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2017届湖北省武汉市部分学校高三上学期起点考试数学(理)试题


2017 届湖北省武汉市部分学校高三上学期起点考试数学(理)试题 数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.设集合 A ? ? x || x ? 2 |? 3? , N 为自然数集,则 A ? N 中元素的个数为( A.3 2. i

是虚数单位,则 A. B. 4 C.5 ) D.6 )

1? i 2

1 ?( 1? i
B. ?

1? i 2

C.

1? i 2

D.

1 2


3.已知 a , b 是空间两条直线, ? 是空间一平面, b ? ? ,若 p : a / / b ; q : a / /? ,则( A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 4.设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 A. 5

S4 ?( S3



B.

5.要得到函数 y ? sin(4 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
4

15 2

C.

7 3

D.

15 7


) 的图象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象(
B.向右平移 D.向右平移 )

?
16

个单位

?
16

个单位

?

4 6.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 9) 的单调递增区间为(
3

个单位

?

4

个单位

A. ? 0, ?? ?

B. ? ??, 0 ?

C. ? 3, ?? ?

D. ? ??, ?3? )

7.若向量 a ? (?1, 2) , b ? (?1, ?1) ,则 4a ? 2b 与 a ? b 的夹角等于( A. ?

?

?

?

?

? ?

?
4

6 4 a 8 8.若二次项 ( x ? ) 的展开式中常数项为 280,则实数 a ? ( x
1页

B.

?

C.

?


D.

3? 4

A.2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

9.计算 5 5 5 5 5 5 可采用如图所示的算法,则图中①处应填的语句是( A. T ? T ? a B. T ? T ? a C. T ? T ? a D. T ? T ? a



10.如图,网格之上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某空间几何体的三视图,若该几何体的体积为 20, 则该几何体的表面积为( A.72 ) B.78 C.66 D.62

11.连续地掷一枚质地均匀的骰子 4 次,正面朝上的点数恰有 2 次为 3 的倍数的概率为( A.



1 16

B.

8 27

C.

2 81

D.

4 81

12.已知双曲线 ? :

y 2 x2 ? ? 1( a ? 0 b ? 0 )的上焦点为 F (0, c) ( c ? 0 ) ,M 是双曲线下支上的一点, a 2 b2
2

线段 MF 与圆 x ? y ?
2

2c a2 y? ? 0 相切于点 D , 且 | MF |? 3 | DF | , 则双曲线 ? 的渐进线方程为 ( 3 9
B. x ? 4 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0
2页



A. 4 x ? y ? 0

D. x ? 2 y ? 0

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? x ? 2, ? 13.若实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ? 2, ?
14.曲线 y ?



x 1 在点 (1, ) 处的切线方程为 x ?1 2



15.已知抛物线 ? : x 2 ? 2 y ,过点 A(0, ?2) 和 B (t , 0) 的直线与抛物线没有公共点,则实数 t 的取值范围 是 .

16.已知 f ( x) ? ?

? x 2 ? ax, x ? 0,

F ( x) ? 2 f ( x) ? x 有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0,



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列,公差为 2.对任意的 n ? N * , bn 是 an 和 an ?1 的等比中 项. cn ? bn ?12 ? bn 2 , n ? N * . (1)求证:数列 ?cn ? 是等差数列; (2)若 c1 ? 16 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 18.△ ABC 的内角 A , B , C 对应的三边分别是 a , b , c ,已知 2(a ? b ) ? 2ac cos B ? bc .
2 2

(1) 求角 A ; (2)若点 D 为边 BC 上一点,且 BD ? 2 DC , BA ⊥ AD ,求角 B . 19.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90? , BC ? 2 AD ,△ PAB 与△ PAD 都是等边三 角形. (1)证明: CD ? 平面 PBD ; (2)求二面角 C ? PB ? D 的平面角的余弦值.

20.某学校甲、 乙两个班各派 10 名同学参加英语口语比赛, 并记录他们的成绩, 得到如图所示的茎叶图. 现 拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王” . (1)记甲班“口语王”人数为 m ,乙班“口语王”人数为 n ,比较 m , n 的大小.
3页

(2)随机从“口语王”中选取 2 人,记 X 为来自甲班“口语王”的人数,求 X 的分布列和数学期望.

21.如图,已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F1 、 F2 分别作两条平行直线 AB 、 4 3

CD 交椭圆 ? 于点 A 、 B 、 C 、 D .
(1)求证: | AB |?| CD | ; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

22.已知函数 f ( x) ? x ? 3 | x ? a | ?2 ( a ? R ) .
3

(1)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (2)求 f ( x) 在区间 ? 0, 2? 上的最小值.

2016—2017 学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试数学(理科)试卷答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 6 14. x ? 4 y ? 1 ? 0 15. (??, ?1) ? (1, ??) 16. ? ??, ? 2 1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 C 9 B 10 A 11 B 12 D

? ?

1? ?

三、解答题 17.解:∵ bn 2 ? an an ?1 ,
4页

(2) c1 ? 16 ,则 b2 2 ? b12 ? 8 , ∴ a2 ? a3 ? a1a2 ? 16 , a2 (a3 ? a1 ) ? 16 , (a1 ? d ) ? 2d ? 16 , 解得 a1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n . 18.解: (1)由 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? b2 2 2 ,得 2(a ? b ) ? 2ac ? ? bc , 2ac 2ac

即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc .

b2 ? c2 ? a 2 1 ∴ cos A ? ?? , 2bc 2
∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

2 ?. 3

(2)设 DC 为 1 个单位长度,则 BD ? 2 . 在 Rt ?ABD 中, AB ? BD cos B ? 2 cos B . 在△ ADC 中,由正弦定理

CD AC 1 AC ,即 . ? ? 2? ? ? sin ?DAC sin ?ADC sin( ? ) sin( B ? ) 3 2 2

∴ AC ? 2 cos B ,∴ AB ? AC ,故 B ? C ?

?

6



19.(1)证明:过 P 作 PO ? 平面 ABCD 于 O ,连 OA . 依题意 PA ? PB ? PD ,则 OA ? OB ? OD . 又△ ABD 为 Rt ? ,故 O 为 BD 的中点. ∵ PO ? 面 PBD ,∴面 PBD ? 面 ABCD . 在梯形 ABCD 中, CD 2 ? DB 2 ? CB 2 , ∴ CD ? DB . ∵面 ABCD ? 面 PBD ? BD , ∴ CD ? 平面 PBD . (2)由(1)知 CD ? 平面 PBD ,
5页

又 DP 2 ? PB 2 ? DB 2 , ∴ DP ? BP . 由三垂线定理知 CP ? PB . ∴ ?CPD 为二面角 C ? PB ? D 的平面角, ∴ cos ?CPD ?

PD 1 3 . ? ? PC 3 3

60 ? 72 ? 75 ? 77 ? 80 ? 80 ? 84 ? 88 ? 91 ? 93 800 ? ? 80 ,∴ m ? 4 ; 10 10 61 ? 64 ? 70 ? 72 ? 73 ? 85 ? 86 ? 88 ? 97 ? 94 790 ∵ x乙 ? ? ? 79 ,∴ n ? 5 , 10 10
20.解: (1)∵ x甲 ? ∴m ? n . (2) X 可取 0,1,2,

P( X ? 0) ?

0 2 1 1 2 0 C4 C5 C4 C5 5 C4 C5 1 5 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , 2 2 C9 18 C9 9 C92 6

X 的分布列为

X
P
∴ E( X ) ? 0 ?

0

1

2

5 18

5 9

1 6

5 5 1 8 ? 1? ? 2 ? ? . 18 9 6 9

21.解: (1)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , l AB : x ? my ? 1 .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 联立 ? 4 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1, ?
∴ y1 ? y2 ?

6m 9 , y1 y2 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4

设 C ( x3 , y3 ) , D ( x4 , y4 ) ,由 AB / / CD ,得 lCD : x ? my ? 1 .

6页

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 4 得 (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1, ?
∴ y3 ? y4 ? ?

6m 9 , y3 y4 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4

∴ y1 ? y2 ? ?( y3 ? y4 ) , y1 y2 ? y3 y4 . ∴ | y1 ? y2 |?| y3 ? y4 | . 而 | AB |? 1 ? m 2 | y1 ? y2 | , | CD |? 1 ? m 2 | y3 ? y4 | , ∴ | AB |?| CD | . (2)由(1)知四边形 ABCD 为平行四边形, S? ABCD ? 4 S ?AOB ,且 S ?AOB ? ∴ S? ABCD ? 4 S ?ABC ? 2 | y1 ? y2 | ? 2 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 2 (
2

1 | OF | ? | y1 ? y2 | . 2

6m 2 9 ) ? 4 ? (? 2 ) 2 3m ? 4 3m ? 4

? 24

1 m2 ? 1 ? 24 2 2 (3m ? 4) 9(m 2 ? 1) ?
1 t

1 ?6 2 m ?1



设 f (t ) ? 9t ? ( t ? 1 ) , f '(t ) ? 9 ? ∴ f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增, ∴ f (t ) min ? f (1) ? 10 .

1 9t 2 ? 1 ? 2 ?0, t2 t

故 S? ABCD 的最大值为 6,此时 m ? 0 . 22.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 | x | ?2 .
3

①当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 x ? 2 , f '( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,
3 2

∴ f ( x) 在 (0, ??) 单调递增; ②当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 x ? 2 , f '( x) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) .
3 2

?1 ? x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (?1, 0) 单调递减; x ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (??, ?1) 单调递增.
综上, f ( x) 的增区间为 (??, ?1) , (0, ??) ,减区间为 (?1, 0) .
7页

(2)① a ? 2 时, f ( x) ? x 3 ? 3(a ? x) ? 2 , 0 ? x ? 2 ,

f '( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) , f ( x) min ? f (1) ? 3a .
② a ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 3( x ? a ) ? 2 , 0 ? x ? 2 ,

f '( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 , f ( x) 在 ? 0, 2? 单调递增,
∴ f ( x) min ? f (0) ? ?3a ? 2 . ③ 0 ? a ? 2 时,而 0 ? x ? 2 , f ( x) ? ?
3 ? ? x ? 3( x ? a ) ? 2, a ? x ? 2, 3 ? ? x ? 3( x ? a ) ? 2, 0 ? x ? a.

?3 x 2 ? 3, a ? x ? 2, ? ∴ f '( x) ? ? 2 ? ?3 x ? 3, 0 ? x ? a.
(i) 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ? a, 2? 上单增, f (a ) 为最小值.

f '( x) ? 3( x 2 ? 1) ? 0 在 0 ? x ? a 上恒成立,
∴ f ( x) 在 ? 0, a ? 上单调递减, ∴ f ( x) min ? f (a ) ? a 3 ? 2 . (ii) 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 ? a, 2? 上单调递增, f ( x) min ? f (a ) ? a 3 ? 2 .
2 在 0 ? x ? a 时, f '( x) ? 3( x ? 1) ,

∴ f ( x) min ? f (1) ? 3a . 综上可知,当 a ? 0 时, f ( x) 的最小值为 ?3a ? 2 ;当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的最小值为 a 3 ? 2 ;当 a ? 1 时,

f ( x) 的最小值为 3a .


8页


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