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竞赛辅导-材料力学-综合题


周培源大学生 力学竞赛辅导
《材料力学》 综合与真题精讲
凌 伟 主讲

1、组合变形的应力与强度 2、超静定系统的内力与变形

1、一直径 d =2cm 的圆杆。其中间一段恰好插入直径亦为 2cm 的刚 性圆孔中,杆受压力 F = 44kN 和扭转外力偶 M0 = 47N·m 的作用。 已知杆材料的弹性模量 E =

210GPa,泊松比 ? = 0.3,许用应力[? ] = 160MPa,假设杆与孔壁间为光滑接触。试求: (1)画出危险点的应力状态; (2)按第三强度理论校核危险点的强度。 (2008陕西省力学竞赛材料力学题3) F 刚体 4F 解: ? t ? ? r ? ? p ? x ? ? ? D2 M0 1 4? F [? p ? ? p ? ]?0 ?t ? 2 EA ?D

M0 F

M0 ? ? WP

x

p

?
t

p r

?x

例1、 铝柱(EA、 ?A)与钢套(ES、 ?S )光滑套合,钢套厚度为 ?,内径为 D,铝柱受轴向压力F 的作用。计算铝柱的变形。

解: 解除钢套与铝柱之间的约束,用
均匀压强 p 代替: 铝柱受外压 p 和轴向压力 F

F L

F

?x ? ?
铝柱周向 径向应变

1 4? F q [? p ? ? p ? ] ?t ? EA ? D2 pD 钢套受内压 p ? t ? ? r ? ? p (可忽略) 2? pD ? 钢套周向应变 ? t ? 2 ES ? 变形协调条件:周向应变相等 ? t ? ? t ?
p? 8? A ES F ? ? D 2 [ E A D ? 2(1 ? ? A ) E S ? ]

4F ? D2

?t ? ?r ? ? p

q

例2、气缸 AB 是一个长度 L 外径 D 内径 d 的薄壁圆筒,端盖 B 处安装有长度 a 的曲柄 BC,曲柄端点 C 作用集中力F,气缸 内充满压强为 p 的气体,试分析: 1)气缸的危险截面和危险点位置; 2)画出危险点的应力状态并写出各应力分量: 3)两个端盖上的12个螺栓距气缸轴线距离为 R’,直径为 d’, 其中最危险的是哪个?写出螺栓上的各内力和应力分量 (2010陕西省力学竞赛材料力学备用题) C

F
D A L B a

R’

解: 1)气缸危险截面在弯矩最大的固定端A处(由于端盖约束此 处气缸周向拉应力为零,但稍远处即出现,可近似认为在A处)。 危险点在气缸顶部。 2)危险点应力状态如图

? x ? ? x1 ? ? x 2
pD ?y ? 2t

? x1 ?

FL pD ? x2 ? 4t Wz
Q1’


Fa ?? Wp

① Q2’ R’

①’

3)最危险螺栓为固定端的螺栓 如图, 横截面有剪力Q’ 和轴力N’

6Q1?R? ? Fa

??F 6Q2

? ? ? ? Q ? ? Q1? ? Q2



每个螺栓都有相等
? 4N2

合成不同

螺栓②最大① ③次之

3R? ? FL 螺栓②无,① ③相反 2

? N ? ? N1? ? N 2

N1? ?

p πD 6 4

2

每个螺栓都有相等

N? ? ? ? A?

Q? ?? ? A?

3、骄傲自满的大力士
有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足 球场的球门坏了一半,高度长度为 H = L = 2.4m ,立柱和横梁均为实心圆 柱, d = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意:和丈夫比赛。比赛规则是: 通过系在横梁 B 端中点的绳索, 只能用静力拉球门,看谁能把球门拉倒; 绳索的重量不计,长度不限。采用第三强度理论,材料的强度极限 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输,他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是 μ=0.5 ,自己重量为 G = 700N ,夫人重量为 G = 510N 。为了显示自己的 大度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以 B 在地面的投影 C 为 圆心,在地面上画了一个半径R = 0.8m 的圆圈,要求丈夫身体在地面的投影 不能进该圆圈,但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不 起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定让绳索与 xy 平面平行,但绳索与地面的夹 角θ不知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力 气,但是球门居然纹丝不动。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了! (1)丈夫能给绳索的拉力最大为多大? (2)球门中危险点位置?最大应力多大? (3)夫人怎样把球门拉倒?

(第6届周培源竞赛第2题)

讨论: (1)身高是不是问题? (2)拉力的作用位置与方向? (3)绳子的最大拉力? N F? F B

L=2.4m 60mm R x L z

?
G

解:F sin ? ? 0.5(G ? F cos ? )
?1

0.8 ? 18.43 绳子与垂线夹角 ? min ? tan 2.4 y F ? 443N FH 1 ? F sin ? ? 140 N FV 1 ? F cos ? ? 420N
M z1 ? FH 1 L ? 336Nm ? T1
? r1 ?
2 My ? M z2 ? T 2

x-y 平面拉力

M y1 ? FV 1 L ? 1008Nm

Wz

?

1114 ? 52.6MPa Wz

? max ? 90? F ? 350N ? FH 1 FV 1 ? 0
? r1 ?
2 My ?T2

M z1 ? FH 1 L ? 840Nm ? T1

Wz

?

1188 ? 56.1MPa Wz

加轴力

? 1? ?

2 My ? M z2

Wz

?

FV 1 ? 22.4 ? 14.85 ? 37.25MPa A

? 1? ?

T2 ? 23.77MPa WP

? r?1 ? 60MPa

? r2 ?

510 ? 2.4 ? 57.7MPa Wz

加轴力

? r?2 ?

510 ? 2.4 510 ? ? 57.7 ? 18.0 ? 75.5MPa Wz A

4、图示等截面圆环由两段圆弧曲杆在AB两点铰接而成,设圆弧曲 杆截面抗弯刚度为EI,试求各段曲杆中的最大弯矩。(保留三位有 效数字) 解:解除两段圆弧曲杆约束 解: F1 F2 F 平衡条件为 A A’ R F1 ? F2 ? F 90° 1阶超静定
90°

B F1

F
M 1 (? ) ?

B’ F2
M 2 (? ) ?

几何方程

?AB ? ?A?B?
2 F2 R (sin ? ? 1 ? cos ? ) 2

2 F1 R (sin ? ? 1 ? cos ? ) 2

莫尔 ? AB 积分
?A?B?

? 4 F1 R 3 F1 R 3 F1 R 3 ? 3 2 ( ? ) ? 0.142 ? ? 2 ? (sin ? ? 1 ? cos ? ) d? ? 2 0 EI 2 EI EI 2 2
? 4 F2 R 3 F2 R 3 3? 3 ? 12.424 F2 R 2 ? ? 2 ? (sin ? ? 1 ? cos ? ) d? ? 2 ( ? ) 0 2 EI EI 2 2 2 EI
3

载荷按 刚度分配

0.142 F1 ? 12.424 F2

F1 ? 87.5 F2 ?

M 1max (? ) ? (1 ?

2 ) F1 R ? 0.290 FR 2

87.5 F ? 0.989 F F2 ? 0.011F 88.5 2 ) F2 R ? 0.019 FR M 2 max (? ) ? (1 ? 2

5、图示长度均为l的等截面悬臂梁 AB 和 CD 自由端与长度为l的杆 BD 铰接,杆 BD 铰接中点受到集中力 F 作用。三杆材料相同,截 , 面均为外径为 D 内径为 d 的空心圆杆,试求二梁中的最大弯矩与 BD 杆中的最大轴力。 l A F l/2 C D B l/2
?A ?
Fl 3EI
3

l

F A

解一: 解一 利用对称性,杆 BD两端的受力均为 F/2 ,所以二梁中的最大弯 矩为Fl/2,杆BD中的最 大拉力和压力均为F/2。

解二:解除多余约束,设 BD杆上下两端的铰接力分别为为 X 和 X’, 解二: 平衡方程

X ? X? ? F

约束条件
X ?l3 ?? ? 3EI

?? ? ? ? ?l

二梁挠度分别为 BD杆伸长量

X l3 ?? 3EI

Xl X ?l ? ?l ? 2 EA 2 EA

X? ? X ? F /2

梁中的大弯矩为 Fl/2,杆BD 中的最大拉力和压力均为 F/2

6、悬臂梁 AB 长度为 L,抗弯刚度为 EI,梁本身自重忽略不计, 在自由端 B 下方有一个下端固定上端铰支的压杆,与梁端相距铅垂间 隙 ? = 0.2 mm , 当梁在自由端作用静载荷 Q = 10 kN 时,梁端正好与 压杆接触,若将 Q 突然施加在自由端,则梁接触压杆后使其压缩了 ? ′= 0.1 mm。 ( 1 ) 求压杆的刚度 K;( 2 ) 若 Q 为自由落体,冲击高度 H = 10 mm,求压杆的最大动变形; = 60,中长杆临界应力公式为 ?cr = 460 - 2.567 ?,则在上述冲击载荷 作用下(H = 10 mm),求压杆的最大动应力和临界应力。 Q EI A L l B F ( 3 ) 若压杆弹性模量 E = 200 GPa,直径 d = 30 mm,?P = 100,?S

(2008陕西省力学竞赛材料力学第4题) H EI A l
Fl3 yB ? 3EI

?′

?

B

yB

解:1. 解: 梁的刚度

? 1 1 设拉压刚度 k V ? Q (? ? ? ?) ? K (? ? ? ?) 2 ? k? ?2 2 2 50 2 0.12 10 ? 0.3 ? 0.3 ? k k ? 150 kN/mm 2 2 ? 200 ? ? 900 EA 4 ? ? 942.5mm l? k 150 1 1 2 2 ( ) ( ) Q H ? ? ? ? ? K ? ? ? ? k ?d 2. 设压杆动变形 ? d d d 2 2
10 ? 10.2 ? Q? d ? 1 1 K ? 2 ? K ?? d ? k ? 2 d 2 2

K?

Q

? 50 kN/mm

? d ? 1.16 mm

?d ? E

?d
l

? 200 ?

3. 稳定性计算

1.16 ? 246MPa 942.5 d i ? ? 7.5mm ? ? 0.7 4

??

?
i

l?

0.7 ? 942.5 ? 88 7.5

?cr = 460 - 2.567 ×88 = 234MPa

已知变形公式无用!

1 X 2 F 3

7、图示桁架受力模型,钢圈视为刚性, 1)求各杆内力 (第9届周培源竞赛第2题) X ? FN1 解一: 工况1 解除多余约束 3 F l ? 2 Fl ? 1 F ? ? N i FN0i = i ? 2 EA EA

FN 2 ? FN 3 ? ?F
解二:

FN01 ? FN02 ? FN03 ? 1

? 11

3l F N0i F N0i l ? ? ? EA EA i ?1
3

l

2

1

? ?

3

? 1? ? 1F ? X ?11 ? 0
2F X ? FN1 ? ? ?2FN2 3 2 Fl ?= 3 EA 2F ? 2FN2 3

工况2

同理

F

?

A

F 2 1 3

AA? ? ?l1 ? ?l2 cos ?
2FN 2 ? FN1 2FN 2 cos? ? FN1 ? F

X ? FN1 ? ?

工况3 2 1 综上 F 3 工况1

静定结构

FN1 ? 0 FN 2 ? ?FN 3 ?

2 FN max ? ? F 3 1 1 2 F ? ? F ? F ? F ?0 杆2 N 3 3 3 1 1 2 ? F ? 0 ?? F ?? F 3 3 3

3 F 3

2)压杆稳定性

l?

D1 ? D2 ? 25d 2

?p ? ?

E

?p

? 20? ? 62.8

?l d ? ? 1 ? ? ? 100 i 4 ? 2 E 4? 2 ?cr ? 2 ? ? p ? 0.395? p ? 100
i?

? 2E ?3 Fcr ? ?cr A ? 2 A ? ? pd 2 ? 0.31? pd 2 100 ? 2 ? d 3 Fcr 3? 3 ? ? pd 2 ? 0.465 p F?
2 n 200n n

3)圆心位移

工况1、2

相同

?= ?=

2 Fl 3 EA

3 Fl l l = = ? ? ? 工况3 2 3 3 EA
工况4:任意位置

? l3
cos30 ?

=

2 Fl 3 EA

Fx = F cos ?

F y = F sin ?

2 F cos ? l ?x = EA 3

2 F sin ? l ?y = EA 3 2 Fl ? F = ?x2 ? ? y2 = 3 EA

4)重新设计(条件限制不清,应为不改变内外环半径) 杆长、面积不变 只改变截面形状(增大惯性矩) 矩形行不行? 正多边形? 边越多越接近圆形 正方形

?
4

d =a

2

2

a =0.886 d

d a i= ? 0.257 d ? ? 0.25 d 4 12

? 2 E 400? 2 25?d ? p ? 0.417? p ?? ? 97.3 ?cr ? 2 ? 2 97.3 ? 0.257d 0.417 ? 0.395 ?? ? 5.6% 正三角形 0.395 3 4 ? 2 3 2 I b = d = b b =1.347 d z
4 4 96 i= b ? 0.275 d 24

??

25? d ? 90.91 0.275d

? 2 E 400? 2 ?cr ? 2 ? ? ? 0.478? p 2 p 90.91 ?

??

0.478 ? 0.395 ? 21% 0.395

施加初载荷(应力)—— 装配应力

杆长、形状、面积不变 形状

?F1 ? ?F2 ? ?F3
F 2 1 3

Fcr ? ?cr A ? 0.31? pd 2 ? FN1 ?cr ? 0.395? p

2F ? ?? ? ?cr 3A

2F ? ?? ? ? P 3A

?? ?

? P ??cr
2

? 0.3025? P FN ? ? F A ? 0.5478? Pd 2

? F ? 0.6975? P
1 2 F 3

??

0.6975 ? 0.395 ? 76.6% 0.395

E

y

L
C A x B y

F D

L

8、图示空间刚架受力模型-1 (力学竞赛与建模P249 问题9.9, 教材P196 习题11-20) 解:充分利用对称性 解:

L
F/2 正对称加载 一阶超静定 变形几何条件 x 逐段刚化 MC C

MC ? X

L

?C ? 0 (绕 x 轴)
3 MC L FL M ? FL ?DE ? ? L C 28 GIP 2? 4GIP

MC L F L 2 ?CD ? ? ( ) EI 2 2EI 4

正对称加载

FB ? FD ? F / 2
y

TB ? TD ? 0
F/2 FD

MB ? MD
一阶超静定

L
F/2 x FB MB C TB MD

TD

变形几何条件

?C ? 0 (绕 x 轴) ?BA ? ?BC

L

?BA ?

MB L 5MB L F L F L 2 MB L ? ?BC ? B ( )2 ? ( ) ? EI 2 GIP 4EI 2EI 2 2EI 4

MB ?

FL 56

容易错!

y

F/2

反对称加载 二阶超静定

TC ? X2

RC ? X3

L
TC x RC C

变形几何条件

?C ? 0 (绕 y 轴) vC ? 0
逐段刚化 vCD ?

RC L 3 F L 3 ( ) ? ( ) 3EI 2 6EI 4

1 F 3 TC 2 L FL L L vDE ? (RC ? )L ? L ? (RC ? ) 3EI 2 2EI 2 2 4 GIP 2 576RC L ? 95FL ?192TC ? 0 T L 5T L ?CD ? C ? C GIP 2 8EI TC L F L2 ?DE ? ? ( ? RC ) 2 2EI EI 13TC ? 2FL ? 4RC L ? 0

193 TC ? ? FL 1680

851 RC ? F 6720

y

F/2 FD

反对称加载 TD FB ? FD TB ? TD MB ? MD

L
F/2 x FB MB C TB MD

MC ? 0

FL FB L ? ? MB 8 2


二阶超静定 变形几何条件

L

FB L3 TB L2 ? vBA ? 3EI 2EI FB L2 TB L ?BA ? ? 2EI EI

vC ? 0 ?C ? 0 绕 y 轴 FB L 3 F L 3 MB L 2 ( ) ? ( ) ? ( ) vBC ? ? 3EI 2 6EI 4 2EI 2 TB L 5 ?BC ? ? ?? TB L 8EI GIP 2
有 错!

正对称+反对称加载叠加 F/2 y

y

F/2

L
x C

L
TC

TC ? ? RC ?

193 FL 1680

MC

3 MC ? FL 28

x

RC

C

851 F 6720

1 1 TE ? ?MC ? FL ? RC L ? 0.079FL 4 2 ME ? FL ? RC L ? TC ? 0.758FL 1 TA ? MC ? RC L ? ?0.044FL 2 MA ? TC ? RC L ? 0.242FL
强度计算 危险截面 E

MEr ? 0.762FL ? 0.305kNm

MAr ? 0.246FL ? 0.098kNm
参考书上解出 A 截面更危险 明显有悖工程常理!

M 2 ?T 2 ?r ? ? 26.9mm Wz

y

L L L L
y

图示空间刚架受力模型-2 (第9届周培源竞赛第4题) 1)求重量与最大线应变的关系 2)强度计算 ?r ? E?max 正确? x 3)应变片设计 求解思路: 考虑极端状态载荷作用在杆端 D点加载 一个对称载荷 F/2 和 m/2 一个反对称载荷 F/2 和 m/2 x 杆端载荷变形计算比较简单 A点加载 一个对称载荷 F/2

L L L L

M 2 ?T 2 ?r ? 可忽略扭矩! Wz

一个反对称载荷 F/2

?r ? E?max 一般可用

164 12 MA ? FL TA ? FL 195 195

E

y

L
M A x B y

D

图示空间刚架受力模型-2 (力学竞赛与建模P245 问题9.7, 教材P196 习题9-21) 解: BD 刚性 二阶超静定 利用对称性 (反对称载荷) 变形几何条件

b

L L
TC x RC C M/2

?C ? 0 (绕 y 轴) vC ? 0
RC L3 TC 2 RCbL b ML b ? ? vC ? L? 3EI 2EI 2GIP 2 2GIP 2
TC L RC L2 RL ?DE ? ? TC ? C EI 2EI 2

RC ? ?

15Mb 4L2 ?15b2


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