b 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)依题意,原方程可化为 2x +(1﹣b)x﹣a=0,由
2

即可解得 a、b 的值;

(2)当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数;利用定义证 明时,先设 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2,再作差 f(x2)﹣f(x1)后化积讨论即可; (3)依题意得 ,可解得到 b≤ ,从而可得实数 b 的取值范围.

解答: 解: (1)由已知,方程)=x+ +b=3x+1 有且仅有一个解 x=2, 因为 x≠0,故原方程可化为 2x +(1﹣b)x﹣a=0,…(1 分) 所以 ,…(3 分)解得 a=﹣8,b=9.…(5 分) )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数.…(7 分)
2

(2)当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(0, 证明:设 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2, f(x2)﹣f(x1)=x2+ ﹣x1﹣

=(x2﹣x1)?



因为 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2, 所以 x2﹣x1>0,x1x2>a, 所以 f(x2)﹣f(x1)>0.…(10 分) 所以 f(x)在( ,+∞)上是增函数.…(11 分) (3)因为 f(x)≤10,故 x∈[ ,1]时有 f(x)max≤10,…(12 分) 由(2) ,知 f(x)在区间[ ,1]的最大值为 f( )与 f(1)中的较大者.…(13 分)

所以,对于任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,当且仅当





对任意的 a∈[ ,2]成立.…(15 分) …(17 分)

从而得到 b≤ .

所以满足条件的 b 的取值范围是(﹣∞, ]. …(18 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查函数单调性的判断与证明,考查方程思想与等价转化思想的综合 运用,属于难题.


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