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利用空间向量求空间角(1)


3.2.3 立体几何中的向量方法
——空间角问题(1)

无为二中数学组

陶小六

空间的角:

空间的角常见的有: 线线角、线面角、 面面角

1.若a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), 则:
数量积: a

? b

? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
| a |?|b |
?

?| a | ? | b | ? cos ? a, b ?
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

a ?b 夹角公式: cos ? a ? b ? ?

2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ),则:

AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
3.直线的方向向量和平面的法向量及其求法

探究一:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围:? ? ? 0, ? 思考: ? 2? C D ? CD, AB ? 与? ?的关系? D1 A ? ? DC, AB ? 与? ?的关系? ? B 设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
?
b a a b

?

? ? a??, ??b

|

? ? ? ? a??, ??b

|

结论:

?

| cos ? a, b ?|

例1.如图所示的正方体中,已知F1与E1为四等分 点,求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值?
z

D1 A1

F1 E1 B1

C1

① 几何法:平移

② 向量法
C

D A B

cos ? DF1 , BE1 ?
y

cos ? DF1, E1B ?



G
x

向量法求异面直线所成角步骤:
(1)构建恰当的空间直角坐标系; (2)正确求得所对应点的坐标,空间向量的坐标表 示及其数量积; (3)代入空间向量的夹角公式,求得其余弦值; (4)根据题意,转化为几何结论.

例2: Rt ?ABC 中,?BCA ? 90 ,现将该三角形沿着平面ABC

的法向量平移到?A1B1C1位置,已知 BC ? CA ? CC1,

解:如图所示,建立空间直角坐标
1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

取A1B1、AC 的中点D1、F1,求BD1与AF1所成的角的余弦值. 1 1 z

系C ? xyz,如图所示,设CC1 ? 1则: F1
A1
A

C1

D1
C

B1

1 所以: AF1 ? (? , 0,1), BD1 ? ( 1 , ? 1 ,1) 2
2 2

B

y

1 ? ?1 AF1 ? BD1 30 4 ? ? ? cos ? AF1, BD1 ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

探究二:线面角
斜线与平面所成的角

平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A

O

B

?

当直线与平面垂直时,直 线与平面所成的角是90°

?

当直线在平面内或 与平面平行时, 直线与平面所成的角是0°

直线与平面所成的角

? ?

[ 0°, 90°]

斜线与平面所成的角
( 0°, 90°)

二、线面角向量法: 范围: ? ? [0, 2 ]
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量 ? ? 所成角 ? AB, n ? 的余角.
n
AB ? n cos < AB, n >= | AB | ? | n |
? ?

?

sinα = cos < AB, n >?

?

?

AB ? n | AB | ? | n |

A

?

B

| AB ? n | sinα = | AB | ? | n |

线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.

A(0,0,0), M (6,2,6) A 由A1 N ? 5, 可得 N (0,4,3) B ? AM ? (6,2,6), AN ? (0,4,3). x B ?
设平面 的法向量n ? ( x, y, z),由 ? ? ? 6x ? 2 y ? 6z ? 0 AM ? n ? 0 即 ? ? 4 y ? 3z ? 0 AN ? n ? 0

例3: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. 分析:求线面所成角的两种方法:几 z 何法和向量法 D1 A1 1 1 解:如图建立坐标系A-xyz,则 NC B1 1 1 M 1
D D

y

C C

例3: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
? | AD ? n | ? ? ?| sin ? |? | AD || n |

? 4 得n ? (1,1,? ) 又 AD ? (0,8,0), 3?
| 0 ? 1? 8 ? 0 | 3 34 ? ? , 34 4 2 2 2 8 ? 1 ? 1 ? (? ) 3

A1 1 B1 1 M

z
NN

D1 1

C1 1
D D

A

y

x

B B

C C

3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34

向量法求线面所成角的步骤

? ? ? ?

1、构建恰当的空间直角坐标系 2、求出平面的法向量 3、求出直线的方向向量 4、求以上两个向量的夹角,(锐角)其余 角为所求角

练习 如图正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
C Z A1
1

B1

C

A

o x

B

y

三、面面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
?

二面角的平面角必须满足: l
O B 1)角的顶点在棱上 ? 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱

A

范围:[0,? ]
10

三、面面角:
向量法

? ? n1, n2
n2

? ? ? ? n1, n2

?

? n2
?
l

n1
?

?
n1
l

?

cos ?

?

cos ? n1, n2 ?

cos ?
? ?

? ? cos ? n , n
1

2

?

结论: cos ? ? ? cos n1 , n2
关键:观察二面角的范围

例6.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的边长为2, DD z O为AC和BD的交点,M为 的中点 1 (1)求证: 直线 B1O ? 面MAC; D1 (2)求二面角 B1 ? MA ? C 的余弦值.
①证明:以 DA 为正交基底, A1 、 DC、 DD1 建立空间直角坐标系如图。则可得
所以MA ? (2, 0, ? 1), MC ? (0, 2, ? 1), B1O ? (?1, ? 1, ? 2)
D O A B

C1 B1

M

C

y

A(2, 0,, 0) C (0, 2,, 0) M (0, 0,, 1) B1 (2, 2,, 2) O(11 , ,。 0)

x

B1O ? MA ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0, B1O ? MC ? 0 ? ?2 ? 2 ? 0 所以B1O ? MA , B1O ? MC 即B1O ? MA , B1O ? MC。又MA MC ? C
所以B1O ? 平面MAC

② 由①知 B1O ? 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量
且B1O ? (?1 , ?1 , ? 2)
设平面B1MA的一个法向量为n ? ( x,y,z) D1 由A(2, 0,, 0) M (0, 0,, 1) B1 (2, 2, 2)得 A
z
C1 B1

MA ? (2, 0, ?1), MB1 ? (2, 21) ,
所以n ? MA ? 0,n ? MB1 ? 0

1

M

?2 x ? 0 ? z ? 0 即? 取z =2得x=1,y = - 2 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 A

D O B

C

y

所以平面B1MA的一个法向量为 n ? (1, ? 2, 2) ?1 ? 2 ? 4 6 cos B1O, n ? ?? 6 6? 9

x
由图可知二面角为锐角

6 所以二面角B1 ? MA ? C的余弦值为 。 6

0 例 四 : 如所示,A B C D 是一直角梯形, ? A B C = 90 , 例7 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA z 2 所成二面角的余弦值.

解: 建立空直角坐系A- xyz如所示, 1 B D (0, , 0), S (0, 0,1) 1, 0) , C A( 0, 0, 0) , C (- 1, 2 1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) y A 2 D x 1 1 CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 2 设平面 SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? x ? ?0 ? ? 2 ? ?y?z?0 ? ?2
? x? ? ? ?? ?z ? ? ? y 2 y 2

S

任取n2 ? (1,2,1)

n1 ? n2 6 6 ? cos ? n1 , n2 ?? ? 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

练习.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面 EAB,CB//DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M 是EC的中点,(Ⅰ) 求证:DM⊥EB; (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
D C A M N B

E

解: 分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a, 则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0, 2a, 0),C(0, a 2a,a),D(0,0,2a),所以M(a,a, ) 2
z D

A

M

(Ⅰ)证:DM=(a,a,-1.5a), EB=(-2a,2a,0), C DM · EB =a (-2a) +a · 2a +0=0
B
y

E x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)

DM⊥EB,即DM⊥EB

DB=(0,2a,-2a)由n⊥DB, n⊥DM得

?y = z ?n ? DB = 2ay ? 2az = 0 ? ? ? ? 3 ? 3 x+y? z = 0 ? n ? DM = ax + ay ? az = 0 ? ? 2 ? 2

取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),

又平面BDA的法向量为 n1=(1,0,0),
z D

1 = = . 2 2 2 2 2 2 3 1 +2 +2 ? 1 +0 +0 C
M
B y

cos <n,n1>

1+ 0 + 0

A E x

即二面角M-BD-A的余
1 弦值为 3

练 习: 如图,已知:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°, SO⊥面OABC,且 OS=OC=BC=1,OA=2。求: ⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值, ⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 , O ⑶二面角B-AS-O的余弦值。
A

z
S

C
B

y

解:如图建立直角坐标系, 则A(2,0,0); B(1,1,0); C(0,1,0); O(0,0,0); S(0,0,1), 于是我们有

x

SA =(2,0,-1); AB =(-1,1,0);

OB =(1,1,0); OS =(0,0,1);

z (2)设面SAB的法向量 显然有

n ? ( x, y, z)
O

S

n ? AB, n ? SA
C A B

?? x ? y ? 0 ?? ? 2x ? z ? 0
令x=1,则y=1,z=2;从而

y

n ? (1,1,2)
OS ? n

x

2 6 ? sin ? ? cos ? OS, n ? ? ? ? 3 OS ? n 1? 6

⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =(1,1,2) 又∵OC⊥面AOS,∴OC 是面AOS的法向量, 令 n2

z
S

? OC ? (0,1,0)
1 ? 6 n1 ? n2 n1 ? n2
O
C A B

则有 cos ? n1 , n2 ??

y

由于所求二面角的大小等于 ? n1, n2
∴二面角B-AS-O的余弦值为

?
6 6

x

⑶ . cos ? SA, OB ??

SA? OB SA ? OB

?

2 10 ? 5 5? 2
10 5

所以直线SA与OB所成角余弦值为

小结:
1.异面直线所成角:

cos ?

?

C
a a

D

| cos ? a, b ?|

A

?

b

?
B
A

D1

2.直线与平面所成角:

n
O

sin ?

? | cos ? n, AB ? |
?

B

?

n

作业布置
课本 P 112 第1,4题


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