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二次根式的讲解


二次根式的概念与性质 一、知识结构: 知识结构:

知识要点梳理 知识点一: 知识点一:二次根式的概念
一般地,我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式, “ ”称为二次根号.

要点诠释: 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为 2;②被开方数为非负数.
(1) 被开方数的因数是整数,因式是整式;

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如

不是最简二次根式,因被开

方数中含有 4 是可开得尽方的因数,又如





..........都不是最简二

次根式,而



,5



都是最简二次根式。

(2) 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二
次根式就叫做同类二次根式。如 =3 ,它们与 , , 就是同类二次根式,因为 =2 ,

的被开方数均为 2。

4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式, 则说这两个代数式互为有理化因式。 如 互为有理化因式。 与 , a+ 与 a, 与 + ,

关于二次根式的概念,要注意以下几点: 关于二次根式的概念,要注意以下几点:
(1)从形式上看,二次根式是以根号“ 是最后一步运算。如 , 等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根 ”表示的代数式,这里的开方运算

式的运算; (2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最 后运算不是开方而是乘 法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与 其相乘的有理数或有理 式就叫做二次根式的系数; (3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式 表示的数,但其中所含 字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数; (4)象“ , ”等虽然可以进行开方运算,但它们仍属于二次根式。

知识点二: 知识点二:二次根式的性质
1. 2. ; ;

3.

; ;

4. 积的算术平方根的性质:

5. 商的算术平方根的性质: (6)若 ,则 。

.

注意
要点诠释: 要点诠释:



的逆用。 的逆用。

二次根式 (a≥0)的值是非负数,其性质 可以正用亦可逆用,正 用时去掉根号起到化简的作用; 逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式, 有利于在实 数范围内进行因式分解.
要注意以下问题:

(1)因为被开方数 a2≥0(非负数),所以 a 可以取任意实数。而 (非负数) ,即

是表示算术根,所以

,可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符

号时,首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定,要对其进行讨论。

(2)应用公式

化简时,为保证结果的非负性,也避免出现运算上的错误,应首先写成

的形式,然后再去绝对值符号。

2.

的区别 (1)意义不同:前者表示的是非负数 a 的算术平方根的二次幂等于它本身,后者表示的是

任何一个实数 a 的二次幂的算术平方根等于它的绝对值。 (2)运算不同:前者是对一个二次根式施以平方运算,后者是一个实数的二次幂施以开平方 运算。 (3)取值不同:前者字母 a 的取值范围是 a≥0,后者字母 a 的取值范围是任何实数。

(4)当 a≥0 时,

,而当 a<0 时,

无意义,

2.对式子

的讨论,在本章开始时曾指出:“如果没有特殊说明,所有字母都表示正数.” 时,要进行分类讨论.由于一个实数可

在这一节中,字母并不都是表示正数,因此在化简

能是正数、零和负数三种情形,所以上述式子实际表示三种情形:

当 a>0 时, 当 a=0 时, 当 a<0 时,

=|a|=a; =|a|=0; =|a|=–a.

我们在计算的过程中,要牢记 值符号,这样可使运算少出差错. 2.熟练进行二次根式的变形

=|a|这一中间结果,然后再对不同符号的 a 值,脱去绝对

利用二次根式的基本性质,对二次根式可以进行以下变形:

(1)因式的内移和外移,即 (2)分母有理化,即

知识点三: 知识点三:代数式

形如 5,a,a+b,ab,

,x3,

这些式子,用基本的运算符号(基本运算包

括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression).

知识点一: 知识点一:二次根式的乘法
法则: ,即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开

方数相乘. 要点诠释: 要点诠释: (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中 a、b 都必须是非负数; (在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数) (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:

(3)若二次根式相乘的结果能写成

的形式,则应化简,如

.

明确运算结果的要求,不断归纳运算结果应满足的两个要求: ①应为最简二次根式(包括两个条件)或有理式;②分母中不含根号。

知识点二、 知识点二、积的算术平方根的性质
, 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释: 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b 可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须 满足 才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意

义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数,把含有 形式的 a 移到根号外面.

知识点三、 知识点三、二次根式的除法

法则: 除.

,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相

要点诠释: 要点诠释: (1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意, 其中 ,因为 b 在分母上,故 b 不能为 0.

(2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化 简,最后结果中分母不能带根号.

知识点四、 知识点四、商的算术平方根的性质

,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算 术平方根. 要点诠释: 要点诠释: 运用次性质也可以进行二次根式的化简,运用时仍要注意符号问题.

知识点五: 知识点五:最简二次根式
1.定义:当二次根式满足以下两条: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把符合这两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.在二次根式的运算中,最后的 结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释: 要点诠释: (1)最简二次根式中被开方数不含分母; (2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2, 即每个因数或因 式从次数只能 为 1 次. 2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤:

(1)把根号下的代分数或绝对值大于 1 的数化成假分数,把绝对值小于 1 的小数化成分 数; (2)被开方数是多项式的要进行因式分解; (3)使被开方数不含分母; (4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式,用它们的算术平方根代替后移到根号外; (5)化去分母中的根号; (6)约分.

知识点六、 知识点六、同类二次根式
1.定义:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式. 要点诠释: 要点诠释: (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式,必须先将二次根式化成最简二次根式,再 看被开方数是否 相同; (2)几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因 式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方 法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释: 要点诠释: (1)根号外面的因式就是这个根式的系数; (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式; (3)不是同类二次根式,不能合并.

知识点七、 知识点七、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式, 再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法 则仍然适用. 二次根式加减运算的步骤: (1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; (2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; (3)合并同类二次根式. 在作运算时,应分析式子结构,确定解题策略及方法: (1)适当运用分配律: (2)乘法公式变形: , ,

(3)换元法.

知识点八、 知识点八、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释: 要点诠释: (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后算加减, 有括号要先算 括号里面的; (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用; (3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应是最简二次根式,或几个非 同类最简二次根 式之和或差,或是有理式.

三、规律方法指导
二次根式的运算,主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除,只需将被开方数进行乘除,其依据是:





(2)二次根式的加减类似于整式的加减,关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式 化简,再把同类二次根式合并. 二次根式运算的结果应尽可能化简. 总结: 总结:常用的比较大小的方法 1.两上实数 a,b 比较大小,一般有“比”与“较”两种方法:

①将两个实数相除(比) :若

,当

时,则

;当

时,则





,则



,当

时,则

;当 ,则

时,则 ;



②将两个实数相减(较) :若 若 若 ,则 ,则 ; 。

2.除此之外,还有以下常用方法: (1)估算法; (2)被开方数比较法; (3)平方比较法; (4)倒数的比较法; (5)设参数比较法; ※(6)分子有理化比较法。

三、规律方法指导
1.如何判断一个式子是否是二次根式? (1)必须含有二次根号,即根指数为 2;

(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的,否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义? 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含 字母的取值范围,可根据题意列出不等式,通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零.


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