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2016届黑龙江省大庆中学高三上学期期末考试数学(文)试题


大庆中学 2015—2016 学年上学期期末考试 高三年级文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。) 1、设 U=R,A={x|x>0

},B={x|x>1},则 A∩?UB 等于( A. {x|0≤x<1} B. {x|0<x≤1} ). C. {x|0≤x≤1} ). D. 45°或 135° D. {x|0<x<1}

2、在△ABC 中,已知 a= 6 ,c=2,A=60°,那么 B 等于( A. 75° B. 75°或 105° ).

C. 45°

3、 “(2x-1)x=0”是“x=0”的( A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 ).

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4、设复数 z 满足(1+i)z=2i,则 z 等于( A. -1+i A. 20 B. -1-i B. 22

C. 1+i ). C. 24 ).

D. 1-i D.48

5、在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a11+a7 的值为( 6、一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的体积是(

A. 112cm D.

3

B. 96cm

3

C.

224 2 cm 3

112 2 cm 3
).

7、运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254,则①处应为(

A. n≤8 ?

B. n≤7 ?

C. n≤6 ?

D. n≤5 ?



1第

8、 已知函数 f ( x) ? A sin ? 5,则 A 的值为( A. 1 ).

?? ?? x ? ? ( A ? 0) 在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是 6? ?3

B. 2

C. 3

D. 4

9、若等边三角形 ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 CM ? A. 2 3 B. ?2 3 C. 2

???? ?

? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 ??? CB ? CA ,则 MA?AB 等于( 3 3
D. -2
/

).

10、已知函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线方程是 y = - 2x + 8,则 f(5)+f (5)等于( A. 4 B. 2 C. -2 D. - 4

).

11、已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为( m
C. 7 D.

).

A.

30 或 7 6
1 3 2 3 5 3

B.

30 或7 6
7 3

30 6
)

12、若 f(a)=(3m-1)a+b-2m,当 m∈[0,1]时,f(a)≤1 恒成立,则 a+b 的最大值为( A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中横线上) 13、已知 x、y 的取值如下表: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
? ? 0.95 x ? a ,则 a = 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 y

. 14、观察下列式子:

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? ? , 根 据 以 上 式 子 可 以 猜 想 : 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 ; 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? 2 3 20162 1?
15、函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ? ) 的图象如图所示,则 ? = . 16、已知点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴上,正△OAB 的面积为 3 ,其斜二测画法的直观图为 ?O ?A?B ? , 则点 B′到边 O ?A? 的距离为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n , 数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn ?1 ? bn ? (2n ? 1) (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项 a n ; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项 bn ;
页 2第

? n ? 1 , 2 ,3 ,?? .

(Ⅲ)若 cn ?

an ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . n

18、随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同 学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.
[来源:Z.X.X.K]



3第

19、如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1) 求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2) 求证:C1F∥平面 ABE;

20、已知抛物线的顶点为(0,0),准线为 x=-2,不垂直于 x 轴的直线 x=ty+1 与该抛物线交于 A,B 两点,圆 M 以 AB 为直径. (1) 求抛物线的方程; (2) 圆 M 交 x 轴的负半轴于点 C,是否存在实数 t,使得△ABC 的内切圆的圆心在 x 轴上?若存在,求出 t 的值; 若不存在,说明理由.

21、已知函数 f(x)= (2x+a)·e (e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的极小值; (2)对区间[-1,1]内的一切实数 x,都有-2≤f(x)≤e 成立,求实数 a 的取值范围.
2

x

22、本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 10 分.只能选择其中一个作答。 (1)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD· AE,求∠BAC 的大小. 2

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l
页 4第

?x=10cosθ, ? π 的极坐标方程为 ρsin(θ- )=6, 圆 C 的参数方程为? (θ 为参数), 求直线 l 被圆 C 截得的弦长. 3 ?y=10sinθ ?

(3)选修 4-5:不等式选讲 若不等式|a+2b|+|2b-a|≥|a|(|x-1|+|x-2|),对 a、b∈R 恒成立且 a≠0,求实数 x 的取值范围.



5第

1—12BABCD 13、2.6

CBBDD AA 14、

4031 2016

15、

? 6

16、

6 2

17、解: (Ⅰ)∵ S n ? 2 n , ∴ S n ?1 ? 2 n ?1 , (n ? 2) .--------------------------------------------------2 分 ∴ an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ( n ? 2) . 当 n ? 1 时, 21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 , ∴ an ? ? ------------------------------------3 分

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

-----------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)∵ bn ?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 ,
………

bn ? bn ?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1 ? ?1 ,

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2

∴ bn ? n 2 ? 2n . --------------------------------------------------------------------------9 分 (Ⅲ)由题意得 cn ? ?

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2
6第



= 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n , ∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n . ----------------------------------------------------------12 分

18、 【解析】 (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因 此乙班平均身高高于甲班; (2) x ? -------------------------------------------------------------------3 分

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170)2 ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

--------7 分

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? ; -------------------------------------------------------------------------------------12 分 10 5

19、解: (1) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1.------------------------------------------------5 分 (2) 取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点, 所以 FG∥AC,且 FG=

1 1 AC,EC1= A1C1. 2 2

因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE.---------------------------------------------------------12 分 20、



7第

21、



8第

22、解:(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD, 故△ABE∽△ADC. (2)解:因为△ABE∽△ADC, AB AD 所以 = , AE AC 即 AB· AC=AD· AE, 1 1 又 S= AB· ACsin∠BAC,且 S= AD· AE, 2 2
页 9第

故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE, 则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90° . π 1 3 23、解:由 ρsin(θ- )=ρ( sinθ- cosθ)=6 得 3 2 2 ρsinθ- 3ρcosθ=12. ∴y- 3x=12. ∴点 C 到直线的距离为 d= |0+0+12| =6. 3+1

∴直线 l 被圆截得的弦长为 2 102-62=16. 24、解:由|a+2b|+|2b-a|=|a+2b|+|a-2b|≥2|a|, 又因为|a+2b|+|2b-a|≥|a|(|x-1|+|x-2|), 对 a≠0 时恒成立, 故|x-1|+|x-2|≤2, 1 5 由绝对值的几何意义可求 ≤x≤ . 2 2



10 第


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