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成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试数学试题及答案



秘密
解密时间:2015 年 6 月 14 日上午 9:00

姓名:

准考证号:

成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试 (含成都市初三毕业会考)

数学
A 卷(共 100 分)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其中只有 一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)【来源:21·世纪·教育·网】 1. ? 3 的倒数是 (A) ?

1 3

(B)

1 3

(C) ? 3

(D) 3

【答案】:A 【解析】:根据倒数的定义,很容易得到 ? 3 的倒数是 ? 2.如图所示的三棱柱的主视图是

1 ,选 A。 3

(A) (B) (C) (D) 【答案】:B 【解析】:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图,找到从正面看 所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中。从正面看易得三棱柱的一 条棱位于三棱柱的主视图内,选 B。 2-1-c-n-j-y 3.今年 5 月,在成都举行的世界机场城市大会上,成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场 建成后,成都将成为继北京、上海之后,国内第三个拥有双机场的城市,按照远期规划, 新机场将新建的 4 个航站楼的总面积约为 126 万平方米,用科学计数法表示 126 万为 (A) 126? 10 【答案】:C 【解析】: 科学记数法的表示形式为 a ?10 的形式,其中 1 ? a < 10 ,n 为整数。确定 n
n

4

(B) 1.26 ? 10

5

(C) 1.26 ? 10

6

(D) 1.26 ? 10

7

的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同。当原数绝对值>1 时,n 是正数; 当原数的绝对值<1 时,n 是负数。 将 126 万用科 学记数法表示 1.26×106 元,选 B。【版权所有:21 教育】

4.下列计算正确的是 (A) a 2 ? a 2 ? 2a 4 (C) (?a 2 )2 ? a 4 【答案】:C 【解析】: A、 a 2 与 a 2 是同类项,能合并, a 2 ? a 2 ? 2a 2 。故本选项错误。 B、 a 2 与 a3 是同底数幂,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不 变,指数相加。【来源:21cnj*y.co*m】 (B) a 2 ? a 3 ? a 6 (D) (a ? 1)2 ? a 2 ? 1

a 2 a3 ? a5 。故本选项错误。
C、根据幂的乘方法则。 (?a ) ? a 。故本选项正确。
2 2 4

D、根据完全平方公式 (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 。 (a ? 1)2 ? a2 ? 1 ? 2a 。故本选 项错误。 综上,选 C。 5.如图,在 ?ABC 中, DE // BC , AD ? 6 , DB ? 3 , AE ? 4 , 则 EC 的长为 (A) 1 (C) 3 【答案】:B 【解析】: 根据平行线段的比例关系, (B) 2 (D) 4

AD AE 6 4 ? ,即 ? , EC ? 2 ,选 B。 3 EC DB EC

6.一次函数 y ? 2 x ? 1 的图像不经过 (A)第一象限 【答案】:D (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【解析】: ∵ k ? 2 ? 0, b ? 1 ? 0 ,根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三 象限,不经过第四象限,选 D。 7.实数 a 、 b 在数轴上对应的点的位置如图所示,计算 a ? b 的结果为

(A) a ? b (C) b ? a 【答案】:C

(B) a ? b (D) ? a ? b

【解析】: 根根据数轴上两数的特点判断出 a、b 的符号及绝对值的大小,再对 a ? b 进 行分析即可。 由图可知 a<0, b>0。所以 a-b<0。 a ? b 为 a ? b 的相反数,选 C。 8.关于 x 的一元二次方程 kx2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等实数根,则 k 的取值范围是 (A) k ? ?1 (B) k ? ?1 (C) k ? 0 (D) k ? ?1 且 k ? 0

【答案】:D 【解析】:这是一道一元二次方程的题,首先要是一元二次,则 k ? 0 ,然后有两个不想 等的实数根,则 ? ? 0 ,则有 ? ? 22 ? 4 ? (?1)k ? 0 ? k ? ?1 ,所以 k ? ?1 且 k ? 0 ,因 此选择 D 。 9.将抛物线 y ? x 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,得到的抛物线的函
2

数表达式为 A、 y ? ( x ? 2)2 ? 3 C、 y ? ( x ? 2)2 ? 3 B、 y ? ( x ? 2)2 ? 3 D、 y ? ( x ? 2)2 ? 3

【答案】:A 【解析】:这个题考的是平移,函数的平移:左加右减,上加下减。向左平移 2 个单位得 到: y ? ( x ? 2) ,再向下平移 3 个单位得到: y ? ( x ? 2) ? 3 ,选择 A 。21cnjy.com
2 2

10.如图,正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ,半径为 4 ,则这个正六边形的边心距 OM 和 弧 BC 的长分别为 F

? (A) 2 、 3
(C) 3 、

E

(B) 2 3 、 ?

2? 3

(D) 2 3 、

4? 3

A

O

D

【答案】:D B 【解析】:在正六边形中,我们连接 OB 、 OC 可以得到 ?OBC 为等边三角形,边长等于 半径 4 。因为 OM 为边心距,所以 OM ? BC ,所以,在边长为 4 的等边三角形中,边 上的高 OM =2 3 。弧 BC 所对的圆心角为 60 ,由弧长计算公式:
?

M

C

BC ?

60 4? ? 2? ? 4 ? ,选 D。 ? 360 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上) 11.因式分解: x 2 ? 9 ? __________. 【答案】: ? x ? 3?? x ? 3? 【解析】:本题考查了平方差公式, a ? b ? ? a ? b ?? a ? b ? ,因此,
2 2

x2 ? 9 ? ? x ? 3?? x ? 3? 。
12.如图,直线 m // n , ?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? ,则 ?1 ? ________度. 【答案】: 45 ? 【解析】:本题考查了三线八角,因为 ?ABC 为等腰直角三角形,所以 ?ABC ? 45? ,又 m // n , ?1 ? ?ABC ? 45?

A

1

m n

B

C

13.为响应 “书香成都”建设的号召,在全校形成良好的人文阅 读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读 时间,统计结果如图所示,则在本次调查中阅读时间的中位 数是_______小时. 【答案】:1 【解析】:把一组数据按从小到大的数序排列,在中间的一个 数字 (或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。 此题,显然中位数是 1。 14.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 13 , AD ? 4 ,将平行四边形 ABCD 沿 AE 翻 折后,点 B 恰好与点 C 重合,则折痕 AE 的长为__________. 【答案】:3 【解析】:点 B 恰好与点 C 重合,且四边形 ABCD 是平行四边形, 根据翻折的性质, 则 AE ? BC , BE ? CE ? 2 , 在 Rt ?ABE 中,由勾股定理得 AE ?

AB2 ? BE2 ? 13 ? 4 ? 3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分,解答过程写在答题卡上) 15.(本小题满分 12 分,每小题 6 分)

(1)计算: 8 ? (2015?π)0 ? 4 cos45? ? (?3)2 【答案】:8 【解析】:原式 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 9

?8
(2)解方程组: ?

? x ? 2y ? 5 ?3x ? 2 y ? ?1

【答案】: ?

?x ? 1 ?y ? 2

【解析】: 两式相加得 4 x ? 4 ,解得 x ? 1 ,将 x ? 1 代入第一个式子,解得 y ? 2 , 所以方程组的解为 ? 16. (本小题满分 6 分)

?x ? 1 。 ?y ? 2

a 1 a ?1 ? 2 )? a?2 a ?4 a?2 a ?1 【答案】: a?2
化简: (

? a 2 ? 2a ? a ? 1? ? a ? 2 ? a ? 1 1 ? a?2 ? 2 ? 【解析】: 原式= ? 2 ?? ? a ? 4 a ? 4 ? a ? 1 ? a ? 2 ?? a ? 2 ? a ? 1 a ? 2
2

17.(本小题满分 8 分) 如图,登山缆车从点 A 出发,途经点 B 后到达终点 C.其中 AB 段与 BC 段的运行路程均 为 200m,且 AB 段的运行路线与水平面的夹角为 30°,BC 段的运行路线与水平面的夹角 为 42°, 求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离 (参考数据: . sin42°≈0.67 , cos42°≈0.74 , tan42°≈0.90) 【答案】:234m 【解析】:如图所示,缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离为 BD ? CE , 又∵ ?ABD 和 ?BCE 均为直角三角形, ∴ BD ? CE ? AB ? sin30? ? BC ? sin 42? ? 200 ? ? 0.5 ? 0.67? ? 234m
B 200m A 30° D

C

200m

42° E

18. (本小题满分 8 分) 国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国 足球史上的重大改革, 为进一步普及足球知识, 传播足球文化, 我市某区在中小学举行了 “足 球在身边”知识竞赛活动,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生 共 50 名,请结合图中信息,解答下列问题:www-2-1-cnjy-com (1)求获得一等奖的学生人数; (2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D 四所学校表现突出,现决定 二等奖 从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列 20% 表的方法求恰好选到 A,B 两所学校的概率. 一等奖 1 【答案】:(1)30 人; (2)

三等奖

6

【解析】: (1)由图可知三等奖占总的 25%,总人数为 50 ? 25% ? 200 人, 一等奖占 1 ? 20% ? 25% ? 40% ? 15% ,所以,一等奖的学生为 200 ?15% ? 30 人 (2)这里提供列表法: A A B C D AB AC AD BC BD CD B AB C AC BC D AD BD CD

优胜奖 40%

从表中我们可以看到总的有 12 种情况,而 AB 分到一组的情况有 2 种,故总的情况为

P?

2 1 ? 12 6
如图,一次函数 y ? ? x ? 4 的图象与反比例 y ?

19. (本小题满分 10 分)

k ( k 为常数,且 k ? 0 )的图象交于 x

A ?1, a ? , B 两点.
(1)求反比例函数的表达式及点 B 的坐标; (2) 在 x 轴上找一点 P , 使 PA ? PB 的值最小, 求满足条件的点 P 的坐标及 ?PAB 的 面积. 【答案】: (1) y ?

3 3 ?5 ? , B ? 3,1? ; (2)P ? , 0 ? , S ?PAB ? x 2 ?2 ?

y A

【解析】: (1)由已知可得, a ? ?1 ? 4 ? 3 , k ? 1? a ? 1? 3 ? 3 , ∴反比例函数的表达式为 y ?

3 , x
O

B x

? y ? ?x ? 4 ?x ? 1 ?x ? 3 ? 联立 ? 解得 ? 或? ,所以 B ? 3,1? 。 3 y? ?y ? 3 ?y ?1 ? x ?
(2)如答图所示,把 B 点关于 x 轴对称,得到 B ' ?3, ?1? , 连接 AB ' 交 x 轴于点 P ' ,连接 P ' B ,则有, PA ? PB ? PA ? PB ' ? AB ' ,当 P 点和 P ' 点重合时取 到等号。易得直线 AB ' : y ? ?2 x ? 5 ,令 y ? 0 ,

y
得x?

5 ?5 ? ?5 ? ,∴ P ' ? , 0 ? ,即满足条件的 P 的坐标为 ? , 0 ? , 2 ?2 ? ?2 ?

A

设 y ? ? x ? 4 交 x 轴于点 C,则 C ? 4,0? , ∴ S ?PAB ? S ?APC ? S ?BPC ? 即 S?PAB

1 ? PC ? ? y A ? yB ? , 2
O P P'

B x C B'

1 ? 5? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 1? ? 2 ? 2? 2

20.(本小题满分 10 分) 如图,在 Rt ?ABC 中, ?ABC ? 90? , AC 的垂直平分线分别与 AC , BC 及 AB 的 F ? B C . O 是 ?BEF 的外接圆, F, ? EBF 的平分线交 EF 延长线相交于点 D ,E , 且B 于点 G ,交 O 于点 H ,连接 BD , FH .21 世纪教育网版权所有 (1)求证: ?ABC ? ?EBF ; (2)试判断 BD 与 O 的位置关系,并说明理由; (3)若 AB ? 1 ,求 HG ? HB 的值. 【答案】:(1)见解析(2)见解析(3) 2 ? 2 【解析】: (1)由已知条件易得, ?DCE ? ?EFB , ?ABF ? ?EBF 又 BC ? BF ,∴ ?ABC ? ?EBF ( ASA ) (2) BD 与 O 相切。 理由:连接 OB ,则 ?DBC ? ?DCB ? ?OFB ? ?OBF , ∴ ?DBO ? ?DBC ? ?EBO ? ?OBF ? ?EBO ? 90? , ∴ DB ? OB 。 (3)连接 EA , EH ,由于 DF 为垂直平分线, ∴ CE ? EA ? 2 AB ? 2 , BF ? BC ? 1 ? 2 ∴ EF ? BE ? BF ? 1 ? 1 ? 2
2 2 2

C H D E G A B O

?

?

2

C

? 4?2 2 ,
H

又∵ BH 为角平分线,∴ ?EBH ? ?EFH ? ?HBF ? 45? ,

D E G O

∴ ?GHF ? ?FHB ,∴ ?GHF

?FHB ,∴

HF HG ? , HB HF
2 2

即 HG ? HB ? HF 2 ,∵在等腰 Rt ?HEF 中 EF ? 2 HF ,
2 ∴ HG ? HB ? HF ?

1 EF 2 ? 2 ? 2 2

B 卷(共 50 分)
一、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,答案写在答题卡上) 21.比较大小: 【答案】:< 【解析】:

5 5 ?1 ________ .(填 " ? " , " ? " ,或 " ? " ) 8 2

5 5 ?1 为黄金数,约等于 0.618, ? 0.625 ,显然前者小于后者。 8 2

或者作差法:

5 ?1 5 4 5 ? 9 80 ? 81 ? ? ? ? 0 ,所以,前者小于后者。 2 8 8 8

22.有 9 张卡片,分别写有 1 ~ 9 这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡

?4 x ? 3 ? x ? 1? ? 片上的数字为 a,则关于 x 的不等式组 ? 有解的概率为_________. x ?1 ?a ?2 x ? ? 2
【答案】:

4 9

?4 x ? 3 ? x ? 1? 2a ? 1 ? 【解析】:设不等式有解,则不等式组 ? 的解为 3 ? x ? ,那么必须满 x ?1 3 2 x ? ? a ? ? 2
足条件,

2a ? 1 4 ? 3? a ? 5, ∴满足条件的 a 的值为 6,7,8,9, ∴有解的概率为 P ? 3 9

23.已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2,∠A1B1C1=60° ,对角线 A1C1,B1D1 相交于点 O.以点 O 为坐标原点, 分别以 OA1, OB1 所在直线为 x 轴、 y 轴, 建立如图所示的直角坐标系. 以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形 A1B1C1D1,再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2∽ 菱形 B1C2D1A2,再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3∽菱形 A2B2C2D2,?,按此规律继 续 作 下 去 , 在 x 轴 的 正 半 轴 上 得 到 点 A1 , A2 , A3 , ? , An , 则 点 An 的 坐 标 为 ____________.2· 1· c· n· j· y 【答案】:(3
n-1

y

,0)

B2 B1 C3 C2 C1 OA1 A2 D1 D2 A3 x

【解析】:由题意,点 A1 的坐标为(1,0),

点 A2 的坐标为(3,0),即(3 - ,0) 3 1 点 A3 的坐标为(9,0),即(3 - ,0) 4 1 点 A4 的坐标为(27,0),即(3 - ,0) ??? n 1 ∴点 An 的坐标为(3 - ,0) 24.如图,在半径为 5 的 O 中,弦 AB ? 8 , P 是弦 AB 所对的优弧上的动点,连接 AP , 过点 A 作 AP 的垂线交射线 PB 于点 C ,当 ?PAB 是等腰三角形时,线段 BC 的长 为 .
C H C C A B

2 1

A

K

B

A

B

O

G

O

O

P

P

P

图(1) 【答案】: BC ? 8 或

图(2)

图(3)

56 8 5 或 15 3

【解析】:(1)当 AB ? AP 时,如图(1),作 OH ? AB 于点 H ,延长 AO 交 PB 于点 G; 易知

AP OH 3 5 40 ? cos ?APC ? cos ?AOH ? ? ? PC ? AP ? , PC AO 5 3 3

AP 2 64 24 40 48 56 ? ? ? BC ? PC ? 2 PG ? ? ? 射影知 PG ? . PC 40 5 3 5 15 3
(2)当 PA ? PB 时,如图(2),延长 PO 交 AB 于点 K ,易知 OK ? 3 , PK ? 8 ,

PB ? PA ? 4 5
易 知

A ?c P
( . 3 )

A

3 5
B ?A B 时 P,
如 图 ( 3 )

P C


o ? P





?C ? 900 ? ?P ? 900 ? ?PAB ? ?CAB ? BC ? AB ? 8 .

综上: BC ? 8 或

56 8 5 或 15 3

25.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2 倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是 (写出所有正确说法的序号) 21*cnjy*com ①方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 是倍根方程; ②若 ( x ? 2)(mx ? n) ? 0 是倍根方程,则 4m2 ? 5mn ? n2 ? 0 ; ③若点 ( p,q ) 在反比例函数 y ? 程;
2 ④若方程 ax ? bx ? c ? 0 是倍根方程,且相异两点 M (1 ? t,s) , N(4 ? t,s) 都在抛物
2 线 y ? ax2 ? bx ? c 上,则方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个根为

.

2 的图像上, 则关于 x 的方程 px2 ? 3x ? q ? 0 是倍根方 x

5 . 4

【答案】②③ 【解析】:研究一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是倍根方程的一般性结论,设其中一根为 t , 则 另 一 个 根 为 2t , 因 此 ax2 ? bx? c? ( a x ? )t ( x ?2 )t ? 2ax?3 at? x22 , t所 a 以有

b2 ?

9 9 a c? 0 ;我们记 K ? b 2 ? ac ,即 K ? 0 时,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 为倍根方程; 2 2 9 ac ? 10 ,因此本选项错误; 2
② ,

下面我们根据此结论来解决问题:21· cn· jy· com
2 对于①, K ? b ?





mx2 ? (n ? 2m) x ? 2n ? 0





K? n

9 (2 ? m 2

2

? 4 m ) 2 ? 5mn? n2 ? (0 ,因此本选项正确; ? 2 ?) m ?n

0

9 pq ? 0 ,因此本选项正确; 2 b 1? t ? 4 ? t 5 ? ? ? b ? ?5a ,由倍根方 1 ?t , s) , N(4 ? t,s) 知 ? 对于④,由 M ( 2a 2 2 9 50 2 a , 所 以 方 程 变 为 程 的 结 论 知 b ? ac ? 0 , 从 而 有 c ? 2 9 5 50 10 ax 2 ? 5ax ? a ? 0 ? 9 x 2 ? 45 x ? 50 ? 0 ? x1 ? , x2 ? ,因此本选项错误。 3 9 3
2 对于③,显然 pq ? 2 ,而 K ? 3 ?

综上可知,正确的选项有:②③。 二、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答过程写在大题卡上)

26、(本小题满分 8 分) 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用 13200 元购进了一批这种衬衫,面市后果 然供不应求, 商家又用 28800 元够进了第二批这种衬衫, 所购数量是第一批购进量的 2 倍,但单价贵了 10 元。【出处:21 教育名师】 (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件? (2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下 50 件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全 部售完利润率不低于 25% (不考虑其它因素),那么每件衬衫的标价至少是多少 元? 【答案】:(1)120 件;(2)150 元。 【解析】:(1)设该商家购进的第一批衬衫是 x 件,则第二批衬衫是 2 x 件 由题意可得:

28800 13200 ? ? 10 ,解得 x ? 120 ,经检验 x ? 120 是原方 2x x

程的根。 (2)设每件衬衫的标价至少是 a 元 由(1)得第一批的进价为: 13200 ? 120 ? 110 (元/件),第二批的进价 为: 120 (元/件) 由 题 意 可 得 :

120 ? (a ?110) ? ? 240 ? 50? ? (a ?120) ? 50 ? (0.8a ?120) ? 25%? 42000
解得 350 a ? 52500 ,所以 a ? 150 ,即每件衬衫的标价至少是 150 元。 27、(本小题满分 10 分) 已 知 A C, E C分 别 为 四 边 形 A B C D和 EFCG 的 对 角 线 , 点 E 在 ?ABC 内 ,

?CAE ? ?CBE ? 90 。
(1)如图①,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时,连接 BF 。 1)求证: ?CAE ∽ ?CBF ;2)若 BE ? 1, AE ? 2 ,求 CE 的长。 ( 2 ) 如 图 ② , 当 四 边 形 ABCD 和 EFCG 均 为 矩 形 , 且 , BE ? 1, AE? 2, CE? 3 求 k 的值; (3)如图③,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形,且 ?DAB ? ?GEF ? 45 时, 设 BE ? m, AE ? n, CE ? p ,试探究 m, n, p 三者之间满足的等量关系。(直接 写出结果,不必写出解答过程) 【答案】:(1)1)见解析,2) 6 ;(2)

AB EF ? ? k 时,若 BC FC

10 ;(3) p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 4

【解析】 : (1) 1)

? ?ACE ? ?ECB ? 45 ? 又 ? ? ?ACE ? ?BCF , ?BCF ? ?ECB ? 45 ? ?

A C C E ? B C C F

? 2,

? ?CAE ∽ ?CBF 。 AE ? 2 ,? BF ? 2 ,由 ?CAE ∽ ?CBF 可得 ?CAE ? ?CBF , 2) BF
又 ?CAE ? ?CBE ? 90 ,? ?CBF ? ?CBE ? 90 ,即 ?EBF ? 90 由 CE 2 ? 2EF 2 ? 2( BE 2 ? BF 2 ) ? 6 ,解得 CE ? ( 2 ) 连 接 BF , 同 理 可 得 ?EBF ? 90 , 由

6。
A B ? B C E F ?k , 可 得 F C

BC : A: B ? AC 1:

2 : k?

k 1,

CF : EF : EC ? 1: k : k 2 ?1
? AC AE ? ? k 2 ? 1 ,所以 BF ? BC BF

AE k 2 ?1

2 , BF ?

AE 2 。 k 2 ?1

k 2 ?1 k 2 ?1 2 ? CE ? 2 ? EF ? 2 ( BE 2 ? BF 2 ) k k
2

? 32 ?

k 2 ?1 2 22 10 (1 ? ) ,解得 k ? 。 2 2 k k ?1 4

(3)连接 BF ,同理可得 ?EBF ? 90 ,过 C 作 CH ? AB 延长线于 H , 可解得 AB2 : BC 2 : AC 2 ? 1:1: (2 ? 2) , EF 2 : FC 2 : EC 2 ? 1:1: (2 ? 2) ,

? p 2 ? (2 ? 2) EF 2 ? (2 ? 2)( BE 2 ? BF 2 ) ? (2 ? 2)(m2 ?

n2 ) ? (2 ? 2)m2 ? n2 2? 2

D

? p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 。 C D

C G D G F n E E p m B
图③

G F E A
图①

C

F H

B

A
图②

B

A

28.(本小题满分 12 分) 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax -2ax-3a(a<0)与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左侧),经过点 A 的直线 l:y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线 的另一个交点为 D,且 CD=4AC.21·世纪*教育网 (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示); 5 (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若△ACE 的面积的最大值为 ,求 a 的值; 4 (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边 形能否成为矩形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由.21 教育名师原创作品

y
E O A C B D x A l

y

O C B D x

l

【答案】:(1)A(-1,0),y=ax+a; 2 (2)a=- ; 5 (3)P 的坐标为(1,- 26 7 )或(1,-4) 7

备用图

【解析】: (1)A(-1,0) ∵直线 l 经过点 A,∴0=-k+b,b=k ∴y=kx+k 2 2 令 ax -2ax-3a=kx+k,即 ax -( 2a+k )x-3a-k=0 ∵CD=4AC,∴点 D 的横坐标为 4 k ∴-3- =-1×4,∴k=a a ∴直线 l 的函数表达式为 y=ax+a (2)过点 E 作 EF∥y 轴,交直线 l 于点 F 2 设 E(x,ax -2ax-3a),则 F(x,ax+a) 2 2 EF=ax -2ax-3a-( ax+a )=ax -3ax-4a S△ACE =S△AFE - S△CFE 1 1 2 2 = ( ax -3ax-4a )( x+1 )- ( ax -3ax-4a )x 2 2 1 1 3 2 25 2 = ( ax -3ax-4a )= a( x- ) - a 2 2 2 8

y
E O A C F B D x

l

∴△ACE 的面积的最大值为- ∵△ACE 的面积的最大值为 ∴- 25 5 2 a= ,解得 a=- 8 4 5
2

25 a 8

5 4

(3)令 ax -2ax-3a=ax+a,即 ax -3ax-4a=0 解得 x1=-1,x2=4 ∴D(4,5a) 2 ∵y=ax -2ax-3a,∴抛物线的对称轴为 x=1 设 P(1,m) ①若 AD 是矩形的一条边,则 Q(-4,21a) m=21a+5a=26a,则 P(1,26a) ∵四边形 ADPQ 为矩形,∴∠ADP=90° 2 2 2 ∴AD +PD =AP 2 2 2 2 2 2 ∴5 +( 5a ) +( 1-4 ) +( 26a-5a ) =( -1-1 ) +( 26a ) 即a =
2

2

y

O A C B D x l

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1 7 ,∵a<0,∴a=- 7 7 26 7 ) 7 Q P Q O A C B D P x

∴P1(1,-

②若 AD 是矩形的一条对角线 3 5a 则线段 AD 的中点坐标为( , ),Q(2,-3a) 2 2 m=5a-( -3a )=8a,则 P(1,8a) ∵四边形 APDQ 为矩形,∴∠APD=90° 2 2 2 ∴AP +PD =AD 2 2 2 2 2 2 ∴( -1-1 ) +( 8a ) +( 1-4 ) +( 8a-5a ) =5 +( 5a ) 1 1 2 即 a = ,∵a<0,∴ a=- 4 2

y

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l

∴P2(1,-4) 综上所述,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形 点 P 的坐标为(1,- 26 7 )或(1,-4) 7


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