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角动量守恒第一讲(质点)


§3.1 质点的角动量守恒定律
一、质点的角动量
二、质点的角动量定理 三、质点的角动量守恒定律 四、例题分析

1

§3.1

质点的角动量守恒定律

一、质点的角动量
1.两质点之间的相互作用
? 理想实验 ? v1 ? 结论之一: ? ? ? v2 m

1 ? v1 ? ? m 2 ? v 2 ?A ? ? ? v1 ? ? m1 dv1 ? ? m 2 dv 2 dv 1 v2 B ? 结论之二: A ? ? d v 1 和 d v 2排在两 ? 1 dv 2 质点的瞬时连线 2 上。 现以任意瞬时两质点相对于参考点O的 相互作用为例,用图形加以说明:
B
2

§3.1

质点的角动量守恒定律

? ? ? m 1 dv1 ? m 2 dv 2

? dv 1

?1

由图可知:

? m1 dv1 ? OH

m1 ? r1

? ? m 2 dv 2 ? OH

? r2

H
m2
?2

o
? ? ? ? ? m1 dv1 r1 sin ? 1 ? m 2 dv 2 r2 sin ? 2
? ? ? ? 故 m 1 r1 ? d v 1 ? ? m 2 r2 ? d v 2

? dv 2

3

§3.1

质点的角动量守恒定律

? ? ? dv ? v?v ? r ? dt ? ? dv ? r ? dt d ? ? d ? ? d ? d ? ? ? ? m1 ( r1 ? v1 ) ? ? m 2 ( r2 ? v 2 ) ( r1 ? m1v1 ) ? ? ( r2 ? m 2 v 2 ) dt dt dt dt d ? ? ? ? ? ( r1 ? m 1 v 1 ? r2 ? m 2 v 2 ) ? 0 dt ? ? ? ? ? 即 r1 ? m 1 v 1 ? r2 ? m 2 v 2 ? C (常矢量 ) 4

? ? ? m 2 r2 ? dt ? dt ? d ? ? dr ? ? dv 先 考 察 : (r ? v ) ? ?v ? r ? dt dt ? dt

? m 1 r1 ?

? dv1

? dv 2

§3.1

质点的角动量守恒定律

2.质点的角动量(动量矩)
? ? ? ? ? L ? r ? mv ? r ? p

? L

0

.

v sin ? ? ? ? r v ( p)

L ? rmv sin ?

.

v cos ?

?

称为质量为m的质点相对参考系o点的角动量

注意:有动量 垂直于位置矢量的分量具有角动 量,所以,角动量是描述质点的运动方向相对 于参考点的变化或物体的转动特征的物理量。 它主要用来研究质点的椭圆和圆等曲线运动以 及物体的转动等问题。
5

§3.1

质点的角动量守恒定律

二、质点的角动量定理
1.力矩 对于由两质点构成的质点系有:
? 定义力矩: 令 M ? ? dL dt
d ? d ? ? ? ( r1 ? m1v1 ) ? ? ( r2 ? m 2 v 2 ) dt dt ? ? d L1 d L2 ?? dt dt

? ? M 12 ? ? M 21

一对相互作用的力对同一参考点的力矩矢量和为零。
6

§3.1

质点的角动量守恒定律
? dLi dt
n

若一质点受到n个质点的作用,则作用于质点合力矩:
? d ? Li ? dL i M ? ? ? dt dt

?
i

?

?
i ?1

? Mi

一个质点的角动量对时间的变化率等于所有其它 质点给予它的力矩的矢量和(合力矩)。

2.质点的角动量定理

? ? ? ? (1)微分形式: M ? dL / dt ? dL ? Mdt
? ? ? ? (2)积分形式: ? M dt ? ?? d L ? L2 ? L1
t2 t1 ? L2 L1

? ? 式中: ? M dt 称为合外力矩 M 的冲量矩。 t ? ? L1 , L 2 分别为 t 1 和 t 2时刻质点的角动量 .
t2
1

7

§3.1

质点的角动量守恒定律

3.力矩与力的关系
? dL

? ? ? 因一质点对于一给定点(0)有: L ? r ? p

d ? ? ? ? ? ? ? (r ? p) ? ? r? ? p?r? dt dt dt dt dt ? ? dL ? ? dr ? 故 ? r? f ?p?0 dt dt ? M 大小 : M ? fr sin ? ? ? ? 力矩: M ? r ? f 0 ? 方向:如图. r

? dr

? dp

? dp

.

? f

.

?
8

§3.1

质点的角动量守恒定律
? dL dt

三、质点的角动量守恒定律
由质点角动量定理微分形式: 质点的角动量守恒定律:
? 条件:M ? 0
? ? 结论:L ? L0 ? 常矢量

? ? M

若对惯性参考系中一个固定点而言,质点受的合 力矩为零,则质点对该固定点的角动量大小和方向 均保持不变。
? ? 注意:M 和 L 均对惯性参考系中同一个固定点而言。
9

§3.1

质点的角动量守恒定律

四、例题分析 讨论质点作匀速直线运动的角动量。 [解] (1)如图所示。 o ? A R 若以A点为参考点,则在任 ? ? ? ? r? 一时刻t,有 p ? m v r
质点相对于 A 点的 ? ? ?平行于 p . 位矢 r ? ? ? ? LA ? r ? ? p ? 0

? mv

B

? ? ? 若以O点为参考点,则在任一时刻 r ? R ? r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? LO ? r ? p ? ( R ? r ? ) ? p ? R ? m v
10

§3.1

质点的角动量守恒定律
? mv

[解] (2)如图所示。 质点m匀速运动,若以O 点为参考点,则在任一 时刻,质点的角动量为:
? ? ? ? ? L O ? r ? m v ? r? ? m v ? ? ? ? ? r1 ? m v ? r2 ? m v

? mv
? r1

? mv
? r2

? r?

? 常矢量 ? ? 大小 : L0 ? mv r?
方向 : 垂直板面向里 .

o

必须注意: 参考点不同角动量不同。
11

§3.2 质点系的角动量守恒定律
一、质点系的角动量
二、质点系的角动量定理 三、例题分析

12

§3.2

质点系的角动量守恒定律

一、质点系的角动量
质点系对惯性系中某一给定参考点O的总角动量 为各质点i 对O点的角动量的矢量和
? L ? ? Li ? ? ? ri ? p i ?

?
i

?
i

?
i

? ? ri ? m i v i

二、质点系的角动量定理
? M ? ? dL dt ?

?
i

? dLi dt

?

? ? dt
i

? d ri

? ? ? Pi ? ri ?

? d Pi dt

?

? ? ? ? ? ri ? ( f i内 ? f i外 )
i

? ? ? ? ? ? ? ? ( ri ? f i内 ) ? ? ( ri ? f i外 ) ? M 内 ? M 外
i

? ? 又 ? f i内 ? ? f ij
j?i

i

? ? ? ? ? M 内 ? ? ri ? f i内
i

??
i

? ? ri ? f ij
13

j?i

§3.2 质点系的角动量守恒定律 ? ? 而 f ji ? ? f ij ? ? ? ? ? ri ? f ij ? r j ? f ji ? ? ? ? ( ri ? r j ) ? f ij
? ? ? rij ? f ij

? f ij

i

? ri
? rj

? rij
j

?0

? ? ? 故 M 内 ? ? ? ri ? f ij
i j?i

o

? f ji

?0

? 即 M内 ? 0

质点系的总内力矩为零
14

? §3.2 质点系的角动量守恒定律 ? ? ? ? dL ? dL ? M 外 ? M内 ? M内 ? 0 ? ? M外 ? dt dt dL ? ?0 若 M外 ? 0 则 dt ? ? ? ? 即 L ? ? L i ? ? ri ? m i v i ? 常矢量 角动量守恒定律
i i

t2

? ? ? ? ? M 外 dt ? ?? d L ? L 2 ? L1 质点系的角动量定理
L1

? L2

t1

? 1.对于有心力(如:行星绕太阳运转) v 注意: ? ?

? ? M外 ? 0 ? ri ? f i外 ? 0 m对力心0(M的中心)的角动量守恒. M
? ? ri ? m v i ? 常矢量

i

0

? ri fi

.?m
15

注意:

m 对 M 的动量不守恒 .

§3.2

质点系的角动量守恒定律
则 L x ? ? L ix ? 常数
i

2、若 M 外 x ? 0

3、合外力为零但合外力矩不一定为零; 如:力偶
? ? f1 ? ? f 2 ? f2 l

.0

l

? f1

合外力矩为零合外力也不一定为零。 如:有心力问题

16

§3.2

质点系的角动量守恒定律

三、例题分析
例题 1( 题 4 . 6 )

已知条件如图所示。
24

m 1 ? 5 . 98 ? 10

kg
11

r1 ? 1 . 496 ? 10 m 7 T1 ? 3 . 156 ? 10 s

地球绕太阳旋转

? ? ? [解] ? L ? r ? p ? L ? r p ? rmv

假定它的轨道 是圆形,且为匀速 圆周运动,试求它 们的角动量。 ? ? p ? mv

.

因此地球绕太阳旋转的角动量:
L1 ? r1 m 1 v 1 ? 2? r m 1
2 1

? r1
17

T1 40 2 ?1 ? 2 . 663 ? 10 kg ? m ? s

§3.2
例题 2 .

质点系的角动量守恒定律

已知桌面光滑,其它条件如图所示。
m ? v1

m ? 0 . 40 kg ,
R 1 ? 0 . 50 m ,

R1
? F

R2

v 1 ? 4 .0 m s ;

当运动半径变为0.10m时,试求:
(1 ) v 2 , A F , F ( L , m , R ) ? ?
( 2 )如果这时放开绳子,小球将如何运动?

[解] 因角动量守恒,所以 mv R ? mv R
2 2 1

1

18

§3.2
故 v2 ? R1 R2

质点系的角动量守恒定律
v 1 ? 20 m s

因此

AF ?

1 2

mv ?
2 2

1 2

mv 1 ? 76 .8 J
2

又? F ? m
因此

v

2

?v ?
2

L mR
2

R

L ? L ? 1 F ? m? ? ? 3 mR ? R mR ?

放开绳子时,小球将沿切线方向飞出。

注意:利用变力做功也可计算。
? ? R2 R2 AF ? ?Rr1 F ? dr ? ?R1 F ( ?dR)
? ? ?R12
R

L

2

mR

3

dR ? 76.8 J
19

§ 1.7 刚体的基本运动
一、刚体
在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状 和体积的改变的理想模型。 在研究刚体时,把刚体分成许多部分,每一部分 小到可以看成质点,叫做刚体的质元。

刚体是各质元间的相对位置永不发生变化的质
点系。或所有质元间距保持不变的质点系。
20

二、刚体的基本运动形式
1. 平动

刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持平行。
A B A? B? A?? B??

特点:刚体内任意一质元的运动都可代替刚体的运 动。常以质心作为代表点。这样,平动的刚体可看 成质点,质点的运动规律就是刚体的平动规律。
21

2. 刚体定轴转动
转动: 刚体上任意一质元都在绕同一直线作圆周 运动。 定轴转动:各质元均作圆周运动,其圆心都在一 条固定不动的直线(转轴)上。

O

转轴

既平动又转动:质心的平 A? 动加绕质心的转动

?

?

?A

22

三、定轴转动的描述 1. 定轴转动的特点:

(1) 刚体上所有不在转轴上的各个质元都在做半
径不等的圆周运动;

(2) 圆周轨道所在平面垂直于转轴, 这平面叫做
转动平面;圆周轨道的中心就是转动平面与转轴的

交点O,称为转心;
(3) 各个质元作圆周运动的半径 ri 不等,运动速度 vi 也不等,但各个ri 在相同的时间内转过相同的角度。
23

转心 转动平面

O

ri

P

X

转轴

参考 方向

? vp P ?? ? vQ Q
??

X X

各质元的位移、速度、加速度一般不同,

但角位移、角速度、角加速度都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
24

2. 定轴转动的角量描述
角位移:? ( t ) ?
lim 角速度: ? ? ? t ? 0 ?? ?t ? d? dt

角速度是矢量,其方向 规定为沿轴方向,指向 用右手螺旋法则确定。

lim 角加速度: ? ? ? t ? 0
角加速度 也是矢量

?? ? t

dt ? ? ? ? d ? 加速转动 ? ?方向一致 ? ? ? ?

?

d? dt

?

d ?
2 2

dt

减速转动 ? ?方向相反
?
? R

质点作圆周运动时,若以 圆心为原点,则其角速度、速 度、位矢之间的关系是

?

? ? ? v ???R

? v
25

3. 定轴转动刚体中各质元的线量与角量的关系 z 对于任一质元Pi : ? ? ? ? ? ? v i ? ? ? R i ? ? ? ri
v i ? ? ri sin ? i ? ? R i

? ? ? ? ? ai ? a? i ? ani ? a? i? ? ani n
a? i ? dvi dt ? ri d? dt
2

? vi
?
? ?p i Ri

sin ? i ? Ri
2 2

d? dt

? Ri ?
2

?

? ? i ri

ani ?

v

2 i

Ri

?

? ri sin ?i
Ri

? Ri?

刚体质元

o

26

§1-7

刚体的基本运动

例题1.测量光速的方法中,一种是旋转齿轮 法。一束光线通过轮边齿间空隙到达远处的镜 面上,然后调节齿轮转速,使得光束在反射回 来时刚好能够通过相邻的齿间空隙。若齿轮的 半径为6.0cm ,所给齿轮边上共有500 个齿, 当镜面与齿轮间的距离为500m时, 所测得的光 速为0 ? 10 5 km/s ,试问齿轮旋转的角速度为 3. 多大?齿轮边缘上一点的线速度为多大? 2? [解]
? ?
?? ?t ? 500 500 ? 2 3 . 0 ? 10
3
8

? 3 . 8 ? 10 rad ? s
3

?1

v ? ? R ? 3 . 8 ? 10 ? 0 . 06 ? 2 . 3 ? 10 m s
2
27

§3.2
例题 3 .

质点系的角动量守恒定律

1961年4月12日,前苏联的加加林 成为第一个宇航员,当时所采用的卫星——宇 宙飞船的质量为 m ? 4725 kg , 近地点P 和远地 点A的高度分别为 z P ? 180 km 和 z A ? 327 km , 试求卫星通过海拔为z时的速度v 与 z 、 z P、 z A 、 地球质量M、地球半径R、引力常数G之间的函 数关系。 ? ? vP [解]椐题意作示意图如下: v z 因为卫星在有心力场 zA R zP A P M 中运动,所以其机械 ? 能、角动量均守恒。 vA
28

§3.2

质点系的角动量守恒定律

?E ? EA ? EP ? 即 ? L ? m ( z A ? R )v A ? ? m ( z ? R )v ? P P
2 ? L ? E A ? 2m ( z ? A ? 2 ? L ? ?EP ? 2m ( zP ? ? ? 1 2 ? E ? mv ? G 2 ?

? v

z
zA
R
M

? vP
zP

A

P

? vA
Mm (zA ? R) Mm (zP ? R) ? ? (1 ) ?? (2)

R)

2

?G ?G

R)

2

Mm z? R

??????? (3)

联立(1)、(2)、(3)可得:
29

§3.2
v?

质点系的角动量守恒定律

2GM ? zP ? R zA ? z ? ? ? ? zA ? R ? zA ? zP ? 2 R z ? R ?

由方程的对称性可知另一解为:
v? 2GM ? zA ? R zP ? z ? ? ? ? zP ? R ? zA ? zP ? 2 R z ? R ?

30


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