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1.1.1集合的含义与表示


集合的含义与表示
教学目标:
1.了解集合的含义,掌握常用数集及其记法。 2.体会元素与集合的关系,能判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合。 ; 3.理解集合的常用表示方法,能选择不同的表示方法描述不同的具体问题,感受集合语言 的意义和作用。

重 点难 点:集合的性质与常用表示方法
教学过程: 1. 集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母 a,b,c,?表示。把一些元素组 成的总体叫做集合(简称为集) ,通常用大写拉丁字母 A,B,C,?表示。 例 1 下列所给的对象能构成集合的是。 (1) 所有的三角形; (2) 高一数学必修 1 课本上的所有难题; (3) 比较接近 1 的正整数全体; (4) 某高校高一年级的 16 岁以下的学生; (5) 平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合; (6) 参加北京奥运会的年经运动员。 2.集合元素的特性 集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。 集合中的元素, 必须具备确定性、 互异性、 无序性。 反过来, 一组元素若不具备这三个特性, 则这组对象也就不能构成集合。 故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的 元素。 例题 2 判断下列说法是否正确,并说明理由。 (1) 全体高个子的中国人构成一个集合; (2) 由 1,2,4,|-2|,2组成的集合有五个元素; (3) 由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合。 3.元素与集合的关系 (1)元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系。如果 a 是集合 A 的元素, ,就说 a 属于 集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a?A。 (2)对于元素与集合的关系要从以下四个方面理解: ①a∈A 与 a?A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素。根据集合串元素的确定性,可知对任何 a 与 A,在 a∈A 与 a?A 这两种情况中必有一种且只有一种成立。
3 6 1 1

②集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都它的元素;只要是它的元素必须符合 条件。 ③符号“∈” “?”是表示元素与集合之间的关系的,不能用来表示集合与集合之间的关系, 这一点千万要记住。 ④“∈”与“?”的开口方向向着集合。 例题 3 用符号“∈”与“?”填空。 (1) 2+ 5{x|x≤2+ 3}; (2)3 {x|x=n2 +1,n∈N} (3)x=
1 3?5 2

,y=3+ 2π ,M={m|m=a+b 2 ,a∈Q,b∈Q},则 x M,y M.

4.常见数集的表示方法 (1)为了书写方便,我们规定常见的数集用特定的字母表示。下面是几种常见数集的表示 方法: ①全体非负整数构成的集合叫做自然数集(或非负整数集) ,记作 N. * ②在自然数集内排除 0 的集合叫做正整数集,记作 N+或 N . ③全体整数构成的集合叫做整数集,记作 Z. ④全体有理数构成的集合叫做有理数集,记作 Q. ⑤全体实数构成的集合叫做实数集,记作 R. (2)常见数集的关系,如图

N*

N

整 数 集Z

有理数 集Q

实数 集R

例题 4 (1) 给出下列几个关系式: 2?R ; 0.3?Q; 0?N; 0?{0} ; 0?N+ ; 关系式的个数是() A. 4 B. 5 C. 6


?N+ ; -? Z; -5 ? Z .其中正确的

D.

7

(2)下列说法中正确的个数是() ①集合 N 中最小数为 1;②若 a?N ,则-a ?N ; ③若 a?N ,b?N,则 a+b 的最小值为 2; ④所有小的正数组成一个集合;⑤π ?R;⑥ 3 ?Q; ⑦0 ?N* ;⑧ |-4| ?N* . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.集合的表示方法 (1)自然语言:通过日常语言来描述集合问题中被研究的对象,如全体实数组成的集合、 正整数集等。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 叫做列举法。具体可分为以下三种情况: ①元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3} ②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如从 1 到 1000 的所有自然数

组成的集合可以表示为{1,2,3,?,1000}. ③元素个数无限但有规律时,可以列举前面一部分,后面用省略号表示,如自然数 N 可以 表示为{0,1,2,?}.

例题 5 判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示: (1) 被 3 除余 1 的自然数组成的集合; (2) 由所有小于 20 的既是奇数又是质数的正整数组成的集合; (3) 二次函数 y=x2+2x-10 图象上的所有点组成的集合; (4) 设 a、b 是非零实数,求 y=
a |a|

+ |b| + |ab |的所有值组成的集合。

b

ab

6.集合的不同表示方法的转换 (1)列举法和描述法的优缺点: 列举法具有直观、明了的优点,其缺点是不易看出元素所具有的属性,且有些集合是不能用 列举法表示的,如 x-1>0 的解集. 描述法是把集合中的元素所具有的特征性质描述出来, 具有抽象性、 概括性、 普遍性的优点, 其缺点是不易看出集合的具体元素. (2)有限集、无限集 根据集合中元素的个数还可以将集合分为有限集和无限集。 当集合中元素的个数有限时, 称 之为有限集;而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集。 例题 6 用列举法表示下列集合: (1)方程组 x 2 + y2 = 2 的解用列举法表示为; x?y=0

(2)集合 A={y|y=x 2 -1,|x|≤2,x∈Z},用列举法表示为; (3)集合 B={x|x 2 ? 2x + 1 = 0},用列举法表示为; (4)集合 C={(x,y)|y=x 2 ? 1, |x|≤2,x∈Z },用列举法表示为; (5)集合 D={x||x|x∈Z,且
8 1+x

∈Z },用列举法表示为;

7.数集与点集的区分方法 集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现的.对于已知集合必须弄清集合元素 的形式, 特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么, 代表元素有何属性 (如 表示数集、点集等)例如:集合{x|x +2x-1=0}表示方程的解集,即{-1+ 2,-1- 2}; 集合{y|y= x +2x-1}表示 y= x +2x-1 的所有函数值组成的集合, 即{y|y≥ ?2}; 集合{x|y=x +1} 表示函数 y=x +1 的所有自变量的取值组成的集合,即{x|x∈ },它们都是数集,即均可在 数轴上表示.集合{(x,y)| y=x +1}表示函数 y=x +1 图象上所有的点组成的集合.
2 2 2 2 2 2 2

例题 7 已知下面三个集合:①{x|y=x +1};②{y|y= x +1};③{(x,y)| y=x +1}.问它们是否为同 一个集合?
2 2 2

8.集合含义的正确识别 识别集合含义的方法:1、看代表元素 2、看条件。 例题 8 试说明下列集合各表示什么? A={y|y= };
x 1 1 x

B={x|y= x 2 ? 2x};
y

C={(x,y)| y= } F={x+y=1,x-y=-1}

D={(x,y)|

x ?3

=1};

E={x=0,y=1};

9.集合中的“新定义”问题的求解 “新定义” 型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上, 结合已学的集合知识来求 解的一种新型集合问题。 [示例]设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P*Q={(a,b)|a∈ P, b ∈ Q},则 P*Q 中 元素的个数为. 例题 9 设?是集合 A 上的一个运算,若对任意 a,b∈ A ,有 a?b∈ A ,则称 A 对运算?封闭,若集合 A 是由正整数的平方组成的集合,即 A={1,4,9,16,25,?}.若?分别是;①加法,② 减法③乘法,④除法,则 A 对运算?封闭的序号有. 10.求参数的取值范围 (1)已知集合元素个数求参数问题的解题策略:已知集合中元素的个数,求参数的值或取 值范围时,关键是对集合的表示方法灵活掌握,弄清其实质,即集合中的元素是什么. (2) 集合问题方程化的思想: 对于一些已知某个集合 (此集合中涉及方程) 中的元素个数, 求参数的问题,常把此集合的问题转化为方程的解的问题. (3)集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确 定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论 中的作用. 例题 10

集合 M={x|ax -2x+2=0,a∈R}中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 11.集合语言的综合应用 (1) 集合语言是现代数学的基本语言, 也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言. 集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下:
自然语言 (通俗、 易懂)
抽象化

2

形象化 几何语言 具体化
抽象化

(形象、直观)

集合语言
文字化

形象化

(简洁、抽象)

文字语言

符号语言

图形语言

(2)集合语言的不同形态各有自己的特点,符号语言比较简洁、严谨,可缩短语言表达的 “长度” ,有利于推理、计算;图形语言易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、定 理的本质以及相互间的关系, 在抽象的数学思维面前起着具体化和帮助理解的作用; 文字语 言比较自然、 生动, 它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来, 教科书上的概念、 定理等多用文字语言叙述. (3) 解决集合问题的关键是弄清集合是由哪些元素构成的.如何弄清呢?关键在于把抽象问 题具体化、形象化,也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示,或用 Venn 图来表示抽 象的集合,或用数轴来表示这些集合;再如,当集合的元素为有序实数对时,可用平面直角 坐标系中的图形表示相关的集合等. 例题 11 设实数集 S 是满足下面两个条件的集合: ①1?S ;②若 a∈S ,则
1 1?a

∈S .
1 a

(1) 求证:若 a∈S ,则 1- ∈S ; (2) 若 2∈S ,则在 S 中必含有其他的两个数,试求出这两个数; (3) 求证:集合 S 中至少有三个不同的元素.

学业水平演练: 1、下列对象能构成集合的是(). A. 2010 年上海世博会的所有漂亮的展馆 B. 参加 2010 年广州亚运会的部分运动员 C. 参加 2016 年里约奥运会的全体运动员 D. 上海的所有高楼 2、已知 A={x|3-3x>0},则有(). A. 3∈A B. 1∈A C. 0∈A D.

-1∈A

3、集合{x-1,x2-1,2}中的 x 不能取的值有(). A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 4、已知 P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围是 5、已知集合 D={1+x ∈N|x∈Z},则用列举法表示集合 D 为. 6、用适当的方法表示下列集合: (1)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点的集合; (2)所有直角三角形组成的集合; (3)满足 3x-2>x+3 的全体实数组成的集合; (4)所有绝对值小于 4 的整数的集合; (5)平方后仍等于原数的数集; (6)方程 4x2+9y2-4x+12y+5=0 的解集. 高考水平突破: 1、由 a,-a,|a|, a2 构成的集合中,最多含有元素的个数是(). A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2、含有三个实数的集合可表示为{a,a ,1},也可表示为{a2,a+b,0},则 a2013+b2014=() A. 0 B. 1 C. -1 D.
x b 6

2
y xy

3、已知 x,y 都是非零实数,z=|x|+|y|+|xy |可能的取值组成集合 A,则(). A. 2∈A B. 3?A C. -1∈A D. 1∈A

4、已知集合 A 是方程 x(x-2)=0 的解,则().

A. 0∈A

B. 2?A

C. -1∈A

D.

0?A

5、已知下列命题: ①方程 x ? 2+|y+2|=0 的解集为{2,-2}; ②集合{y|y=x2-1,x∈R}与{y|y=x-1,x∈R}的公共元素所组成的集合是{0,1}; ③集合{x|x-1<0}与集合{x|x>a,a∈R}没有公共元素. 其中判断正确的个数为() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x+y = 3 的解的集合有. x ? y = ?1

6、可以表示方程组

①{x=1,y=2};②{1,2};③{(1,2)};④{(x,y)|x=1 或 y=2};⑤{(x,y)|x=1 且 y=2}; ⑥{(x,y)| x=1 };⑦{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}. y=2

7、设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一个“孤 立元” ,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤 立元”的集合共有个. 8、已知集合 P={x|ax+b-x+2=0}是一个无限集,则实数 a=,b=. 9、已知集合 A={x|y=x 且 y=x2+ax+b},是否存在这样的实数 a,b,使得-1∈A 与 3∈A 同时成 立?如果存在,求出 a,b 的值;如果不存在,请说明理由.

10、集合 A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z }. (1)若 m∈M,问:是否有 a∈A,b∈B,使 m=a+b 成立? (2)对于任意 a∈A,b∈B,是否一定存在 m,使 a+b=m 且 m∈M?证明你的结论.

高考真题: 1 、在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k] ,即 [k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论: ①2011∈[1];②-3∈[3];③若整数 a,b 属于同一“类” ,则 a-b∈[0];④若 a-b∈[0],则整数 a,b 属于同一“类”.其中,正确结论的个数是(). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈ A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的 个数为(). A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

3、若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈ A,y∈B }中的元素的个数为(). A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4、已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y| x∈ A,y∈A }中元素的个数是(). A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 5、设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈ A,b∈B },则 M 中元素的个数为(). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6、若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则 a=(). A. 4 B. 2 C. 0 D. 0 或 4 7、已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0 有且只有一个 正确,则 100a+10b+c 等于.


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