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一道预赛题的“简解”与“反思”


第 4期  盛耀建 : 一 道预 赛 题 的“ 简解” 与“ 反 思”   一 道 预 赛 题 的 “ 简 解" 与 “ 反 思"   ●盛耀建  ( 湖州中学 浙江湖州 3 1 3 0 0 0 )   笔 者最 近在 研究 2 0 1 3年全 国高 中数 学 联赛 山西 省预赛 试 题 时发 现 : 试 卷 中 的第 1 1 题( 最后 一 题 ) 有  2种更 为 简

单 的求 解方 法 , 由此 引发 对此 题 的进一 步深 入探 究 , 现将 思考 过程 展示 如下 :   1 题 目  例 1 盒 中装 有红 色和 蓝色 纸牌 各 1 0 0张 , 每 色纸 牌都 含标 数为 1 , 3, 3   , …… , 3  的牌 各 1张 , 2色 纸  牌的标数总和记为 s . 对于给定 的正整数 凡 , 若能从盒中取出若干张牌 , 使其标数之和恰为 n , 便 称为一种  取 牌n 一 方案 , 不 同的 n 一 方案种 数 记为  凡 ) . 试 求  1 )+ 厂 ( 2 )+… + I 厂 ( L s ) 之值 .   2 简解  结 合文 献 [ 1 ] 中的 2种 求解 方 法 , 笔 者经 过研 究得 出以下 2种更 为简 单 的解 法 .   解法 1 易知 8 9 9 -2.( 1+ 3   . + 3 9 9 ): 2. L   : 3 1 o o _1 .   对 任 意 的非负 整数 k , 得  s  :2.( 1+3+… +3   k ) :2.  — _ .   :3   +  一1<3   ,   ( 1 )   故可将  1 )+  2 )+… + l 厂 ( 5 )= _ 厂 ( 1 )+  2 )+… + - 厂 ( 3 m 。 一1 ) 分成 若干 段. 记  a  =  1 )+ l 厂 ( 2 )= I 厂 ( 3 。 )+  3  一1 )= 2   一1 ,   a 2 = , ( 3 )+ 厂 ( 4 )+… +  8 )= , ( 3   )+ 厂 ( 3  +1 )+… + _ 厂 ( 3  一1 )=( 2  一 1 )? 4 ,   。 1 0 o =  3 9 9 )+ , ( 3 9 9 +1 )+… + 厂 ( 3   一1 )=( 2   一1 )? 4 9 9 ,   因此  1 )+ l 厂 ( 2 )+… + l 厂 ( S )=( 2  一1 )+( 2  一1 )? 4+( 2  一1 )? 4  +… +( 2  一 1 )- 4  =   3?   .   说 明  此解 法 以构 成 m( 其 中 m :1 , 2, …, s ) 的1 , 3 , 3   , …, 3 鲫中次 数 最 高项 为 标 准进 行 分 类 , 即: 由   式( 1 ) 可知 , 若 能从 盒子 中取 出若 干张 纸牌 , 使其 标 数 之 和 为 3   , 3 ¨  +1 , …, 3  一1等 , 则 取 出 的纸 牌 中  最 大 的标数 必 为 3   ( 其 中取法 有 2  一1= 3种 ) , 而标 数 小 于 3   的纸 牌 可任 意 ( 其 中取法 共 4   种) , 故  由分步 乘法 计 数原 理得  (   +b ) 一6、6 一( b一口 )’   二  二  n )=   因为 0<0<b , 所以   2   一   .   亦即   故  ~ , / 2 Vb - ,  ̄ - < , /  ̄ - 巫 J b

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