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天津市第一中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试题


天津一中 2015-2016-1 高三年级第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题: 1.“ ? ?

2π ?π ? ”是“ tan ? ? 2cos ? ? ? ? ”的( A ). 3 ?2 ?
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 2. 右图是计算

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图, 其中判 2 4 6 100
C ) C. i ? 100 D. i ? 100 B. i ? 50
2013

断框内应填入的条件是( A. i ? 50
2

3.若 a ? i ? i ? ?? ? i ( D ) A. i 4.将函数 y ? cos ? x ?

a (1 ? a )2 的值为 ( i 是虚数单位 ) ,则 1? a

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

? ?

??

? ? 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 6 个 3?
C ) C. x ?

单位,所得函数图像的一条对称轴为( A. x ?

?

9 8 2 x y 5.已知实数 x , y 满足 a ? a ? 0 ? a ? 1? ,则下列关系式恒成立的是( D ) .
A. x 2 ? 1 ? y 2 ? 1

B. x ?

?

?

D. x ? ?

1

1

B. ln(x ? 1) ? ln(y ? 1)
2 2

C. sin x ? sin y

D. x ? y
3

3

?y ? x ? ? 6.若 x 、y 满足约束条件 ? x ? y ? a , 其中 a ? ? (sin x ? cos x)dx , 则 z ?x ? y 2 的最大值为 ( B) 0 ? y ? ?1 ?
A.1 B.3 C.-3 D.5 ( n ? N * ), bn ? log2 an ,则数列{bn}的前 n

7.已知正项数列{ an }的前 n 项的乘积等于 Tn= ( ) 项和 Sn 中最大值是( D )

1 4

n2 ?6 n

·1·

A.S6 8.已知函数

B.S5

C.S4

D.S3

?2x ?1, x?0 f ( x) ? ? ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按照从小到大的顺序 ? f ( x ?1) ? 1, x ? 0
C ).

排成一个数列 {an } ,则该数列的通项公式为 ( A. an ?

n(n ? 1) (n ? N * ) 2

B. an ? n(n ? 1) (n ? N * ) D. an ? 2n ? 2 (n ? N * )
12 2 2 12 2 2 12 2 2
1 1

C. an ? n ?1 (n ? N * ) 二、填空题:

9.一个几何体的三视图如所示,则这个几何体的表面积 为__ 2 2 ___.

12 2 2

10.函数 y ? loga ? x ? 3? ? 1 ? a ? 0 且 a ? 1? 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 最小值为 8 .

正视图

侧视图

1 2 ? 的 m n

1

1

俯视图

11. 定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积”,它的长度 | a * b |?| a | ? | b | ? sin ? , 其中? 为向量 a 和 b 的 夹角,若 u ? (2,0), u ? v ? (1, ? 3), 则 | u *(u ? v) | =

? ?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

2 3

.

12. 如图, PA 是圆 O 的切线, A 是切点,直线 PO 交圆 O 于

A P D B O C E

B 、 C 两点, D 是 OC 的中点,连结 AD 并延长交圆 O 于点 E ,
若 PA ? 2 3 ,∠ APB ? 30? ,则 AE ? ___

10 7 _____. 7

13.圆 C:? ? ?4sin ? 上的动点 P 到直线 l : ? sin(? ?
2 3 2

?
4

) ? 2 的最短距离为__ 2 2 ? 2 ________.

14. 关 于 实 数 x 的 不 等 式 x ? 25? | x ? 5x |? ax 在 ?1,12? 上 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____ ? ??,10? ______.

三. 解答题(共 6 题,80 分)
·2·

(15)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (Ⅰ)当 a / /b 时, 求2cos x ? sin 2x 的值;
2

?

3 ? 2

?

?

(Ⅱ)求 f ( x) ? (a ? b) ? b在[? (1)? a // b , ?

?

? ?

?
2

, 0] 上的值域.

3 3 cos x ? sin x ? 0, ? tan x ? ? ????????3 分 2 2 2 2 cos x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . ? ???6 分 2 cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? tan 2 x 13 sin 2 x ? cos2 x ? ? ? 1 ? ? 2 ? (2)? a ? b ? (sin x ? cos x, ) , f ( x) ? (a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 2 4 ? 3? ? ? ? 2 ? ? ? x ? 0, ? ? ? 2 x ? ? , ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? ? ??10 分 2 4 4 4 4 2 2 1 2 1 ?? ? f ( x) ? , ∴函数 f ( x)的值域[? , ] ??????13 分 2 2 2 2

(16)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

2 .现在甲、乙两人从袋中轮流 7

摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个 球在每一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ; (Ⅲ)求甲取到白球的概率.

n(n ? 1) 2 C n(n ? 1) 2 (Ⅰ)设袋中原有 n 个白球,由题意知: ? ,所以 n(n ? 1) =12,解得 n=4(舍 ? ? 7 ? 6 7 C 7?6 2 去 n ? ?3 ),即袋中原有 4 个白球…………………(4 分)
2 n 2 7

(Ⅱ)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4……………………………………(5 分)

?

1

2

3

4

·3·

所以,取球次数 ? 的分布列为:

4 3? 4 2 3? 2 ? 4 4 3 ? 2 ?14 ?4 2 1 4 P(? ? 1) ? ; P(? ? 2) ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; P(? ? 4) ? ? 7 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 7 ?P 6 ? 57 ? 4 7 35 35


1 35

E? ?

8 …………………………………(11 分) 5

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次和第 3 次取球,记“甲取到白球”的事件为 A, 则 P( A) ? P("? ? 1" 或 “ ? =3”),所以 P ( A) ? P (? ? 1) ? P(? ? 3) ?

24 ………(13 分) 35

0 (17)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形,AB//CD , ?DAB ? 90 ,PA ? 底面 ABCD ,且

1 ,AB=1,M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:平面 PAD ? 平面 PCD
PA=AD=DC= (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角余弦值 (Ⅲ)求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值

P
M

A
D
C

B

解:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐 标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M(0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

1 2

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ??
(Ⅲ) ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

10 . 5

( 18 ) 各 项 均 为 正 数 的数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, S n 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 n ? N , 有
?

2 3

2Sn ? 2 pan ? pan ? p( p ? R)
·4·

2

(Ⅰ) 求常数 p 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 bn ?

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n?3
2

解: (1)由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pan ? pan ? p(n ? N ? ) ,得:

2 ? 2p ? p ? p
2 2

? p ?1
① ②
2 2

3分

(2)由 2S n ? 2an ? an ? 1 得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1 由②—①,得

4分 2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) 即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0 由于数列 ?an ? 各项均为正数, ? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0 1 6分 ? 2an?1 ? 2an ? 1 即 a n ?1 ? a n ? 2 1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 8分 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2 4S n n ?1 n(n ? 3) ? bn ? ? 2n ? n ? 2n (3)由 a n ? ,得: S n ? 9分 2 4 n?3 ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? n ? 2n

2 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 1? 2
13 分

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2
(19)已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x) ?

2bx , a ? 0, f (1) ? 1 ,使 f (x) ? 2 x 成立的实数 x 只有一 ax ? 1

个. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若数列 {an } 满足 a1 ?

2 1 , an?1 ? f (an ), bn ? ? 1, n ? N ? , 3 an

证 明 数 列 {bn } 是 等 比 数 列 , 并 求 出 {bn } 的 通 项 公 式 ; (Ⅲ)在(2)的条件下,证明:

a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 1
解: ( 1 ) f ( x) ?

2bx 2bx ? 2 x, f (1) ? 1, 得 a ? 2b ? 1 . 由 f ( x) ? 2 x 只 有一解 , 即 ? 2x , ax ? 1 ax ? 1 2x , x ?1

2ax2 ? 2(1 ? b) x ? 0(a ? 0) 只有一解,? b ? ?1, a ? ?1? f ( x) ?

·5·

1 ?1 bn ?1 an ?1 ?an ? 1 1 2an 1 ? ? ? ? , (2) an ?1 ? f (an ) ? (n ? N ), bn ? ? 1 , 1 bn 2(1 ? a ) 2 an ? 1 an n ?1 an

?{bn } 为等比数列, q ?
(3)? anbn ? an (

1 2 1 1 1 n n ?1 , a1 ? ,? b1 ? ? 1 ? ,? bn ? b1q ? ( ) , 2 3 a1 2 2

1 2n 1 , ? 1) ? 1 ? an ? 1 ? n ? n an 2 ?1 2 ?1
1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? n ? ? 2 ? ? ? n ? 1? n ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2 2 2
1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?

(20)设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax . 1 (Ⅰ)若 x= 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值; 2 (Ⅱ)若 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围;
2 (Ⅲ)设 g ( x) = f ( x)- x + 1,当 a = - 1 时,证明 g ( x) ? 0 在其定义域内恒成立,并证明

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 - n - 1 ( n 纬N ,n + + L + < 22 32 n2 2(n + 1) 1 f ?( x) ? ? 2 x ? a , x
(Ⅰ)因为 x ?

2)

1 1 时, f ( x ) 取得极值,所以 f ?( ) ? 0 , 2 2
故 a ? ?3 . ……………………………………………4 分

即 2 ? 1 ? a ? 0,

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ? 0 , ? ?? .

f ?( x) ?

1 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立 x 1 , x

参数分离得: ? a ? 2 x ? 令 h( x) ? 2 x ?

1 1 1 ( x ? 0) 又? 2 x ? ? 2 2 x ? ? 2 2 x x x
1 2 , 即x ? 时 h(x)的最小值为 2 2 x 2

当且仅当 2 x ?

??a ? 2 2
则 a 的取值范围是 [?2 2, ??) .………………………………………8 分
·6·

(Ⅲ)证明: g ( x) = ln x + ax + 1,当 a =-1 时, g ( x) = ln x - x + 1 , 其定义域是 ? 0 , ? ?? ,

1 - 1 = 0 ,得 x = 1 .则 g ( x) 在 x = 1 处取得极大值,也是最大值. x 而 g (1) = 0 .所以 g ( x) ? 0 在 ? 0 , ? ?? 上恒成立.因此 ln x ? x 1 .………………10 分 ( x) = 令 g?

ln n 2 n 2 - 1 1 ? 1- 2 . 2 2 n n n 2 2 2 ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 + L + 2 ? (1 ) + (1- 2 ) + L (1- 2 ) 所以 2 + 2 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 + +L + ) = (n - 1) - ( 2 + 2 + L + 2 ) < (n - 1) - ( 2 3 n 2创 3 3 4 n(n + 1)
因为 n 纬N ,n

2 ,所以 ln n2 ? n2 1 .则

= (n - 1) - ( -

1 2

1 2n2 - n - 1 )= . n+ 1 2(n + 1)

所以结论成立

……14 分

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·7·


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