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2015年高考数学题分类汇编(文):14.复数


1.【2015 高考新课标 1,文 3】已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i 【答案】C 【解析】∴ ( z ? 1)i ? 1 ? i ,∴ z ? 【考点定位】复数运算 【名师点睛】本题考查复数的运算,先由 ( z ? 1)i ? 1 ? i 解出 z,再利用复数的除法运算法则 求出复数 z,本题也可以设出复数 z,利用两个复数相等的充要条件,解出复数 z,解复数 题目的关键熟悉复数的相关概念,掌握复数的运算法则. 2.【2015 高考山东,文 2】若复数 Z 满足 (A) 1 ? i 【答案】 A (B) 1 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

1 ? 2i (1 ? 2i )(?i ) ? ? 2 ? i ,故选 C. i ?i 2

z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 Z=( 1? i
(D) ?1 ? i

)

(C) ?1 ? i

(1 ? i ) 2 3.【2015 高考湖南,文 1】已知 = 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? ( z
A、 1 ? i 【答案】D 【解析】由题 B、 1 ? i C、

)

?1 ? i

D、 ?1 ? i

(1 ? i ) 2 (1 ? i ) 2 ?2i ?2i (1 ? i) ? 1 ? i,? z ? ? ? ? ?1 ? i ,故选 D. z 1? i 1? i 2

【考点定位】复数的运算 【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时,直接利用多项式的乘法分配律进行计算,在最 后一步的计算中,根据 i 2 ? ?1 ,最后根据复数的加法原则,实部与实部相加,虚部与虚部 相加便可得到最终结果; 在进行复数的除法运算时, 首先将分式的分子分母同时乘以分母的

共轭复数,分子的运算遵循复数的乘法运算法则,从而得到相应的结果. 4.【2015 高考湖北,文 1】 i 为虚数单位, i 607 ? ( A. ?i 【答案】 A . 【解析】因为 i 607 ? (i 2 )303 ? i ? ?i ,所以应选 A . 【考点定位】本题考查复数的概念及其运算,涉及分数指数幂的运算性质. 【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起,不仅考查了复数的概念,也 考查了分数指数幂的运算性质, 充分体现了学科内知识之间的联系性, 能够较好的反应学生 基础知识的识记能力和计算能力. 5.【2015 高考广东,文 2】已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

) D.1

B. i

C. ?1



A. ?2 【答案】D

B. 2

?2i C.

2i D.

【解析】 ?1 ? i ? ? 1 ? 2i ? i 2 ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i ,故选 D.
2

【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算,属于容易题.解题时一定注意 ?1 ? i ? 的
2

展开,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算,即

? a ? bi ?

2

? a 2 ? b 2 ? 2abi , i 2 ? ?1 .

6.【2015 高考福建,文 1】若 (1 ? i ) ? (2 ? 3i ) ? a ? bi ( a, b ? R, i 是虚数单位) ,则 a, b 的 值分别等于( A. 3, ?2 【答案】A 【解析】由已知得 3 ? 2i ? a ? bi ,所以 a ? 3, b ? ?2 ,选 A. 【考点定位】复数的概念. 【名师点睛】 本题考查复数相等的充要条件和复数运算, 利用复数相等可以确定参数的取值, 属于基础题,但是要注意运算准确. 7.【2015 高考安徽,文 1】设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? ( (A)3+3i 【答案】C (B)-1+3i (3)3+i (D)-1+i ) ) B. 3, 2 C. 3, ?3 D. ?1, 4

【解析】因为 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1 ? 2i ? i ? 2i ? 3 ? i ,故选 C.
2

【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算公式. 【名师点睛】在应用复数的乘法运算公式时,一定要注意 ?2i 2 的运算结果,本题很好的考 查了考生的基本运算能力. 8.【2015 高考北京,文 9】复数 i ?1 ? i ? 的实部为 【答案】 ?1 【解析】复数 i (1 ? i ) ? i ? 1 ? ?1 ? i ,其实部为 ?1 . 【考点定位】复数的乘法运算、实部. 【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和复数的概念,属于容易题.解题时要抓住 重要字眼“实部” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算和复 数的概念,即 ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i , i 2 ? ?1 ,若 z ? a ? bi ( a 、 .

b?R ) ,则复数 z 的实部是 a ,虚部是 b .
9.【2015 高考重庆,文 11】复数 (1 + 2i) i 的实部为________. 【答案】-2 【解析】由于 (1 + 2i) i = i + 2i = - 2 + i ,故知其实部为-2,故填:-2. 【考点定位】复数的概念与运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,利用复数的乘法法则进行求解.本题属于基础题, 注意复数实部的概念. 10.【2015 高考四川,文 11】设 i 是虚数单位,则复数 i ? =_________. 【答案】2i 【解析】 i ? ? i ? i ? 2i 【考点定位】本题考查复数的概念,复数代数形式的四则运算等基础知识. 【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度,也就是 =-i 的运算,容易 误解为 =i,从而导致答案错误.一般地,i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,而 =i
+ + + -1

2

1 i

1 i

1 i

1 i

1 i

=-i.属于容易题

11.【2015 高考天津,文 9】i 是虚数单位,计算 【答案】-i 【解析】

1 ? 2i 的结果为 2?i



1 ? 2i ?i 2 ? 2i ?i ? i ? 2 ? ? ? ? ?i . 2?i 2?i 2?i

【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算. 【名师点睛】 复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考 查频率较高的内容有:复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般 难度不大,但容易出现运算错误,特别是 i ? ?1 中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的
2

准确性. 12. 【 2015 高 考 上 海 , 文 3 】 若 复 数 z 满 足 3 z ? z ? 1 ? i , 其 中 i 是 虚 数 单 位 , 则

z?
【答案】

.

1 1 ? i 4 2

【考点定位】复数的概念,复数的运算. 【名师点睛】本题用待定系数法求复数.复数不能比较大小,两个复数相等,实部与虚部分 别相等.共轭复数的实部相等虚部互为相反数.共轭复数的模相等.


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