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2014新课标全国卷Ⅱ(理科数学)精准解析


2014 高考真题·新课标全国卷Ⅱ(理科数学) 1.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设集合 M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则 M∩N=(

)

A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 1.D [解析] 集合 N=[1,2],故 M∩N={1,2}. 2. [2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设复数 z1, z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1=2+i, 则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 2.A [解析] 由题知 z2=-2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 3.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.A [解析] 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b=1. 1 4.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( ) 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 1 1 1 1 2 4.B [解析] 根据三角形面积公式,得 BA·BC·sin B= ,即 ×1× 2×sin B= ,得 sin B= ,其中 2 2 2 2 2 π 2 C<A.若 B 为锐角,则 B= ,所以 AC= 1+2-2×1× 2× =1=AB,易知 A 为直角,此时△ABC 为直角 4 2 3π 2 三角形,所以 B 为钝角,即 B= ,所以 AC= 1+2-2×1× 2×?- ?= 5. 4 ? 2? 5.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5.A [解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件 A, “第二天空气质量为优良”为事件 B,则 P(A)=0.75, P(AB) P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,根据条件概率公式得 P(B|A)= P(A) 0.6 = =0.8. 0.75 6.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的 是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )

图 11 17 5 10 1 A. B. C. D. 27 9 27 3 6.C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为π ×32×2+π ×22×4=34π (cm3),原毛 20π 10 坯的体积为π ×32×6=54π (cm3),切削掉部分的体积为 54π -34π =20π (cm3),故所求的比值为 = . 54π 27 7. [2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 12 所示的程序框图, 如果输入的 x, t 均为 2, 则输出的 S=( )

图 12 A.4 B.5 C.6 D.7 7.D [解析] 逐次计算,可得 M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时输出 S=7. 8.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A.0 B.1 C.2 D.3 1 8.D [解析] y′=a- ,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. x+1 ?x+y-7≤0, 9.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为(

)

?

? ?3x-y-5≥0,

)

A.10 B.8 C.3 D.2 9.B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标 函数在点 A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为 2×5-2=8.

10. 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 3? 3? 10.D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4,0?,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3 ?x-4?,即 x= 3 3 9 9 1 y+ , 代入抛物线方程得 y2-3 3y- =0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1+y2=3 3, y1y2=- , 则 S△OAB= |OF||y1 4 4 4 2 9? 9 1 3 -y2|= × × (3 3)2-4×? ?-4?=4. 2 4 11.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的 中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 1 2 30 2 A. B. C. D. 10 5 10 2 1 11.C [解析] 如图,E 为 BC 的中点.由于 M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,故 MN∥B1C1 且 MN= B1C1, 2 故 MN 綊 BE,所以四边形 MNEB 为平行四边形,所以 EN 綊 BM,所以直线 AN,NE 所成的角即为直线 BM,AN

1 2 1 6 5 所成的角.设 BC=1,则 B1M= B1A1= ,所以 MB= 1+ = =NE,AN=AE= , 2 2 2 2 2 6 5 5 + - 4 4 4 30 在△ANE 中,根据余弦定理得 cos ∠ANE= = . 6 5 10 2× × 2 2

12. 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin 则 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

πx 2 2 ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m , m

πx π 1? [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ ,即 x=m? ?k+2?,k∈Z,且极值为± 3,问题等价于存 m 2 1 2 1 2 1 1 k0+ ? +3<m2.因为?k+ ? 的最小值为 ,所以只要 m2+3<m2 成立即可,即 m2>4,解 在 k0 使之满足不等式 m2? 2 2 ? ? ? ? 4 4 得 m>2 或 m<-2,故 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 13. [2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] (x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写 答案) 1 3 3 13. [解析] 展开式中 x7 的系数为 C10 a =15, 2 1 1 即 a3= ,解得 a= . 8 2 14. 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ cos(x+φ)的最大值为________. 14. 1 [解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ cos(x+φ )=sin[(x+φ)+φ]-2sin φ cos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ -cos(x+φ)sin φ =sin x,故其最大值为 1. 15.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. 15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知 f(x)>0 的解集为(-2,2),若 f(x-1)>0,则-2<x-1<2,解 得-1<x<3. 16. 、 [2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0, 1), 若在圆 O: x2+y2=1 上存在点 N, 使得∠OMN=45°, 则 x0 的取值范围是________. 16.[-1,1] [解析] 在△OMN 中,OM= 1+x2 0≥1=ON,所以设∠ONM=α,则 45°≤α <135°.根据 2 1+x0 1 2 正弦定理得 = ,所以 1+x2 0= 2sin α ∈[1, 2],所以 0≤x0≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的 sin α sin 45° x0 的取值范围为[-1,1]. 12.C 17. 、 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2 1? 1 17.解:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3? ?an+2?. 2 1? 1 3 ? 3 1 3n 又 a1+ = ,所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列,所以 an+ = ,因此数列{an}的通项公式为 2 2 2 2 2 ? ? 3n-1 an= . 2 1 2 (2)证明:由(1)知 = n . an 3 -1

因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1, 1 1 1 2 1 所以 n ≤ ≤ n-1. n-1,即 = n an 3 -1 3 3 -1 2×3 1 3 1 1 1 1 1 3 1- n?< . 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1= ? a1 a2 an 3 2? 3 ? 2 3 1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2 18. 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD= 3,求三棱锥 EACD 的体积.


图 13 18.解:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. 因为 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形, 所以 AB,AD,AP 两两垂直. 如图,以 A 为坐标原点, ,AD,AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系 3 1 3 1 Axyz,则 D(0, 3,0),E?0, , ?,=?0, , ?. 2 2? 2 2? ? ?

设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),=(m, 3,0). 设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, ?mx+ 3y=0, 则即? 3 1 ? ? 2 y+2z=0, 3 可取 n1=? ,-1, 3?. m ? ? 又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设易知|cos〈n1,n2〉|= ,即 2 3 1 3 = ,解得 m= . 2 3+4m2 2 1 1 1 3 1 3 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 EACD 的高为 .三棱锥 EACD 的体积 V= × × 3× × = . 2 3 2 2 2 8 19. [2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位: 千元)的数 据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 t

?

2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =,=-. 1 1 19.解:(1)由所给数据计算得= (1+2+3+4+5+6+7)=4,= (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, 7 7 (ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, 14 == =0.5, 28 =-=4.3-0.5×4=2.3, 所求回归方程为=0.5t+2.3. (2)由(1)知,=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千 元. 将 2015 年的年份代号 t=9,代入(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. x2 y2 20. 、 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 a b C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2? 2 2 ? 20.解:(1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, a ?,2b2=3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. ? 9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 将①及 c= a2-b2代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. - 21. 、[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=ex-e x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 2< 2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001). - 21.解:(1)f′(x)=ex+e x-2≥0,当且仅当 x=0 时,等号成立, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. - - (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e 2x-4b(ex-e x)+(8b-4)x, -2x -x 2x x g′(x)=2[e +e -2b(e +e )+(4b-2)] - - =2(ex+e x-2)(ex+e x-2b+2). (i)当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而 g(0)=0,所以对 任意 x>0,g(x)>0. - (ii)当 b>2 时, 若 x 满足 2<ex+e x<2b-2, 即 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时, g′(x)<0.而 g(0)=0, 因此当 0<x<ln(b -1+ b2-2b)时,g(x)<0. 综上,b 的最大值为 2.

3 (3)由(2)知,g(ln 2)= -2 2b+2(2b-1)ln 2. 2 8 2-3 3 当 b=2 时,g(ln 2)= -4 2+6ln 2>0,ln 2> >0.692 8; 2 12 3 2 当 b= +1 时,ln(b-1+ b2-2b)=ln 2, 4 3 g(ln 2)=- -2 2+(3 2+2)ln 2<0, 2 18+ 2 ln 2< <0.693 4. 28 所以 ln 2 的近似值为 0.693. 22.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 41:几何证明选讲 如图 14,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的 中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

图 14 22.证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. 因此 BE=EC.

(2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. 23.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos π θ ,θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐 标. 23.解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 ? ?x=1+cos t, ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, ? (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂 π 直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3 ? ? ?2 2 ?

24.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 45:不等式选讲 1 ? 设函数 f(x)=? ?x+a?+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1 1 1 x+ ?+|x-a|≥?x+ -(x-a)?= +a≥2,所以 f(x)≥2. 24.解:(1)证明:由 a>0,有 f(x)=? ? a? ? a ? a 1 ? (2)f(3)=? ?3+a?+|3-a|. 1 当 a>3 时,f(3)=a+ , a 5+ 21 由 f(3)<5 得 3<a< . 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 ?1+ 5 5+ 21?. 综上,a 的取值范围是? ? ? 2 , 2 ?


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