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对数函数及其性质(第一课时)课件


指数对数函数的图象与性质
解析式 图象 定义域 值 域 定 点 范 围 单调性 y = a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1 1 0 x
y a>1 1 0 x
0 1 x

y = log a x ( a > 0, a≠1) y 0<a<1 y a>1

r />
x 0 1 R (0 , +∞) (0 , +∞) R 都过点(1,0) 都过点(0,1) x<0时,y>1; x>0时,y>1;0<x<1时y>0 0<x<1时y<0 x>0时0<y<1 x<0时0<y<1 x>1时,y<0 x>1时,y>0 减函数 增函数 减函数 增函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数

奇偶性

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞?

y?2

x

如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x? 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log 2 y

上式可以看作以y自变量的函数表达式 但习惯上仍用x表示自变量,y表示它的函数: 即

y ? log 2 x

二、引入新知
1.定义: 一般地我们把函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1)

叫做对数函数,其中x是自变量,定义域为 (0,+?)

思考:(1)为什么定义域为 (0,+?) ?

(2)为什么规定底数a>0且a≠1 (3)函数的值域是什么?

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x) (3) y=log(x-1)(3-x)
(1)因为x2>0,所以x≠?,即函数y=logax2的定义域为 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3) y=log(x-1)(3-x)
解:
因为

3-x>0
x-1>0

x-1≠?
所以 1<x<3,且x≠2即函数y=log(x-1)(3-x) 的定义域为: (1,2)??????

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表 ②描点 ③连线

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质
作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

X y=log2x y 2 1
0
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log 1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认 1 真观察函数 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -2
1 1 4 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认 真观察函数

y 2

y ? log1
2

x

1 11
42

的图象填写 下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)

的图象与性质
y
X
x =1

a>1 图 象 性 质
y
x =1
y ? l oga x (a ? 1)

0<a<1
(1,0)
O
X

O

(1,0)

y ? l oga (0 ? a ? 1)
x

( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是:

思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a

的取值变化图象如何变化?有规律吗?
y 2
11 42

y ? log 2 x

规律:在第一象限 图象自左向右底数越来 1 越大!

y ? log 3 x

0

1 2 3

4

x
y ? log 1 x
y ? log 1 x
2

-1 -2

3

y=logax
例2. 比较下列各组数中两个值的大小:

a>1

0<a<1

(1) log 25 和 log 27 (2) log 0.35 和 log 0.37 (3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1) 定义域: (0,+?)

钥 匙

1.当底数相同时,利用对数函数 的单调性比较大小. 2.当底数不确定时,要对底数a 与1的大小进行分类讨论.

值域:R 过点(1,0) 在(0,+?) 在(0,+?) 为增函数 为减函数

例3:比较下列各组数中两个值的大小: log 2 7 与 log 5 7
解:∵ log 7 5 > log 7 2 >0
1 1 ? ? log 7 2 log 7 5

y

log 2 7 log 5 7
o

y ? log2 x y ? log5 x

1

7

x

∴ log 2 7 > log 5 7

例4:比较下列各组数中两个值的大小: log 6 7 > log 7 6 log 6 7 > log 6 6 = 1 log 7 6 < log 7 7 = 1 log 6 7 > log 7 6

log 3 2 > log 2 0.8
log 3 2 > log 3 1= 0

log 2 0.8 < log 2 1= 0
log 3 2> log 2 0.8

钥当底数不相同,真数也不相同时,利用“介值法” 匙 常需引入中间值0或1(各种变形式).

小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小 1.当底数确定时,则可由函数的 单调性直接进行判断; 2.当底数不确定时,应对底数进 行分类讨论。 (二)同真数比较大小 1.通过换底公式; 2.利用函数图象。 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

函数 y ? log a x, y ? log b x, y ? log c x, y ? log d x 的图像如图所示, 则下列式子中正确的是(

C)

y

O

y ? logb x y ? log a x B.0 ? b ? a ? 1 ? d ? c x y ? log d x C.0 ? d ? c ? 1 ? b ? a y ? logc x D.0 ? a ? b ? 1 ? d ? c

A.0 ? a ? b ? 1 ? c ? d

在指数函数 y ? 2 中, x 为自变量, y 为因 变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那
x

探 究:

么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是
什么?如果不是,请说明理由。 y=2x ? x ? log 2 y y ? ? 0, ?? ?
x?R

指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数. 一般地,指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数 y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数.

? y ? log 2 x x ? ? 0, ?? ?

y?( )

1 x 2

Y
5

Y=2x
Y=X ● ●

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

y ? log 1 x

同底指数函数与对数函数的关系
y ? log a x 与 y ? a x 的图象关于 直线 y ? x 对称。
4

f?x?

= 0.5x l og?x? l og?0.5?

y ? ax (0 ? a ? 1)

4

g ?x? =
3

3

2
2

y ? a x (a ? 1)
-2

1

1

-6

y ? log a x
2

-4

4-2

6

2

4

-1

-1

(a ? 1)
-2 -3

y ? log a x (0 ? a ? 1)

-2

知识与技能目标:
1.记住对数函数的定义; 2.会画对数函数的图象。

过程与方法目标:
经历函数 y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 的画法,观察
其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一 步探究出函数 y ? loga x   ? 0,且 a ? 1) 的图象与性 (a 质.
2

情感态度价值观目标:
通过本节课的学习增强学生的数形结合思想.

作业: P74.习题2.2

7,8


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