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2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)专题讲座四


专题讲座四 立体几何在高考中 的常见题型与求解策略 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 考情概述 立体几何是历年高考必考的热点,试题难度中 等, 命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的 求解;试题背景有折叠问题,探索性问题等,考查了学生的 空间想象能力、 逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能 力,解决此类问题一般有传统方法和向量方法,用向量法

解 决问题可以化繁为简,降低题目的难度. 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 专题一 线面位置关系的证明与空间角的求解 (2015· 高考浙江卷 )如图,在三棱柱 ABCA1 B1 C1 中,∠ BAC= 90°, AB= AC= 2, A1 A= 4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 是 B1 C1 的中点. (1)证明: A1 D⊥平面 A1 BC; (2)求二面角 A1? BD? B1 的平面角的余弦值. 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 [解] (1)证明: 设 E 为 BC 的中点, 连接 AE, A1E, DE(图略), 由题意得 A1E⊥平面 ABC, 所以 A1E⊥AE. 因为 AB=AC,所以 AE⊥BC. 故 AE⊥平面 A1BC. 由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点, 得 DE∥B1B 且 DE=B1B, 从而 DE∥A1A,DE=A1A, 所以四边形 A1AED 为平行四边形. 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 故 A1 D∥ AE. 又因为 AE⊥平面 A1 BC, 所以 A1 D⊥平面 A1 BC. 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 (2)以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA, EB 为 x,y 轴 的正半轴,建立空间直角坐标系 Exyz,如图所示. 由题意知各点坐标如下: A1 (0, 0, 14), B(0, 2, 0), D(- 2, 0, 14), B1 (- 2, 2, 14). → → 因此A1 B= (0, 2,- 14),BD=(- 2,- 2, 14), → DB1 = (0, 2, 0). 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 设平面 A1 BD 的法向量为 m=(x1, y1, z1 ), 平面 B1 BD 的法向量为 n= (x2, y2, z2). → ? m · A ? 1 B = 0, 由? → ? ?m · BD= 0, ? 2y1 - 14z1 = 0, 即? ?- 2x1 - 2y1 + 14z1 = 0, 可取 m=(0, 7, 1). → ? DB1 = 0, ?n · 由? → ? ?n · BD = 0, 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 ? 2y2= 0, 即? ?- 2x2- 2y2+ 14z2= 0, 可取 n= ( 7, 0, 1). |m · n| 1 于是 |cos〈m, n〉 |= = . |m |· |n| 8 由题意可知,所求二面角的平面角是钝角, 1 故二面角 A1? BD? B1 的平面角的余弦值为- . 8 栏目 导引 专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 空间中线面的平行与垂直的证明思路 (1)利用相应的判定定理和性质定理去解决; (2)利用空间向量法来论证, 应用向量证明线、 面的位置关系 的关键是建立恰当的直角

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